四川成都市届高中毕业班三诊断性检测题(理科数学)详细答案.doc

2008届高中毕业班第三次诊断性检测题
数学 (理科)
参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率：Pn(k)＝CnkPk(1－P)n－k
球的表面积公式：S＝4πR2(其中R表示球的半径)
球的体积公式：V球＝πR3(其中R表示球的半径)
第一卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上．
1、计算1－2sin2的值为( )
A、1 B、 C、 D、
2、已知a、b∈R，i为虚数单位，若＝a＋bi，则a＋b的值为( )
A、0 B、1 C、2 D、3
3、设A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x||x|＜1}，则“x∈A”是“x∈B的( )”
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、的结果为( )
A、1 B、2 C、3 D、不存在
5、已知(ax－)6的二项展开式中常数项为－160，则常数a的值为( )
A、 B、－ C、－2 D、2
6、若非零向量与满足|＋|＝||，则△ABC的形状是( )
A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
7、若函数y＝g(x)与y＝x2＋1(x≤0)互为反函数，则函数y＝g(－x)的大致图象为( )

A、 B、 C、 D、

Q
P
α
β
A
C
8、如图，已知二面角α－PQ－β的大小为60°，点C为
棱PQ上一点，A∈β，AC＝2，∠ACP＝30°，则点A到
平面α的距离为( )
A、1 B、
C、 D、
9、某炮兵旅接到上级命令，要派出4个连队急赴某市遭受冻雨灾情较重的A、B、C三地执行抢险救灾任务（每地至少派1个连队），则恰有2个连队被派往受灾最重的A地的概率为( )
A、 B、 C、 D、
10、设随机变量ξ服从正态分布N(μ，δ2)(δ＞0)，若P(ξ＜－1)＋P(ξ＜0)＝1，则μ的值为( )
A、－ B、 C、1 D、－1
11、设计一个计算机自动运算程序:1⊕1＝2，(m＋1)⊕n＝m⊕n－1，m⊕(n＋1)＝m⊕n＋2(m、n∈N*)，则2004⊕2008的输出结果为( )
A、2008 B、2017 C、2013 D、20082
12、已知A(x1，y1)是抛物线y2＝4x上一个动点，B(x2，y2)是椭圆＝1上的一个动点，定点N(1，0).若AB∥x轴，且x1＜x2，则△NAB的周长l的取值范围是( )
A、(，2) B、(，4) C、(，4) D、(2，4)
第二卷(非选择题，共计90分)
二、填空题(本大题共计4小题，每小题4分，共计16分)把答案填在题中横线上
13、已知数列{an}的通项公式为an＝－2n＋11，其前n项和为Sn(n∈N*)，则当Sn取最大值时，n＝_______________.
A
B
C
D
B1
A1
C1
D
1
E
14、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x、ω、φ∈R)的图象上相邻最高点与最低点之间的距离为，则函数f(x)的最小正周期为_______________.
15、已知圆C以双曲线－y2＝1的右焦点为圆心，并经过双曲线的
左准线与渐近线的交点，则圆C的标准方程为______________.

16、已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，
AA1＝AB＝AD＝1，E为A1D1的中点。给出下列四个命题：①∠BCC1为
异面直线ad与CC1所成的角；②三棱锥A1－ABD是正三棱锥；
③CE⊥平面BB1D1D；④；⑤||＝.
其中正确的命题有_______________.(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共6小题，共74分)
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分12分)
已知△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若直线l1：(a2＋c2－ac)x＋by＋2＝0与;l2：bx＋y＋1＝0互相平行(b≠2).
(1)求角B的大小；
(2)若a＝4，b＝4，当向量＋与向量m＋垂直时，求实数m的值.

A
B
C
D
E
F
G
18、(本小题满分12分)
如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，E是BD上的一个动点，现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，如图2所示.
(1)若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG；
A
B
C
D
(2)当图1中AE＋EC最小时，求图2中二面角A－EC－B的大小.

图2
图1

19、(本小题满分12分)
某中学开展“创建文明城市知识竞赛”活动，竞赛题由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，要求学生在规定时间内通过笔试完成，且每道题必须选出一个选项(不得多选或不选)，每道题选正确得6分。已知学生甲对任一道题选择正确的概率为；学生乙由于未作准备，因此只能从每道题的4个选项中随机地选择1个.
(1)若选错得0分，比较甲得66分的概率与乙得54分的概率的大小；
(2)为防止个别学生像乙那样随机地作出选择，学校决定对每道选择错误的倒扣若干分，但倒扣太多对学生不公平，倒扣太少又达不到杜绝乱选的目的，倒扣的分数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获，换句话说，如果学生每道题都随机选择，那么他20道题所得总分的数学期望应该是0.问:对每道题选择错误应该倒扣多少分比较合适?

20、(本小题满分12分)
已知定义在R上的奇函数f(x)＝的导函数f '(x)，且f(x)在点x＝1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(m，m＋2)上是增函数，求实数m所有取值的集合；
(3)当x1、x2∈R时，求f '(x1)－f '(x2)的最大值.

21、(本小题满分12分)
已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(－，0)、(，0)，点A、N满足||＝2，＝(＋)，过点N且垂直于AF的直线交线段AE于点M，设点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)若轨迹C上存在两点P和Q关于直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)对称，求k的取值范围；
（3）在（2）得条件下，设直线l与轨迹C交于不同的两点R、S，对点B(1，0)和向量a＝(－，3k)，求·－|a|2取最大值时直线l的方程.

22、(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列{an}满足：，n∈N*.
(1)求a1、a2、a3，猜测an的表达式并证明；
(2)求证：sin;
(3)设数列{sin}的前n项和为Sn，求证：＜Sn＜.
四川省成都市2008届高中毕业班第二次诊断性检测题
数学 (理科)参考答案
一、选择题
DCABD CDCBA CB
二、填空题
13、5； 14、π； 15(x－2)2＋y2＝13、 16、②④⑤
三、解答题
A
B
C
D
E
F
G
x
y
z
17、(1)∵l1∥l2，∴a2＋c2－ac＝b2 ……2'
由余弦定理，得cosB＝
∴B＝60° ……4'
(2)在△ABC中，由正弦定理，得
∴sinA＝，∵a＜b，∴A＜B，∴A＝30° ……6'
∴C＝90°
∴·＝0 ……8'
又＋与向量m＋垂直
∴(＋)·(m＋)＝0
∴2＋2＋m·＋·＝0 ……10'
即×m×16＋48＝0
∴m＝－12 ……12'
18、(1)证明(略) ……4'
(2)由图1可知，当AE＋EC最小时，E是BD的中点
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，∴AB⊥面BCD.
故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，
BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立
如图所示空间直角坐标系B－xyz.
则A(0，0，1)，C(1，，0)，D(0，0)，E(0，，0)
＝(0，－，1)，＝(1，，0)
设平面AEC的一个法向量为n1＝(x，y，z)
则 Þ
解得x＝－z，y＝z
∴平面AEC的一个法向量为n1＝(－1，，1)
而平面BCE的一个法向量为n2＝(0，0，1)
∴cos<n1，n2> ＝ ……10'
显然，二面角A－EC－B为锐角
所以，二面角A－EC－B的大小为60°. ……12'
19、(1)甲得66分(正确11题)的概率为P1＝C2011()11()9 ……2'
乙得54分(正确9题)的概率为P2＝C209()9()11 ……4'
显然P1＝P2，即甲得66分的概率与乙得54分的概率一样大. ……6'
(2)设答错一题倒扣x分，则随机选择20个题答案后得分的期望为
(6×－x×)×20 ……10'
由题：(6×－x×)×20＝0
解得：x＝2
即每答错一题应该倒扣2分 ……12'
20、(1)f(x)＝是奇函数，易得b＝0 ……2'
又f '(x)＝且f(x)在x＝1处取得极值
∴f '(1)＝0 Þ a＝1，
故f(x)＝ ……4'
(2)∵f '(x)＝
由f '(x)..0 Þ －1＜x＜1
若f(x)在区间(m，m＋2)上是增函数，则有m＝－1
即m的取值集合为{1}. ……8'
(3)∵f '(x)＝＝4[]
令t＝，则f '(x)＝g(t)＝4(2t2－t)＝8(t－)2－，t∈(0，1]
∴f '(x)∈[－，4]
∴f '(x1)－f '(x2)≤4－(－)＝
∴f '(x1)－f '(x2)的最大值为. ……12'
21、(1)∵＝(＋)，∴N为AF的中点
∴||＝||
∴||＋||＝||＋||＝|错误！链接无效。＞||
∴点M的轨迹C是以E、F为焦点的椭圆 ……2'
∵长半轴a＝，半焦距c＝
∴b2＝a2－c2＝1
∴点M的轨迹C的方程为＋y2＝1 ……4'
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ中点T(x0，y0)
由 Þ
Þ y0＝kx0
又y0＝k(x0＋1)，∴x0＝－，y0＝－ ……6'
∵中点T(x0，y0)在椭圆内部，∴＋y02＜1
Þ k2＜1
∴k∈(－1，0)∪(0，1) ……8'
(3)将y＝k(x＋1)(k≠0)代入椭圆C：＋y2＝1中，整理得
(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－3＝0
设R(x3，y3)、S(x4，y4)
则x3＋x4＝－，x3x4＝
所以y3y4＝k2(x3＋1)(x4＋1)＝k2(x3＋x4＋x3x4＋1)＝－ ……10'
∴·－|a|2＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4－3－9k2
＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4－3－9k2
＝＋＋1－－3－9k2
＝－3－9k2
＝－[＋3(1＋3k2)]
≤－2×4＝－
当且仅当＝3(1＋3k2)，即k2＝∈(0，1)时等号成立
此时，直线l的方程为y＝±(x＋1) ……12'
22、(1)a1＝2，a2＝3，a3＝4
猜测：an＝n＋1 ……2'
(数学归纳法证明)略. ……4'
(2)设f(x)＝sinx－x(0＜x≤)
由f '(x)＝cosx－＝0得x＝arccos
由y＝cosx的单调性，知f(x)在(0，]内有且只有一个极大值点，
且f(0)＝f()＝0
因此在(0，]内，f(x)＞0，即sinx＞x
令x＝，∵ ∈(0，]
∴sin
又当n＝1时，
∴sin
∴sin ……8'
(3)∵anan＋1≥6，∴ ∈(0，)
由(2)可知，sin＞
∴Sn＝sin＋sin＋……＋sin
＞2(－＋－＋……＋)
＝2(－)≥
即对一切n∈N*，Sn＞ ……11'
同理可证sinx＜x(0＜x＜)
∴Sn＝sin＋sin＋……＋sin
＜π(－＋－＋……＋)
＝π(－)＜
即对一切n∈N*，Sn＜
∴＜Sn＜. ……14'

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