二维趋化-流体系统的整体适定性.pdf

基础学科二维趋化流体系统的整体适定性况旺，冬英*（西华大学理学院，四川成都610039）摘要：在无通量-Dirichlet-无滑移边界条件下考虑一类趋化流体系统的二维初边值问题。通过正则化处理和一系列的先验估计证明该系统存在整体有界的经典解。关键词：趋化流体系统；Dirichlet 边界；经典解；整体存在性；有界性中图分类号：O175.29文献标志码：A文章编号：1673159X(2024)01010306doi：10.12198/j.issn.1673159X.5233GlobalWell-posednessof2DChemotaxis-fluidSystemKUANGWang，DONGYing*（School of Science,Xihua University,Chengdu 610039 China）Abstract:Inthispaper,the2Dinitialboundaryvalueproblemofachemotaxis-fluidsystemsundertheno-flux-Dirichlet-no-slipboundaryconditionsisconsidered.Byusingregularizationandaseriesofaprioriestimates,itisshownthatthesystemadmitsaglobalandboundedclassicalsolution.Keywords:chemotaxis-fluid system；Dirichlet boundary；classical solution；global existence；boundedness1预备知识在实际生活中，船蛆会闻到木材散发出来的木质素,集体靠近木材进行啃食；草履虫会避开有害的高浓度盐水且移动到有 0.2%乙酸的溶液区域。类似的自然现象十分常见。学者们称这些细胞或者组织根据化学信号的刺激而产生的定向移动现象为趋化现象。在此基础上,Tuval 等1通过实验观察发现流体会对枯草芽孢杆菌的运动产生影响。由此，学者们为刻画实验中观察到的现象,将描述细胞趋化运动的 Keller-Segel 方程组与描述不可压缩流体运动的 Navier-Stokes 方程组耦合建立如下趋化流体系统nt+un=n(nS(c)c),x ,t 0ct+uc=cnf(c),x ,t 0ut+(u)u+P=u+n,x ,t 0u=0,x ,t 0（1）RNNn=n(x,t)c=c(x,t)u=u(x,t)P R其中：（为正整数）是一个具有光滑边界的有界区域；未知函数表示细菌密度；表示化学信号浓度；和 分别表示流体速度场和相应的标量压力；参数刻画了非线性对收稿日期：20230911基金项目：四川省自然科学基金青年科学基金项目（2022NSFSC1835）。*通信作者：冬英（1991），女，讲师，博士，主要研究方向为偏微分方程及应用。ORCID：0000000206185195E-mail：引用格式：况旺，冬英.二维趋化流体系统的整体适定性J.西华大学学报（自然科学版），2024，43（1）：103108.KUANGWang,DONGYing.GlobalWell-posednessof2DChemotaxis-fluidSystemJ.JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）,2024,43（1）:103108.第 43卷第 1 期西华大学学报（自然科学版）2024年1月Vol.43，No.1JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）Jan.2024S、f、S=S(c)f(c)流的强度。另外,均是给定的函数,表示趋化灵敏度函数,表示氧气消耗率,为重力势函数。S(c)f(c)近年来，在趋化灵敏度函数、耗氧率函数和势函数 满足一定的技术性假设条件下，关于系统(1)在有界区域中的初边值问题解的整体存在性、最终光滑性以及大时间渐近行为等方面的研究已经颇有硕果。在无通量无通量无滑移边界条件n=c=0,u=0=0S=S(x,n,c)c0L()下（其中 表示上的单位外法向量）,Winkler2已经证明系统(1)在二维情形下存在整体有界且唯一的经典解；对于三维情形，证明了当时，对应方程组存在整体弱解。在此基础上，学者们34进一步讨论系统(1)解的最终光滑性和大时间渐近行为。当时,Cao5证明了当足够小时，系统(1)初边值问题经典解的整体有界性。进一步,Zhou6去掉小性条件得到三维情形下相应的结果。除此之外，学者们发现细菌的生存环境中存在气体交换现象,该现象出现在流体与空气的交互界面。为了描述此类现象，学者们提出了无通量-Dirichlet-无滑移边界条件，即(nnS(c)c)=0,c=c,u=0（2）c 0S(c)1 =0 0n0L1()c02L()其中。Wang 等7证明了在三维有界区域中，当,且满足边界条件(2)时，系统(1)存在整体广义解。此外,Wang 等8还得到二维情形下，若存在常数,使得初值满足,则系统(1)存在整体经典解。S=(1+n)然而，如果趋化灵敏度函数,趋化流体系统在边界条件(2)下的研究成果还很少。因此本文将考虑如下初边值问题nt+un=n(n(1+n)c),x ,t 0ct+uc=cnc,x ,t 0ut+(u)u=u+P+n,x ,t 0u=0,x ,t 0(nn(1+n)c)=0,c=c,u=0,x ,t 0n(x,0)=n0(x),c(x,0)=c0(x),u(x,0)=u0(x),x （3）R2c 0 0其中：是一个具有光滑边界的有界区域；。本文的主要困难是处理非齐次边界条件。为此，我们需要对方程组(3)进行正则化处理，然后通过一系列的先验估计和取极限过程证明正则问题的经典解可以收敛到原问题的解。为行文方便，本文先给出一些记号说明和假设。记L2():=C0(;R2)|=0L2()A:=PL2(;R2)表示空间中的 Stokes 算子9,其定义域为D(A)=L2()W2,2(;R2)W1,20(;R2)PL2(;R2)L2()RAA(12,1)(n0,c0,u0)其 中表 示到上 的 Helmholtz 投影。此外，对于任意的,用符号表示 的自伴分数阶算子。二维情形下,。另外，假设初值具有如下的正则性要求n0C0(),n0 0且n0不恒为0,c0 W1,(),c0 0且c0|=c 0,u0 W2,(;R2),u0=0且u0|=0（4）基于上述假设，本文可得如下结论。R2 1 W2,()(n0,c0,u0)(n,c,u,P)C 0t 0定定理理 1假设是一个具有光滑边界的有界区域,且重力势函数。那么当初值满足条件(4)时，系统(3)存在整体经典解,并且存在常数,使得对任意的,有n(,t)L()+c(,t)W1,()+u(,t)L()C（5）2局部存在性和预备引理()(0,1)()(0,1)为了克服 Dirichlet 型边界条件带来的困难，我们首先考虑系统(3)的正则问题。为此，根据文献10，我们定义截断函数族和分别满足()(0,1)C0()0 1 0 1,且当时,和C0(0,)0 1 0 1,且当时,。记F(x,n):=(x)(n)(1+n),(x,n)0,)（6）那么可以考虑系统(3)的如下正则系统104西华大学学报（自然科学版）2024年nt+un=n(nF(x,n)c),x ,t 0ct+uc=cnc,x ,t 0ut+(u)u=u+P+n,x ,t 0u=0,x ,t 0n=0,c=c,u=0,x ,t 0n(x,0)=n0(x),c(x,0)=c0(x),u(x,0)=u0(x),x （7）F:=F(x,n)c=cc为方便书写和计算，可记和令,使原问题的边界条件变为齐次边界条件。因此，系统(7)可进一步改写为下列系统nt+un=n(nF c),x ,t 0 ct+u c=cn cnc,x ,t 0ut+(u)u=u+P+n,x ,t 0u=0,x ,t 0n=0,c=0,u=0,x ,t 0n(x,0)=n0(x),c(x,0)=c0(x)c,u(x,0)=u0(x),x （8）c=cc对于所有的边界条件都是齐次形式的系统(8),由标准的抛物型方程解的理论、半群理论和不动点定理，可以得到系统(8)存在唯一的局部经典解，再由可得系统(7)解的如下性质，其具体的证明细节可以参见文献 2 的引理 2.1。R2 0 W2,()(n0,c0,u0)c 0Tmax,(0,(0,Tmax,)(n,c,u,P)引引理理 1假设是一个具有光滑边界的有界区域,且重力势函数,初值满足条件(4)且边界值。则存在,使得系统(7)在上存在唯一的经典解且满足nC0(0,Tmax,)C2,1(0,Tmax,),c q1C0(0,Tmax,);W1,q()C2,1(0,Tmax,),u 12,1C0(0,Tmax,);D(A)C2,1(0,Tmax,);R2),PC1,0(0,Tmax,)（9）nc0,Tmax,)Tmax,0y C0(0,T)C1(0,T)t (0,T)y(t)引理引理3令且函数。如果对任意的,函数满足y(t)+ay(t)g(t)g L1loc(R)a 0 0b 0g其中,且存在和,使得函数满足1wt+tg(s)ds bt 0,T)那么对任意的,有y(t)y(0)+b1ea3先验估计nLp()为了得到系统(3)有整体存在经典解的结论，需要建立逼近系统(7)经典解的一致估计。而其中有关的有界性，我们首先需要证明一个有关化学信号浓度梯度的正则性的引理,该引理的详细证明请参见文献 8 的引理 3.1。(n,c,u,P)C 0 (0,1)引引理理 4设是正则系统(7)的经典解，则存在常数使得对任意的有wt+tw|c|2C,t(0,Tmax,)（13）:=min1,Tmax,/2其中。nL2()应用上述结论，我们可以得到范数的相关估计。(n,c,u,P)引引理理 5设是正则系统(7)的经典第1期况旺等:二维趋化流体系统的整体适定性105 1C 0 (0,1)解，则对任意的,存在常数使得对任意的有n(,t)L2()C,t(0,Tmax,)（14）wt+twn22|n|2C,t(0,Tmax,)（15）:=min1,Tmax,/2其中。n21证明证明我们在系统(7)的第一个方程两端同乘并在 上积分，通过分部积分公式有12ddtwn2+12wun2=(21)wn22|n|2+wnFcn21（16）u=0再根据条件和式(6),并且对式(16)使用 Young 不等式，可得12ddtwn2+(21)wn22|n|2=(21)wn21(1+n)cn212wn22|n|2+212w|c|2n2(1+n)2212wn22|n|2+212w|c|2（17）利用 Gagliardo-Nirenberg 不等式、Young 不等式和式(11)有12wn2=12?n?2L2()C1?n?2112L2()?n?1/L1/()+C1?n?1/L1/()C21+?n?21/L2()214wn22|n|2+C3（18）C1、C2C3112(0,1)其中常数和均大于零，。再结合式(17)和式(18)可知12ddtwn2+12wn2+214wn22|n|2212w|c|2因此12ddtwn2+12wn2212w|c|2（19）y(t):=12rnpg(t):=212r|c|2此时，可令和,再结合引理 3 和引理 4 可得y(t):=12wn2C4（20）C4 0t(t,t+)其中常数,即证得结论(14)。最后在式(17)两端同时关于时间 在上积分，并由引理 4 和式(20)可得结论(15)成立。u(,t)L2()类似地，应用引理 3 的结论，可以得到关于的估计。(n,c,u,P)C 0 (0,1)引引理理 6设是正则系统(7)的经典解。那么存在常数使得对任意的有u(,t)L2()C,t(0,Tmax,)（21）wt+tw|u|2C,t(0,Tmax,)（22）:=min1,Tmax,/2其中。uu=0C1 0证明证明在系统(7)第 3 个方程的两端同时乘并在 上积分，通过分部积分公式，Hlder不等式和 Young 不等式可得存在常数使得12ddtw|u|2+w|u|2nL2()uL221()L()12u2L2()+C1n2L2()（23）W1,2()L221()C2 0成立，其中应用了二维情形下的 Sobolev 嵌入定理：嵌入。再将引理 5 中的式(18)代入式(23)可得存在常数使得ddtw|u|2+w|u|2 2C2?n?2L2()+2C2（24）C3 0成 立。之 后 由 Poincar不 等 式 知，存 在 常 数使得ddtw|u|2+C3w|u|2C3?n?2L2()+C3t(t,t+)成立。最后结合引理 3 和引理 4，有式(21)成立。进 而，在 式(24)两 端 同 时 关 于 时 间 在上积分，并根据引理 4 的结论可得式(22)成立。u(,t)L2()基于上述引理，并且参考文献 2 中的式(4.16)和式(4.17),我们可以证明得到有关的估计。(n,c,u,P)p 1C 0 (0,1)引引理理 7设是正则系统(7)的经典解。那么对任意的,存在常数使得对任意的有u(,t)L2()C,t(0,Tmax,)（25）u(,t)Lp()C,t(0,Tmax,)（26）A:=P证明证明在系统(7)的第三个方程的两端同时乘上,并由 Young 不等式，可得12ddtw?A12u?2+78w|Au|2C1L()wn2+wAu(u)u（27）C1 0其中常数。对于不等式(27)右端中最后一106西华大学学报（自然科学版）2024年A()L2()=W2,2()项，我们应用插值不等式,等价范数以及引理 6 的结论(21)式可得wAu(u)u18Au2L2()+C2uL2()uW2,2()u2L2()38Au2L2()+C3u4L2()（28）C2C3其中常数和均大于零。因此，将式(28)代入式(27)中有ddtw|u|2+w|u|2C4(1+w|u|2)2（29）C4 0y(t)=r|u|2其中常数。至此，可令,则式(29)满足y(t)C5y2(t)C5 0p 1W1,2()Lp()其中常数。再根据引理 6 中的式(22)可得结论(25)成立。最后，对任意的，根据二维情形下 Sobolev 嵌入定理，嵌入和式(25)可得结论(26)成立。(n,c,u,P)C 0 (0,1)引引理理 8设是正则系统(7)的经典解。那么存在常数使得对任意的有c(,t)L()C,t(0,Tmax,)（30）t(0,Tmax,)证明证明对系统(8)的第 2 个方程运用常数变易公式，可得对任意的,有 c(,t)=et(cc)+wt0e(ts)(u cn cnc)(,s)dsLpLqC1,C2,C3C4 0因此，利用 Dirichlet 型半群的估计12和引理 2,存在常数和使得b c(,t)L()C1c0cW1,()+C1wt0(ts)1212(ub c+nb c+nc)(,s)L2()ds C1c0cW1,()+C1wt0(ts)1212u(,s)Lp1()b c(,s)Lp2()ds+C1wt0(ts)1212n(,s)L2()b c(,s)+cL()ds C2+C2wt0b c(,s)Lp2()ds C2+C3wt0b c(,s)L()b c(,s)1L()+b c(,s)L()ds C4+C4wt0b c(,s)L()ds（31）1 p1,p2(2,)12=1p1+1p2=12p2(0,1)其中,且满足,并且，再令M:=supt(0,T)c(,t)L()T(0,Tmax,)其中，则根据式(31),可得M C5+C5MC5 0 0 (0,1)引引理理 9设是正则系统(7)的经典解。那么存在常数使得对任意的有n(,t)L()C,t(0,Tmax,)u(,t)L()C,t(0,Tmax,)LpLq证明证明利用常数变易公式,Neumann 热半群的估计理论和引理 6 的证明方法可得结论。详细的证明过程请参见文献5 的引理4.7 和引理4.8。结合已经证明的引理，可以得到逼近系统(7)解的整体存在性结论。R2 1 W2,()(n0,c0,u0)c 0(n,c,u,P)C 0 (0,1)t (0,)命命题题 1假设是一个具有光滑边界的有界 区 域,且 重 力 势 函 数,初 值满足条件(4)且边界值。那么系统(7)存在一致有界的整体经典解。并且存在常数使得对任意的和,有n(,t)L()C,c(,t)W1,()C,u(,t)L()C（32）c(,t)W1,()n(,t)L()u(,t)L()Tmax,=证明证明结合引理 2、引理 8、引理 9可得、和是关于时间一致有界的。再由引理 1 的爆破准则可以推出,因此系统(8)存在一致有界的整体经典解。4定理 1 的证明 (0,1)(n,c,u)由命题 1 知系统(7)存在一致有界的整体经典解。之后基于命题 1 中的一致估计(32)和标准的正则理论能够证明系统(7)的经典解收敛到系统(3)的弱解。最后由抛物型方程解的正则性理论13可以得到系统(3)存在一致有界的整体经典解，即存在使得函数对满足下述条件：n C2+,1+2loc(0,),c C2+,1+2loc(0,),u C2+,1+2loc(0,);R2)第1期况旺等:二维趋化流体系统的整体适定性107更详细的证明过程可以参考文献 5 中章节6 的证明。参考文献1TUVALI,CISNEROSL,DOMBROWSKIC,etal.BacterialswimmingandoxygentransportnearcontactlinesJ.ProceedingsoftheNationalAcademyofSciencesoftheUnitedStatesofAmerica,2005,102（7）:22772282.2 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