改进的Mertens第一定理估计及应用.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 3-0 9 7 2.2 0 2 4.0 1.0 1 0 文章编号:1 0 0 3-0 9 7 2(2 0 2 4)0 1-0 0 6 2-0 4改进的M e r t e n s第一定理估计及应用苑金臣,王军霞*,郭艳凤(中国地质大学 数学与物理学院,湖北 武汉 4 3 0 0 7 4)摘 要:在M e r t e n s第一定理的基础上,利用定积分估计的主要思想和S t i r l i n gs 公式的估计,对M e r t e n s第一定理中的估计不等式进行了进一步的精确化,得到了更好的估计。改进的估计结果比原来的M e r t e n s第一定理中的估计更加精确。把改进的M e r t e n s第一定理估计应用到一个具体的渐近公式中,提高了该渐近公式中L a n d a u记号里对应常数的精度范围。关键词:M e r t e n s第一定理;改进的估计;估计不等式中图分类号:O 1 5 6.1 文献标识码:A 开放科学(资源服务)标识码(O S I D):I m p r o v e d E s t i m a t e s o f M e r t e n ss F i r s t T h e o r e m a n d i t s A p p l i c a t i o n sY U A N J i n c h e n,WA N G J u n x i a*,G U O Y a n f e n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d P h y s i c s,C h i n a U n i v e r s i t y o f G e o s c i e n c e s,W u h a n 4 3 0 0 7 4,C h i n a)A b s t r a c t:O n t h e b a s e o f t h e M e r t e n ss f i r s t t h e o r e m,t h e m o r e a c c u r a t e e s t i m a t e s i n t h e M e r t e n s f i r s t t h e o r e m w e r e i m p r o v e d b y u s i n g t h e i d e a o f t h e i n t e g r a l e s t i m a t e s a n d t h e S t i r l i n gs f o r m u l a.T h e i m p r o v e d M e r t e n ss e s t i m a t i n g i n e q u a l i t i e s w e r e o b t a i n e d.T h e r e s u l t s f o r t h e i m p r o v e d e s t i m a t e s w e r e m o r e a c c u r a t e t h a n t h e M e r t e n ss f i r s t t h e o r e m i n e s t i m a t e s.T h e i m p r o v e d e s t i m a t e s o f M e r t e r n ss f i r s t t h e o r e m w e r e a p p l i e d t o a s p e c i f i c a s y m p t o t i c f o r m u l a,i n w h i c h t h e p r e c i s e r a n g e o f c o n s t a n t i n L a n d a u n o t a t i o n w a s i n c r e a s e d.K e y w o r d s:M e r t e n ss f i r s t t h e o r e m;i m p r o v e d e s t i m a t e s;e s t i m a t i n g i n e q u a l i t y0 引言众所周知,M e r t e n s公式是数论中研究素数分布理 论 的 基 本 公 式,1 8 7 4年 由 德 国 数 学 家M e r t e n s首先用初等方法得到。M e r t e n s公式具体表示为px(1-1p)=e-l n x1+O(1l n x),式中:xe,p为素数,为E u l e r常数,O(1l n x)称M e r t e n s公式的余项1。在很多重要的解析数论研究中,需要研究M e r t e n s公式更好的精度估计,从而可以改进相应的结果。于是M e r t e n s公式精度估计的研究成为众多数学家们感兴趣的课题。为了进一步研究M e r t e n s公式的精度估计,通过各种估计和证明,数学家们给出了M e r t e n s第一定理。定理1(M e r t e n s第一定理2-3)对x2,p为素数,有pxl n pp=l n x+O(1),式中:O(1)项取值在开区间(-1-l n 4,l n 4)中,(l n 41.3 8 6 2 9)。文献3 只讨论了得到的上界:pxl n ppl n x+4 l n 2。文献4 研 究 了 定 理1的 估 计 区 间。关 于M e r t e n s第一定理的研究还有很多,然而所得的结 收稿日期:2 0 2 2-1 1-0 3;修回日期:2 0 2 3-1 0-3 1;*.通信联系人,E-m a i l:y u a n j c c u g s o h u.c o m;j u n x i a w a n g 2 0 0 41 2 6.c o m 基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 8 6 1 0 1 3);高等学校大学数学教学研究与发展中心项目(CMC 2 0 2 2 0 2 0 9);中国地质大学(武汉)教学改革研究项目(2 0 2 2 1 6 1;2 0 2 2 0 8 6)作者简介:苑金臣(1 9 4 1),男,山东郓城人,教授,主要从事实分析教学及数论研究。引用格式:苑金臣,王军霞,郭艳凤.改进的M e r t e n s第一定理估计及应用J.信阳师范学院学报(自然科学版),2 0 2 4,3 7(1):6 2-6 5.YUAN J i n c h e n,WAN G J u n x i a,GUO Y a n f e n g.I m p r o v e d E s t i m a t e s o f M e r t e n ss F i r s t T h e o r e m a n d i t s A p p l i c a t i o n sJ.J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 4,3 7(1):6 2-6 5.26信阳师范学院学报(自然科学版)J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y第3 7卷 第1期 2 0 2 4年1月N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n V o l.3 7 N o.1 J a n.2 0 2 4果还可以更进一步优化相应的估计。M e r t e n s第一定理中的估计区间还没有达到更好的临界点。为了更进一步提高M e r t e n s第一定理中估计区间的精度,对定理的应用有更好的结果,还需要不断地对估计区间进行精细化。本文在M e r t e n s第一定理的基础上,利用经典定积分估计的主 要 思 想 及S t i r l i n gs公 式 的 应 用5-9,对M e r t e n s第一定理中的估计不等式中的区间进行了改进。此改进的结果把文献3-4 中的估计区间进行了缩小,得到了更精细的M e r t e n s第一定理中上界的估计。这是对M e r t e n s第一定理本质的改进,在应用方面利用该细致的估计会得到更加好的结果。1 预备知识本文的主要结果证明是从简单的定积分思想和一些重要的不等式出发,经过精确地估计,得到更加精细的结果。众所周知,定积分的思想可以应用在求解无穷级数的和。为了证明本文中的主要结果,就需要对所研究的计算进行估计,并应用定积分来估计。另外证明过程中还需要用到文献2的主要关系式。这些关系式为l n n!npnl n pp-pnl n p,(1)l n n!npnl n pp+npnl n pp(p-1)。(2)2 主要结果定理2(改进的M e r t e n s第一定理)设p为素数,则有改进的M e r t e n s估计不等式:pnl n ppl n n+0.5 7 2 0 3+1n,(3)l n n-1.9 8 5 6+1.4npnl n pp。(4)证明 分别从左右两侧进行估计的证明。1)证明不等式(3)。因为函数f(x)=l n x的图形是上凸的,由其几何意义可知,梯形面积小于曲边梯形面积,于是可得l n n!=l n 2+l n 3+l n 4+l n(n-2)+l n(n-1)+l n n=12l n 2+12(l n 2+l n 3)+12(l n 3+l n 4)+12(l n(n-2)+l n(n-1)+12(l n(n-1)+l n n)+12l n n 12l n 2+12l n n+32l n xdx+n-1n-2l n xdx+nn-1l n xdx=12l n 2+12l n n+n2l n xdx=12l n 2+12l n n+(xl n x|2n-n2l n xdx)=12l n 2+12l n n+(nl n n-2 l n 2-n+2),从而有l n n!nl n n-n+12l n n+2-32l n 2。(5)利用文献2 中的方法,可得pnl n pnl n 4。(6)结合式(1)、式(5)和式(6),可得下面不等式:pnl n ppl n n-1+l n n2n+l n 4+1n(2-32l n 2)。(7)又因为32l n 2=1.0 3 9 7 2 0 7 7,所以2-32l n 21。化简式(7),可得pnl n pp0时,l n xx的最大值为1e。把上式进行扩大,可得pnl n ppl n n+12 e+l n 4-1+1n。又由于12 e=0.1 8 3 9 3 9 70.1 8 3 9 4 0,则有12 e+l n 4-1=1.5 7 0 2 3-1=0.5 7 0 2 3。这就证明了式(3)。2)证明不等式(4)。根据已知S t i r l i n gs公36苑金臣,王军霞,郭艳凤.改进的M e r t e n s第一定理估计及应用式,通过优化的放缩估计得到。由S t i r l i n gs公式 2 n(ne)nn!,两边取对数,可得l n 2+12l n n+n(l n n-1)l n n!l n 2 n+12l n nn+l n n-1-pnl n pp(p-1)。(8)关于不等式(8)右端最后一项,有估计式4:pnl n pp(p-1)0.9,于是从式(8)可得pnl n pp91 0n+l n n2n+l n n-1-0.9 8 5 6。(9)当n3时,l n n1。由式(9)可得pnl n pp91 0n+12n+l n n-1-0.9 8 5 6=l n n+1.4n-1.9 8 5 6。(1 0)这就证明了不等式(4)。证毕。3 改进定理的应用由于改进的M e r t e n s第一定理的估计精确度的提高,可以对一些渐近公式给出更高的误差估计。通过对改进的M e r t e n s第一定理的应用,可以对pn1p渐近公式L a n d a u记号中的常数进行了更好的估计。下面给出具体的精度估计过程。引理1 令c0=pl n(1p)-1p ,于是,对x2,有px1p=l n 1px(1-1p)-c0+2(x-1),(1 1)式中:=(x)(0,1)。定理3 存在常数c1,使得对x2有px1p=l n(l n x)+c1+O(1l n x)。(1 2)证明 由改进的M e r t e n s第一定理(定理2),对t2有R(t)=ptl n pp-l n t=O(1)。此外,px1p=x2-1l n tdptl n pp =x2dttl n t+x2-dR(t)l n t=l n(l n x)-l n(l n 2)+R(x)l n x-R(2-)l n 2+x2R(t)t(l n t)2dt,这里对含有R(t)的积分是采用A b e l求和法。令M=s u pt2-|R(t)|1.2 8 5 6,由改进的M e r t e n s第一定理的上界估计,可得R(x)l n x-xR(t)t(l n t)2dt2Ml n x1.2 8 5 6l n x。于是可取常数c1=-l n(l n 2)+1+2R(t)t(l n t)2dt,从而定理3得证。证毕。注1 在证明过程中可选L a n d a u记号中的常数M为不大于1.2 8 5 6的数。4 结束语利用定积分的性质和一些重要的不等式,对M e r t e n s第一定理的估计进行了细致的推导和估计,得到了更加精确的估计区间,给出了改进的M e r t e n s第一定理。相比定理1中的估计区间有所缩小,对定理1进行了比较大的优化估计,提高了估计精确度。根据改进的M e r t e n s第一定理的结果,应用到一个渐近公式中,提高了证明过程中L a n d a u记号M的精确范围。然而,通过定理的证明过程可以看到,改进的M e r t e n s第一定理得到的估计还没有达到M e r t e n s第一定理的临界点,还可以进一步进行优化。这就需要通过其他的方法来寻找其估计的临界点状态,未来将进一步改善该估计区间,从而得到更好的应用。这是一个具有挑战性的工作。46第3 7卷 第1期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 4年1月参考文献:1 HA R D Y G H,WR I GHT E M.A n i n t r o d u c t i o n t o t h e t h e o r y o f n u m b e r sM.4 t h e d.N e w Y o r k:O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s,1 9 6 0.2 特伦鲍姆.解析与概率数论导引M.陈华一,译.北京:高等教育出版社,2 0 1 1.T R E N B AUM.I n t r o d u c t i o n t o a n a l y s i s a n d p r o b a b i l i t y n u m b e r t h e o r yM.T r a n s l a t e d b y CHE N H u a y i.B e i j i n g:H i g h e r E d u c a t i o n P r e s s,2 0 1 1.3 P A R E N T D P.E x e r c i s e i n n u m b e r t h e o r yM.N e w Y o r k:S p r i n g e r-V e r l a g,1 9 8 4.4 李志明,苑金臣.一个素数不等式的加强J.高等数学研究,2 0 1 6,1 9(1):5 4,5 7.L I Z h i m i n g,YUAN J i n c h e n.T h e s t r e n g t h e n i n g o f a p r i m e i n e q u a l i t yJ.S t u d i e s i n C o l l e g e M a t h e m a t i c s,2 0 1 6,1 9(1):5 4,5 7.5 刘玉琏,傅沛仁,刘伟,等.数学分析讲义M.6版.北京:高等教育出版社,2 0 1 9.L I U Y u l i a n,F U P e i r e n,L I U W e i,e t a l.M a t h e m a t i c a l a n a l y s i s h a n d o u tM.6 t h e d.B e i j i n g:H i g h e r E d u c a t i o n P r e s s,2 0 1 9.6 欧阳光中,朱学炎,金福临,等.数学分析M.4版.北京:高等教育出版社,2 0 1 8.OUYAN G G u a n g z h o n g,Z HU X u e y a n,J I N F u l i n,e t a l.M a t h e m a t i c a l a n a l y s i sM.4 t h e d.B e i j i n g:H i g h e r E d u c a t i o n P r e s s,2 0 1 8.7 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.3版.北京:高等教育出版社,2 0 2 1.P E I L i w e n.T y p i c a l p r o b l e m s a n d m e t h o d s i n m a t h e m a t i c a l a n a l y s i sM.3 t h e d.B e i j i n g:H i g h e r E d u c a t i o n P r e s s,2 0 2 1.8 B HA TNA GA R G,R A J KUMA R K.T e l e s c o p i n g c o n t i n u e d f r a c t i o n s f o r t h e e r r o r t e r m i n S t i r l i n gs f o r m u l aJ.J o u r n a l o f A p p r o x i m a t i o n T h e o r y,2 0 2 3,2 9 3:1 0 5 9 4 3.9 WANG W e i p i n g,CHE N Y a o.E x p l i c i t f o r m u l a s o f s u m s i n v o l v i n g h a r m o n i c n u m b e r s a n d S t i r l i n g n u m b e r sJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n c e E q u a t i o n s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 2 0,2 6(9/1 0):1 3 6 9-1 3 9 7.责任编辑:郭红建56苑金臣,王军霞,郭艳凤.改进的M e r t e n s第一定理估计及应用