非线性抛物型积分微分方程Galerkin有限元方法超收敛分析.pdf

D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 3-0 9 7 2.2 0 2 4.0 1.0 0 7 文章编号:1 0 0 3-0 9 7 2(2 0 2 4)0 1-0 0 4 5-0 6非线性抛物型积分微分方程G a l e r k i n有限元方法超收敛分析石东洋*,张林根(郑州大学 数学与统计学院,河南 郑州 4 5 0 0 0 1)摘 要:主要研究非线性抛物型积分微分方程的协调G a l e r k i n有限元方法C r a n k-N i c o l s o n(C N)全离散格式。通过对非线性项的精细估计,采用插值与投影相结合的估计技巧,导出了L?(H1)模意义下具有O(h2+2)阶的超逼近性质。进一步利用插值后处理技术得到了整体超收敛结果,弥补了以往文献的不足。同时,通过数值例子验证了理论分析的正确性和方法的高效性。关键词:非线性抛物型积分微分方程;协调 G a l e r k i n 有限元方法;超逼近;超收敛中图分类号:O 2 4 2.8 2 文献标识码:A开放科学(资源服务)标识码(O S I D):S u p e r c o n v e r g e n c e A n a l y s i s o f G a l e r k i n F i n i t e E l e m e n t M e t h o d f o r t h e N o n l i n e a r P a r a b o l i c I n t e g r o-D i f f e r e n t i a l E q u a t i o nS H I D o n g y a n g*,Z H A N G L i n g e n(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,Z h e n g z h o u U n i v e r s i t y,Z h e n g z h o u 4 5 0 0 0 1,C h i n a)A b s t r a c t:T h e C r a n k-N i c o l s o n(C N)f u l l y d i s c r e t e s c h e m e o f c o n f o r m i n g G a l e r k i n f i n i t e e l e m e n t m e t h o d w a s m a i n l y s t u d i e d f o r t h e n o n l i n e a r p a r a b o l i c i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n.B y e s t i m a t i n g t h e n o n l i n e a r t e r m r i g o r o u s l y a n d u s i n g c o m b i n a t i o n t r i c k o f t h e i n t e r p o l a t i o n a n d p r o j e c t i o n,t h e s u p e r c l o s e n e s s o f o r d e r O(h2+2)i n L?(H1)n o r m w a s d e r i v e d.F u r t h e r,t h e g l o b a l s u p e r c o n v e r g e n c e r e s u l t w a s o b t a i n e d t h r o u g h i n t e r p o l a t e d p o s t-p r o c e s s i n g t e c h n i q u e,w h i c h c o v e r s t h e s h o r t a g e i n t h e p r e v i o u s l i t e r a t u r e.A t t h e s a m e t i m e,a n u m e r i c a l e x a m p l e w a s p r o v i d e d t o v e r i f y t h e c o r r e c t n e s s o f t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s a n d t h e h i g h e f f i c i e n t o f t h e p r o p o s e d m e t h o d.K e y w o r d s:n o n l i n e a r p a r a b o l i c i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;c o n f o r m i n g G a l e r k i n f i n i t e e l e m e n t m e t h o d;s u p e r c l o s e n e s s;s u p e r c o n v e r g e n c e 0 引言抛物型积分微分方程有很强的物理意义,它在具有记忆性质材料的热传导问题、核反应堆中热交换过程、多孔结构黏弹性体的压缩问题、金融数学和期权定价模型、生物学中传染病模型等领域有着广泛的应用。当磁场渗透到物质中时会产生电场,从而产生电流,电流做功导致物质温度升高,进而促使物质的电阻变化。这个过程可用以下的偏微分方程组表示1:Ht=-?(vm?H),?H=0,(1)cvt=vm(?Ht),(2)式中:H=(H1,H2,H3)为磁场强度,为温度,cv和cm分别为材料的热容和电导率。当cv和cm与温度有关时,方程(1)和(2)可表示为2:Ht=-?at0|?H|2dr?H 。(3)进一步地,若整个物质的温度与空间变量无关,收稿日期:2 0 2 3-0 2-2 6;修回日期:2 0 2 3-0 4-1 6;*.通信联系人,E-m a i l:s h i_d y z z u.e d u.c n 基金项目:国家自然科学基金项目(1 2 0 7 1 4 4 3)作者简介:石东洋(1 9 6 1),男,河南鲁山人,河南省特聘教授,博士生导师,主要从事有限元方法及其应用研究。引用格式:石东洋,张林根.非线性抛物型积分微分方程G a l e r k i n有限元方法超收敛分析J.信阳师范学院学报(自然科学版),2 0 2 4,3 7(1):4 5-5 0.S H I D o n g y a n g,Z HAN G L i n g e n.S u p e r c o n v e r g e n c e A n a l y s i s o f G a l e r k i n F i n i t e E l e m e n t M e t h o d f o r a N o n l i n e a r P a r a b o l i c I n t e g r o-D i f f e r e n t i a l E q u a t i o nJ.J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 4,3 7(1):4 5-5 0.54信阳师范学院学报(自然科学版)J o u r n a l o f X i n y a n g N o r m a l U n i v e r s i t y第3 7卷 第1期 2 0 2 4年1月 N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n V o l.3 7 N o.1 J a n.2 0 2 4仅与时间变量相关时,则方程(3)可表示为平均积分微分方程3:Ht=a1t0|?H|2dXdr H,(4)式中:|是区域的体积,t0。对于平面磁场H=(0,0,u)的情况,u=u(X,t),XR2为标量函数,方程(4)可表示为:ut=a1t0|?u|2dXdr u。(5)本文考虑如下的非线性抛物型平均积分微分方程4-5:ut-1+t0?u20dr u=f,(6)u=0,(X,t)(0,T,(7)u(0)=u0,X,(8)式中:是R2中 边 界 为的 有 界 凸 区 域,f=f(X,t)和u0=u0(X)是已知函数。由于非线性系统(6)(8)存在积分项,往往难以精确求解,故一般使用数值方法计算其近似解。例如:文献6-7 利用有限差分方法分别研究了磁场H=(0,0,u)和H=(0,u,v)情况下,一维问题数值解的稳定性和收敛性;文献8 利用线性元研究了一维问题时线性化B a c k w a r d E u l e r(B E)有限元格式,推导出了L?(L2)模的次最优阶误差估计。针对二维问题,其主要工作集中于线性三角形元,文献4-5 分别研究了它的线性化方法和线性化B E格式,仅得出了L?(L2)模的次最优阶误差估计;文献9 研究了文献5 中相同的有限元格式,通过对非线性项的精细估计,得出了L?(L2)模和L?(H1)模的最优阶误差估计。文献1 0 讨论了最低阶R a v i a r t-T h o m a s(R T)扩展混合元方法的线性化B E格式,给出了L?(L2)模的次最优阶误差估计和L?(H1)模的最优阶误差估计。对于抛物型积分微分方程的研究方法,还可参阅文献1 1-1 3 等。另一方面,在有限元方法研究中,使用投影算子和插值算子相结合的方法有时会得到更加理想的收敛结果和降低对解的正则性要求。特别是对非线性S c h r d i n g e r方程的各向异性三角形线性元半离散格式,单独使用投影算子时无法判断其各向异性特征,到目前为止尚无法构造其插值后处理算子;而单独使用插值算子时甚至无法得到收敛性结果。为解决这一困难,文献1 4 提出了将上述两者相结合的方法,在降低对解的时间导数的光滑度的前提下,得到了L?(H1)模超收敛误差估计。之后引发了一系列有关双线性元的研究工作。例如:文献1 5 利用该元研究了线性S c h r d i n g e r方程C N格式,导出了L?(H1)模超收敛结果;文献1 6-1 7 分别利用该元研究了非线性S c h r d i n g e r方程线性化B E和C N格式,获得了无网格比约束的L?(H1)模超收敛结果;文献1 8 利用该元研究了非线性四阶R o s e n a u方程C N格式的混合元方法,获得了无网格比约束的L?(H1)模超收敛结果;文献1 9-2 0 利用该元分别研究了半线性抛物方程B E格式和非线性双曲方程一个二阶格式的二重网格方法,推出了L?(H1)模超收敛结果;文献2 1-2 2 分别利用该元和文献1 4 中的三角形线性元研究了时间分数阶扩散方程,推出了L?(H1)模超收敛结果。本文的主要目的是研究方程(6)(8)的双线性元C N-G a l e r k i n全离散格式,并借助于插值与投影相结合的思想,再利用插值后处理技术,推导出L?(H1)模意义下的超收敛结果。1 全离散格式及超收敛分析为了方便起见,假设h是的一个矩形正则剖分,即-=KhK-,h=m a xKhd i a m K 为网格尺寸。定义双线 性有限元空 间为Vh=v;v|Ks p a n1,x,y,x y,Kh,v|=0。设Ih为Vh上诱导出的插值算子,那么由文献2 3 知,当uH3(),vhVh时,有以下估计:(?(u-Ihu),?vh)=O(h2)u3?vh0。(9)设Rh为H10()Vh的R i t z投影算子:(?(u-Rhu),?vh)=0。(1 0)由文献1 4 知,当uH10()H2()时,Rhu-u0+h?(Rhu-u)0C h2u2。(1 1)进一步地,由文献2 4 知,当uH10()H3()时,有?(Rhu-Ihu)0C h2u3。(1 2)设tn:tn=n;0nN 是0,T 的一个均匀划 分,时 间 步 长 为=T/N。对 于 函 数 序 列n=(X,tn),记tn=n-n-1,-n=n+n-12,(n=1,2,N),n=32n-1-12n-2,(n=2,N),t1,0=1,0-0,-1,0=1,0+02。64第3 7卷 第1期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 4年1月问题(6)(8)的变分形式可写为:对vH10(),求uH10(),使得(ut,v)+1+t0?u20dr (?u,?v)=(f,v),(1 3)u(X,0)=u0,X。(1 4)考虑问题(6)(8)的线性化C N全离散格式:已知U0h,U1h,Un-1hVh,求UnhVh(n 2),使得(tUnh,vh)+(1+?U1h20+ni=2wi?Uih20)(?Unh,?vh)=(fn-12,vh),vhVh。(1 5)利用下面预估校正法,求解U1h:(tU1,0h,vh)+1+2?U0h20?U1,0h,?vh =(f12,vh),(1 6)(tU1h,vh)+1+2?U1,0h (?U1h,?vh)=(f12,vh),(1 7)式中:U0h=Rhu0;当i=2,3,n-1时,wi=1;当i=n时,wi=1/2。为了方便起见,引入下面的记号:(n)=-120+ni=2wi?i20,(n=2,N),un-Unh=un-Rhun+Rhun-Unhn+n,(n=1,N),u1-U1,0h=u1-Rhu1+Rhu1-U1,0h1+1,0。引理1 设fL2(),u0H2()H10(),U0h=Rhu0,1 nN,方程(1 5)(1 7)的解满足?Unh20?U0h20+ni=1fi-1220。(1 8)证明 在方程(1 5)中取vh=tUnh,利用(1+(Unh)1,有12(?Unh20-?Un-1h20)12fn-1220,两边同时乘以2,将n换成i,并将i从2到n求和,可得?Unh20?U1h20+ni=2fi-1220,(1 9)在方程(1 7)中取vh=tU1h,可得?U1h20?U0h20+f1220。(2 0)结合式(1 9)和(2 0)即得式(1 8)。证毕。定理1 设un和Unh分别是方程(6)和(1 5)的解,uL?(H3()H10()L?(H1(),utL?(H2(),ut tL?(H1(),ut t tL?(L2(),u0H3()H10()。对于n=1,N,有?(Ihun-Unh)0C(h2+2),(2 1)式中:C是与n、h、无关的正常数。证明 由方程(6)和(1 6),有如下的误差方程:1,0,vh +1+2?U0h20 (?1,0,?vh)=(tu1-u12t,vh)-(t1,vh)-2?u020-2?U0h20 (?u-1,?vh)-t120?u20dr-2?u020 (?u12,?vh)-1+2?u020 (?u-1-?u12,?vh)5i=1Ai(vh)。(2 2)在式(2 2)中取vh=1,0,可得11,020+?1,0205i=1Ai(1,0)。(2 3)下面对式(2 3)右端逐项进行估计。显然|A1(1,0)|C 2ut t t0,?1,00 C 4+1,020/4,|A2(1,0)|C h2ut2,?1,00 C h4+1,020/4,|A5(1,0)|C 2?ut t0,?1,00 C 4+?1,020/4。由于?un20-?Unh20=(?un,?un)-(?Unh,?Unh)=(?un,?(un-Unh)+(?(un-Unh),?Unh)=(?un,?(un-Rhun)+(?un,?(Rhun-Unh)+(?(Rhun-Unh),?Unh)=(?(un-Rhun),?(un-Rhun)+(?un,?(Rhun-Unh)+(?(Rhun-Unh),?Unh),可知|A3(1,0)|2(?u020-?U0h20)?u-10?1,00 C h2u022?u-10?1,00 C h42+?1,020/4。利用文献2 5 中截断误差的估计,可得|A4(1,0)|C 4+?1,020/4,所以式(2 3)可估计为11,020+?1,020C 4+C h4。(2 4)74石东洋,张林根.非线性抛物型积分微分方程G a l e r k i n有限元方法超收敛分析另外,由方程(6)和(1 7),有如下的误差方程:1,vh +1+2?U1,0h (?1,?vh)=(tu1-u12t,vh)-(t1,vh)-2?u-1,020-2?U1,0h20 (?u-1,?vh)-t120?u20dr-2?u-1,020 (?u12,?vh)-1+2?u-1,0 (?u-1-?u12,?vh)5i=1Bi(vh)。(2 5)在式(2 5)中取vh=1,可得1120+?1205i=1Bi(1)。(2 6)类似于Ai(1,0),对式(2 6)右端各项进行估计,并利用式(2 4)即得1120+?120C h4+C 4。(2 7)另一方面,由方程(6)和(1 5),可得如下的误差方程:(tn,vh)+(1+(Unh)(?-n,vh)=(tun-un-12t,vh)-(tn,vh)-(un)-(Unh)(?u-n,?vh)-tn-120?u20dr-(un)(?un-12,?vh)-(1+(un)(?u-n-?un-12,?vh)5i=1Di(vh)。(2 8)在式(2 8)中,取vh=-n,可得12(n20-n-120)+?-n20 5i=1Di(-n)。(2 9)对式(2 9)中右端各项进行估计:|D1(-n)|C 4+-n20/4,|D2(-n)|C h4+-n20/4,|D5(-n)|C 4+?-n20/4。再利用式(1 8),有(un)-(Unh)C h2u-122+?-10?u-10+?-10?U1h0+C h2ni=2ui22+Cni=2?i20 12ni=2?ui20 12+Cni=2?i20 12ni=2?Uih20 12 C h2+Cni=2?i20 12,故有|D3(-n)|C h4+C ni=2?i20+?-n20/4。利用数值积分的截断误差的估计有|D4(-n)|C 4+?-n20/4。将以上误差估计代入式(2 9)即得12(n20-n-120)+?-n20 C h4+C 4+C-n20+C ni=2?i20+?-n20/2。将n换成i,将i从2到n求和,有n20+ni=2?i20 120+C(h4+4)+C ni=2i20+C ni=2ij=2?j20。由离散的G r o n w a l l不等式和式(2 7),可得n20+ni=2?i20C(h4+4)。(3 0)接下来,在式(2 8)中取vh=tn,有 tn20+12(?n20-?n-120)5i=1Di(tn)。类似于Di(-n)的估计,即得|D1(tn)|C 4+tn20/5,|D2(tn)|C h4+tn20/5。利用式(2 7)和(3 0)有(un)-(Unh)C h2+Cni=2?i20 12 C h2+Cn-1i=0?i20 12C h2+C 2,利用分部积分(?u-n,?tn)=-(u-n,tn),有|D3(tn)|C(h4+4)+tn20/5。类似地,有|D4(tn)|C 4+tn20/5,|D5(tn)|C 4+tn20/5。综合上述误差估计,可得84第3 7卷 第1期信阳师范学院学报(自然科学版)h t t p:/j o u r n a l.x y n u.e d u.c n2 0 2 4年1月tn20+12(?n20-?n-120)C(h4+4)+tn20。将n换成i,将i从2到n求和有?n20?120+C(h4+4),(3 1)从而利用式(2 7)有?n0C(h2+2)。利用三角形不等式和式(1 2),可得?(Ihun-Unh)0?n0+?(Ihun-Rhun)0C(h2+2)。证毕。在定理1的条件下,采用文献2 3 中所构造的插值后处理算子22h,很容易得到如下的整体超收敛结果:22hUnh-un1=O(h2+2)。2 数值算例考虑方程(6)(8),其中=(0,1)(0,1),u=e-ts i n(x)s i n(y),由此可以唯一确定f(X,t)。计算中,对每个方向上采用m+1个节点的均匀剖分,并用双线性元进行求解。为了验证理论分析的正确性,选取=h,计算时间t=0.5、1时刻的误差结果(见表1和表2)。可以看出,当h0时,un-Unh1的收敛阶为O(h),Ihun-Unh1和22hUnh-un1的收敛阶为O(h2),这与理论分析完全吻合。表1 当t=0.5,=h时误差结果T a b.1 T h e e r r o r s a t t=0.5,=hmmun-Unh1收敛阶Ihun-Unh1收敛阶22hUnh-un1收敛阶443.0 3 91 0-18.6 9 61 0-28.7 6 31 0-2881.5 2 51 0-10.9 9 52.2 3 81 0-21.9 5 82.2 4 11 0-21.9 6 71 61 67.6 4 31 0-20.9 9 85.5 9 41 0-32.0 0 05.5 9 51 0-32.0 0 23 23 23.8 1 81 0-21.0 0 01.3 7 71 0-32.0 2 21.3 7 71 0-32.0 2 2表2 当t=1,=h时误差结果T a b.2 T h e e r r o r s a t t=1,=hmmun-Unh1收敛阶Ihun-Unh1收敛阶22hUnh-un1收敛阶441.8 4 41 0-15.4 1 91 0-25.4 5 21 0-2889.2 5 21 0-20.9 9 51.4 0 51 0-21.9 4 81.4 0 61 0-21.9 5 51 61 64.4 6 31 0-20.9 9 93.5 6 81 0-31.9 7 73.5 6 91 0-31.9 7 83 23 22.3 1 61 0-21.0 0 09.0 7 71 0-41.9 7 59.0 7 71 0-41.9 7 53 结束语针对二维磁场中所出现的非线性抛物型积分微分方程,利用协调双线性元提出了一种C N格式的G a l e r k i n有限元方法。借助于该元的高精度结果,并采用插值与投影相结合和插值后处理技术,导出了L?(H1)模的超逼近和超收敛估计。同时通过数值例子验证了理论分析的正确性和方法的有效性。该结果改进和完善了以往文献中只有次最优或者最优误差估计的结论。关于此问题的其他有限元方法诸如混合元方法、H1-G a l e r k i n方法、二阶的B D F 2格式等其他逼近格式、非协调元方法的应用等,将在以后的研究中予以进一步的讨论。参考文献:1 L AN D AU L D,L I F S H I T Z E M.E l e c t r o d y n a m i c s o f c o n t i n u o u s m e d i aM.2 t h e d.O x f o r d:P e r g a m o n P r e s s,1 9 8 4.2 G OR D E Z I AN I D G,D Z HANG V E L A D Z E T A,KO R S H I YA T K.E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n o f a c l a s s o f n o n l i n e a r p a r a b o l i c p r o b l e m sJ.D i f f e r e n t s i a ln y e U r a v n e n i y a,1 9 8 3,1 9(7):1 1 9 7-1 2 0 7.3 J AN GV E L A D Z E T,K I GUR A D Z E Z,N E TA B.N u m e r i c a l s o l u t i o n s o f t h r e e c l a s s e s o f n o n l i n e a r p a r a b o l i c i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sM.P i t t s b u r g h:A c a d e m i c P r e s s,2 0 1 6.4 S HA RMA N,S HA RMA K K.F i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r a n o n l i n e a r p a r a b o l i c i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i n h i g h e r s p a t i a l d i m e n s i o n sJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c a l M o d e l l i n g,2 0 1 5,3 9(2 3/2 4):7 3 3 8-7 3 5 0.5 S HA RMA N,KHE B CHA R E ON M,S HA RMA K,e t a l.F i n i t e e l e m e n t G a l e r k i n a p p r o x i m a t i o n s t o a c l a s s o f n o n l i n e a r a n d n o n l o c a l p a r a b o l i c p r o b l e m sJ.N u m e r i c a l M e t h o d s f o r P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 1 6,3 2(4):1 2 3 2-1 2 6 4.6 J AN GV E L A D Z E T,K I GUR A D Z E Z,N E T A B.L a r g e t i m e b e h a v i o r o f s o l u t i o n s a n d f i n i t e d i f f e r e n c e s c h e m e t o a 94石东洋,张林根.非线性抛物型积分微分方程G a l e r k i n有限元方法超收敛分析n o n l i n e a r i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nJ.C o m p u t e r s&M a t h e m a t i c s W i t h A p p l i c a t i o n s,2 0 0 9,5 7(5):7 9 9-8 1 1.7 J AN GV E L A D Z E T,K I GUR A D Z E Z,N E T A B.L a r g e t i m e a s y m p t o t i c a n d n u m e r i c a l s o l u t i o n o f a n o n l i n e a r d i f f u s i o n m o d e l w i t h m e m o r yJ.C o m p u t e r s&M a t h e m a t i c s w i t h A p p l i c a t i o n s,2 0 1 0,5 9(1):2 5 4-2 7 3.8 S HA RMA N,S HA RMA K K.U n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e n u m e r i c a l m e t h o d f o r a n o n l i n e a r p a r t i a l i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nJ.C o m p u t e r s&M a t h e m a t i c s w i t h A p p l i c a t i o n s,2 0 1 4,6 7(1):6 2-7 6.9 YAN G H u a i j u n,S H I D o n g y a n g.O p t i m a l e r r o r e s t i m a t e s o f G a l e r k i n m e t h o d f o r a n o n l i n e a r p a r a b o l i c i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nJ.A p p l i e d N u m e r i c a l M a t h e m a t i c s,2 0 2 2,1 8 1:4 0 3-4 1 6.1 0 S HA RMA N,P AN I A K,S HA RMA K K.E x p a n d e d m i x e d F EM w i t h l o w e s t o r d e r R T e l e m e n t s f o r n o n l i n e a r a n d n o n l o c a l p a r a b o l i c p r o b l e m sJ.A d v a n c e s i n C o m p u t a t i o n a l M a t h e m a t i c s,2 0 1 8,4 4(5):1 5 3 7-1 5 7 1.1 1 杨怀君,孟金涛,周永卫.抛物积分微分方程的C r a n k-N i c o l s o n全离散格式下的超收敛分析J.郑州航空工业管理学院学报,2 0 2 3,4 1(1):1 0 1-1 0 8.YANG H u a i j u n,ME N G J i n t a o,Z HOU Y o n g w e i.S u p e r c o n v e r g e n t e r r o r a n a l y s i s o f C r a n k-N i c o l s o n f u l l y d i s c r e t e s c h e m e s f o r p a r a b o l i c i n t e g r a l-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nJ.J o u r n a l o f Z h e n g z h o u I n s t i t u t e o f A e r o n a u t i c a l I n d u s t r y M a n a g e m e n t,2 0 2 3,4 1(1):1 0 1-1 0 8.1 2 梁聪刚,杨晓侠,石东洋.抛物积分微分方程的W i l s o n元收敛性分析J.数学物理学报,2 0 1 9,3 9(5):1 1 5 8-1 1 6 9.L I ANG C o n g g a n g,YAN G X i a o x i a,S H I D o n g y a n g.C o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f W i l s o n e l e m e n t f o r p a r a b o l i c i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o nJ.A c t a M a t h e m a t i c a S c i e n t i a,2 0 1 9,3 9(5):1 1 5 8-1 1 6 9.1 3 曲双红,郭昱杉,关宏波.抛物型积分微分方程的连续时空有限元方法J.河南师范大学学报(自然科学版),2 0 2 2,5 0(3):6 7-7 2.QU S h u a n g h o n g,GUO Y u s h a n,GUAN H o n g b o.C o n t i n u o u s s p a c e-t i m e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f p a r a b o l i c t y p eJ.J o u r n a l o f H e n a n N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 2,5 0(3):6 7-7 2.1 4 S H I D o n g y a n g,WAN G P i n g l i,Z HAO Y a n m i n.S u p e r c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f a n i s o t r o p i c l i n e a r t r i a n g u l a r f i n i t e e l e m e n t f o r n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o nJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s,2 0 1 4,3 8:1 2 9-1 3 4.1 5 WAN G J i a n y u n,CHE N Y a n p i n g.S u p e r c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f b i-k-d e g r e e r e c t a n g u l a r e l e m e n t s f o r t w o-d i m e n s i o n a l t i m e-d e p e n d e n t S c h r d i n g e r e q u a t i o nJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s,2 0 1 8,3 9(9):1 3 5 3-1 3 7 2.1 6 S H I D o n g y a n g,WAN G J u n j u n.U n c o n d i t i o n a l s u p e r c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f a l i n e a r i z e d G a l e r k i n F EM f o r n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o nJ.M a t h e m a t i c a l M e t h o d s i n t h e A p p l i e d S c i e n c e s,2 0 1 8,4 1(1 6):6 1 5 5-6 1 6 9.1 7 S H I D o n g y a n g,WAN G J u n j u n.U n c o n d i t i o n a l s u p e r c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f a c r a n k-n i c o l s o n G a l e r k i n F EM f o r n o n l