吉林省高三数学仿真模拟卷3-理-新人教A版.doc

吉林省2012届高三数学理科仿真模拟卷3
第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知的值为 （ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
2．已知全集U=R，集合，集合，则
（ ）
A．（-2，-1） B．[-2，-1） C．[-2，1） D．[-2，1]
3．关于直线以及平面，给出下列命题：
①若 ②若
③若 ④若
其中真命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在等比数列中，若的值为 （ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
5．给定性质：①最小正周期为；；②图象关于直线对称，则下列四个函数中，同时 具有性质①、②的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．将A、B、C、D、E、F六位同学排成一排，要求A、B、C、D在排列中顺序为“A、B、C、D”或“D、C、B、A”（可以不相邻），则排列的种数为 （ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
7．已知函数，则函数的零点个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图1，点P在正方形ABCD所在平面外，平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 （ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
9．下列说法正确的是 （ ）
A．命题：“已知函数均为奇函数，则为奇函数，”为直命题
B．“”是“”的必要不充分条件。
C．若“”为假命题，则均为假命题。
D．命题，则
10．已知是抛物线上的一点，直线MP、MQ分别与抛物线交于P、Q两点，且直线MP、MQ的倾斜角之和为，则直线PQ的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
11．P为双 曲线右支上一动点，M、N分别是圆和圆上的点，则的最大值为 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
12．已知都是定义在R上的函数，且，，则的值为 （ ）
A． B． C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．执行图2所示的框图，如果输入，则输出的结果等于 。
14．如图3，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线所围成的阴影部分的面积S：（1）先产生两组0~1的均匀随机数，；
（2）做变换，令；（3）产生N个点，并统计满足条件的点的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为 。
15．设面积为S的平面四边形的第条边的边长为，P是该四边形内一点，点P到第条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，Q是该三棱锥内的一点，点Q到第个面的距离记为，若等于 。
16．已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的值。

18．（本小题满分12分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率都是，每次遇到红灯时停留的时间都是。
（Ⅰ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布列及期望。

19．（本小题满分12分）
如图4所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）。

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角E—PC—D的大小。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为
（Ⅰ）过椭圆C的右焦点F且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦 长为1，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过椭圆C右焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，交轴于点P，且，求的值。
21．（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）当时，若成立，求的取值范围；
（Ⅱ）令，证明：对，恒有
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图5，已知AB是的直径，AC是弦，，垂足为D，AC平分
（Ⅰ）求证：直线CE是的切线；
（Ⅱ）求证：

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数），若直线与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若

参考答案
一．选择题
1．A；2．B；3.C；4．B；5.C；6.D；7. C；8.C；9. D；10.A；11．A；12．A；
二、填空题
13．；14. 1.328；15.；16. .
三、解答题
17. 解：(1)∵cos＝，∴sin＝sin(－)＝， 2分
∴cosB＝1－2sin2＝. 5分
(2)由·＝2可得a·c·cosB＝2，又cosB＝，故ac＝6， 7分
由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12， 10分
∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝. 12分
18. 解：(Ⅰ)设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是2 min为事件B，这名学生上学路上因遇到红灯停留的总时间为X,则X～B(4,)．
则由题意，得P(X=0)＝4＝， 2分
P(X=1)＝3·1＝， 4分
P(X=2)＝·2·2＝. 6分
∴事件B的概率为P(B)＝P(X=0)＋P(X=1)＋P(X=2)＝. 8分
(Ⅱ)由题意，可得X可能取得的值为0,1,2,3,4(单位：min)．由题意X～B(4,)
∴P(X＝k)＝·4－k·k(k＝0,1,2,3,4)．
∴即X的分布列是
X
0
1
2
3
4
P

10分
∴X的期望是E(X)＝4＝. 12分
19解：(Ⅰ)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形， 1分
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4， 3分
∴VP－ABCD＝PAxSABCD＝×4×4×4＝. 4分
(Ⅱ)由三视图可知,以B为原点，以BC,BA,BE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),P(),D(4,4,0)C(0,4,0). 5分
所以.设平面PCD的法向量为
，即，取. 8分
设平面PCE的法向量为，同理可求. 10分
所以二面角E-PC-D的大小为-arccos(). 12分
20. 解：（Ⅰ）由题意得解得 2分
所以所求的椭圆方程为：. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.
设直线方程为：，点坐标为，点坐标为，得点坐标，点坐标为
因为，所以
因为，所以. 6分
得，. 7分
由 8分
得.
所以. 10分
+=
=. 12分
21．解：当＜0，由.令
列表：

0
+

减函数
极小值
增函数
2分
这是. 3分
∵＞0，使成立，∴，∴，
∴范围为. 5分
（Ⅱ）法一：因为对对，，所以在内单调递减.所以. 7分
要证明＜1，只需证明＜1，即证明＜0.
令,＞0, 10
所以在是单调递增函数，
所以＜0，故命题成立. 12分
法二：因为对对，，所以在内单调递减.所以. 7分
令，则.
令，则，因为，所以＞0，所以在为单调递增函数，所以＞=0，所以在为单调递增函数. 10分
所以＜，
所以＜1，故命题成立. 12分
22．证明：（Ⅰ）连接，因为,所以. 2分
又因为，所以，
又因为平分，所以， 4分
所以，即，所以是的切线. 6分
（Ⅱ）连接，因为是的直径，所以，因为是的切线，所以， 8分
所以△∽△，所以，即. 10分
23．解：直线l 的直角坐标方程为， 3分
曲线C的直角坐标方程为， 6分
它是以C(1,0)为圆心，半径r=2的圆.
圆心C到直线l 的距离d=. 8分
. 10分
24. 证明：（I）
∵，
∴； 4分
（II）， 6分
∵，∴，即，
同理，∴，∵，∴， 8分
,≤≤5
∴ . 10分

10
用心 爱心 专心