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数学教学中学生创新思维的培养张旭

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数学教学中学生创新思维的培养
鳌阳中学　　张旭

摘要:教育的目的是培养学生的创造力，本文笔者尝试从教学方法入手，想方设法启动学生思维，激发学生无限的创造火花。因水平所限，不足之处敬请指教。
关键词：数学教学 培养 中学生创新思维

正 文
创新是一个民族进步的灵魂，国家兴旺发达的不竭的动力,是人类社会发展与进步的永恒主题;不仅是科技界和高等学校的任务，也是基础教育面临的重要任务。江泽民说:“教育是知识创新﹑传播和应用的主要阵地,也是培育创新精神和创新人才的摇篮."又说:“教育在培养民族创新精神和培养创造性人才方面旧后肩负着特殊的使命。”创新教育是指在基础教育阶段以培养人的创新精神和创新能力为基本价值取向的教育实践.它以挖掘人的创新潜能,弘扬人的主体精神，促进人的个性和谐发展为宗旨，通过对传统教育的扬弃,探索和够建一种新的教育与模式，并使之逐渐丰富和完善。创新教育是以培养人的创造精神，创新能力和创新人格为基本取向的教育实践活动，其核心是培养学生的创新思维.
创新思维，就是应用全新的方案或程序解决问题的思维。这种思维不禁锢于旧有的方法和答案，是根据问题情境重新组合原有知识经验，独立进行探索，在此基础上产生出新颖的，前所未有的思维成果，它是有创见的思维,是人类思维的高级方式。
数学是思维的体操。学习数学不仅是升学和参加生产劳动的需要，而且是锻炼和培养思维能力的重要途径。本文试数学教学中培养创造思维作粗浅探索。
一﹑巧设悬念，激发兴趣，培养创新意识
巧设悬念，是激发学生求知欲的一种最有效的方法.
例如，在教学“数的乘方”这一节时，提出这样的问题（—1)1900是多少？同学们开始时都表示不知道。这样,使他们带着问题，带着渴望参与教学活动。教师再因势利导，与学生一起寻找“数的乘方”的运算规律，使教学过程生动活泼﹑紧张有趣，大大地激发了学生的求知欲和进取心，培养了学生的探索精神和创新意识。
二﹑直观演示，激发兴趣,培养探索意识
在数学教学中，直观演示是一座桥梁，它能沟通具体与抽象﹑感性与理性之间的联系。直观演示的方法是通过学生身边熟悉的事物﹑亲身体验,从想象到发现﹑猜想。这样能激发学生的形象思维，然后给出验证,从而引起他们的学习兴趣。
例如，在教学“三角形三条边关系定理和推论”时，可要求学生每人课前准备一支木棒，教师自己准备两支木棒，课上请同学们拿着自己准备好的木棒，与教师的两支木棒围成三角形，并把每支木棒的长度记下来，引导学生观察分析这些记录的数据，哪些长度的木棒可以围成三角形。通过分析，研究，得出了这样的结论：三角形两边的和一定大于第三边，三角形两边的差一定小于第三边。
又如，在学习“圆与圆的位置关系"时，要求学生事先准备两个大小不等的圆。上课时,可先提出问题：圆与圆的位置关系有几种？然后教师把圆放在黑板上缓慢地移动，一边演示，一边启发学生观察,从感性上直接认识了两圆的各种位置关系。这样学生能在轻松，愉快的学习气氛中掌握新知识，并较好地培养了学生的自主探索意识。
三﹑创设情境,激发兴趣,培养创新能力
数学课的学习过程是一个不断发现问题，分析问题，解决问题的过程。在教学中，教师要认真创造境，提供适当的问题。激发学生去思考，使他们在迫切要求解决问题的欲望之下展开思维，从而以高度的注意力投入教学活动中去。
例如，在教学“等腰三角形判定定理”时,教师可创设这样的问题情境：有一块等腰三角形玻璃，不慎被打破成两块,若要再配一块同样的玻璃，是否必须两块都带去？只带一块去行吗？为什么？这样创设了一道联系实际的问题情境，激发学生思维的浪花,学生对这一富有生活气息的问题,倍感亲切，铙有兴趣，课堂气氛顿时活跃起来。他们积极动脑思考，动手操作，得出几种不同的解决方案，由此引入新课。这样创设问题情境,达到扣人心弦，引人入胜的效果。学生不仅学习了书本上的知识，而且能灵活运用所学知识，解决生活中的实际问题，从而培养了学生的创新能力。
四、常规问题新解，巧妙创新
有些常规问题,用常规方法求解，显得十繁琐，若深入观察题设条件，挖掘题设条件的内在联系,进行多角度，多方位思考，常常会找到意想不到的“绝招”.
{
例1,解方程组
x+y+z=1 (1)
X2+y2+z2=1/3 （2)
X3+y3+z3=1/9 （3)
本题若用常规的消元法求解，是相当繁杂的，若通过构造方程,就显得简洁﹑巧妙。
解:构造方程
由（1）2得 x2+y2+Z2+2（xy+yz+zx）=1
将（2）代人上式，得xy+yz+zx=1/3 （4)
因 x3+y3+z3-3xyz=(x+y+Z）[xz+y2+z2—（xy+yz+zx）］
再将（1）﹑（2）﹑（3）﹑（4）代入上式得xyz=1/27 （5）
由（1）﹑（4）﹑（5）可知x﹑y﹑z是方程t3-t2+t/3—1/27=0（6）
的三根﹑而方程（6)，即 (t—1/3)3=0 它有三根﹑而方程（6），即 （t-1/3）3=0 它有三个等根1/3，故原方程组有唯一解： x=y=z=1/3 这种反常规而解之，不乏创新意识和创新能力。教学当中加强常规问题新解训练,对于培养学生的创新思维能力不无作用。
五、大胆进行猜想，思索创新
英国数学家休厄尔有句名言：“若无某种大胆放肆的猜测，一般是作不出知识的进展的”可见，猜测能力在数学学习中是十分重要的。猜测，是进行科学研究的一种广泛应用的思想方法.猜测是创新的前奏。它是根据已知的原理和事实,对未知的现象及其规律所作出的一种假定性命题。这样的假定性命题是否正确，尚需通过验证和论证.
例２,计算１１１．．．１－２２２．．．２
2n个 n个
分析：为了找到解题的突破口，避免漫无边际的盲目探索，先猜测结果.
n=1时，原式＝１１－２＝３
n=2 原式＝１１１１－２２＝３３
n=3 原式＝１１１１１１－２２２＝３３３
由此可猜测原式＝３３３。。。３
解：设a=111…1，则原式＝a。10n+a-2a=a(10n—1）
=a。9a=333…3
六、通过一题多解,促进创新
一题多解，就是用不同的思维方法、多角度、多途径地解答问题。一道题目多种解法极富技巧性、趣味性。广阔寻找多种解法,不但使学生可以从中逐渐培养数学数学素养，并得到美的思维。
例３，已知а﹑β是方程x2—x—1=0的两个实数根，求а4+3β。
解法一:∵а﹑β是方程x2—x—1=0的两根,由根的意义和根与系数关系得:а＋β＝１，а２－а－１＝０。
∴а２＝а＋１
∴а４＝（а＋１)２＝а２＋２а＋１＝３а＋２
∴а4+3β=3а+2+3β=3(а+β）+2=5
解法二：
∵а＋β＝１，а２－а－１＝０（解法－已证）∴β＝１－а
∴β＝１－а
∴а４＋３β＝а４＋３（１－а）＝а４－３а＋３
　　　　　　　　　　　　 ＝（а＋１)２－３а＋３
　　　　　　 ＝а２＋２а－３а＋４　
　　　　　　　　　　　　　　 ＝（а２－а－１）＋５＝５
解法三:
由解法－可知：∵а＋β＝１，а２－а－１＝０
∴β＝１－а
∴а４＋３β＝а４－３а＋３
＝（а２＋а＋２)（а２－а－１）＋５
＝５
上述三种解法的共同点是：由一元二次方程的意义和根与系数的关系,得：а＋β＝１，а２－а－１＝０,在此前提下变换不同角度，得到不同方法：解法－是先用а的代数式表示а４，再利用а＋β＝１获解；解法二直接利用а２－а－１＝０；解法三利用因式分解法.三种方法构思均较巧妙，充分体现创新精神。
七、通过一题多变，培养学生的创新能力
一题多变，就是指一个题目适当变换，变化为多个与原题内容不同的题目。加强变式练习有利于拓宽学生的视野、深化知识,举一反三，触类旁通,不但提高解题能力，而且又培养了创新能力.
１、变题设：把原题目中的若干题设作改动，其余题设和结论不变。
例１已知D在AB上,点E在AC上，BE和CD相交于点O,AB=AC，∠B=∠c,求证：BD=CE.
本题若把题设中的“∠B=∠c"改为“∠ODB=∠OEC”就变成另一道题。可引导学生先证∠B=∠c
２、变结论：题设不改，只是将结论作改动。
例１中，保持题设﹑图形不变，把结论“BD=CE”改为证明“OD=OE”或“OB=OC".这个变题比例１难度大，实合于中上学生，正好给“吃不饱”学生加餐.
３﹑变图形：把图形作折叠﹑翻转﹑旋转等变换，而成另一个图形。
例如讲完例１，可让学生把课前备好的两个全等三角形像例
１的图形那样叠好，引导学生将△ABC和△ACD在同一平面内作旋转变换。
变式训练能培养学生独立思考能力，发散思维能力，通过不断打破原有的认知平衡，激发学习欲望，发展积极的探索精神。
４、换题型：将原题型改成新的题型，变单调的习题模式为形式各异的题目，从而训练学生的综合能力，培养学生思维的适应性.
例２如图，已知△ABC,P是边AB上的一点，连接CP。
（１）∠ACP满足什么条件时，△ACP～△ABC；
（２）AC:CP满足什么条件时，△ACP～△ABC。
A

B C
变换1 改为填空题　当满足 时，
P

△ACP～△ABC虽然本题表面上看是对原
(1）（2）小题的综合，但实质上包含
了分类探索的思想,即已知一组。对应角相等，分类探索求三角形相似的其它条件。
变换２改为选择题
使△ACP~△ABc成立的条件是（　　）
（A)AC：BC=AB：AC
（ B） AC:Ap=PB:AC
( C） AB2 =AP：AC
（ D) AC2 =AP：AB
此题名为选择题实为由原例2的探求方法而得到的结论，但选择题也有特殊的
解法，比如,本例中可通过逐一验证而排除选择支A﹑B﹑C.
变换3 改为证明题已知AC2=AP。AB,求证：AP.BC=AB。PC改为证明题后，必须用分析推理的方法来叙述。
由上述几种题型的转换，调动了学生的思维，活跃了课堂气氛，发挥了学生的想象力，也培养了学生的思维适应能力。
4、开放结论:给出问题条件,而结论不确定或不唯一,这样的问题可培养学生的发散性思维能力和探索精神，是创新能力的集中体现。
例２如图，梯形ABCD中AD∥BC。①AE平分∠DAB；②AE⊥EB③E为CD的中点④BE平分∠ABC⑤AB=AD+BC。从这些条件中，任选两个作为题设，其余三个作为结论，这样的真命题你能写出几个？(至少５个）并任选一个加以证明。
通过本题的解答，开阔了学生的思路，增强了学生的想象力,实现了知识的正迁移，从而提高了学生的求异思维能力，培养了学生敢于探索﹑勇于创新的精神.
七﹑联想探究，培养学生的创新思维
联想是一种发散思维，它是由于对类似事物产生类比想象而成，因此十分有利于培养学生的创新思维。在探究问题的过程中，通过联想，比较可以开阔解题思路，而且可以使问题变得易于解决。
１、由“数"的特征产生联想
例１四边形ABCD中，∠B和∠D是直角，∠C＝４５。，AB＝２厘米CD＝６厘米，求四边形ABCD的面积。
本题中这个四边形不是特殊四边形，不容易求面积，但题中４５是特殊角，它在直角三角形中能发挥特殊作用。由此联想到构造直角三角形,是解决问题的关键。
２、由“式"的结构特征产生联想
例２已知a，b满足a２-２a=1,b２-b=1，求1/a+1/b的值.
此题如果分别求出a,b的值，再代入计算是较繁的，观察条件“a2-2a=1,b2-2b=1"的结构特征，联想到方程的定义，知a,b是方程x2-2x=1的两根，这样解题就方便多了。
３、由“关键词”产生联想
例３　若满足方程（n+1)x2—x-1=0的x只有一个值,求n。
此题由题中关键词“x只有一个值"，联想到此方程是一元一次方程，或一元二次方程有相等的实数根，于是分两种情形讨论。
４、由知识点之间的联系产生联想
例４　方程x2—2x+2+1/x=0解的个数是（　)
　　（A）0 (B）1 (c)2 (D)3
此题如果直接解方程来求得根的个数是很困难的，但联想到方程与函数是紧密联系的,故可得此问题转化为求函数y=x2-2x+2和y=—1/x图象交点个数就容易多了。
５、由“特殊情形”产生联想
例５　已知桌面上有周长是４a的线圈。
（1）当线圈做成正方形时，证明：此正方形能被半径为a的圆形纸片完全盖住；
（2）当线圈做成平行四边形时，证明：此平行四边形能被半径为a的圆形纸片完全盖住；
（3)当线圈做成不规则形状时，还能不能被半径为a的圆形纸片完全盖住吗?若能盖住，请证明:若不能盖住,说明理由。
此题看上去好象比较困难,找不着突破口。事实上,要证明某一图形能被圆覆盖,只要找到一个符合条件的圆，使该图形上任一点均在圆内即可.
八、利用观察想象,孕育创新
蒋省吾教授认为:“敏锐的观察力是创造性思维的起步器，丰富的想象力是创造性思维的设计师。"如果高斯在１０岁时，没有敏锐的观察力，他就不可能发现“１＋２＋……＋１００”这道题的特点，创造性地得出那个众所周知的快速算法；如果没有丰富的想象力,笛卡尔就就不能发现直角作标系。
例６解方程:- =-（a+b≠0）
本题若按常规解法，可能就会不假思索地就写:“去分母,得……"。善于观察可发现：（１）不看符号，方程左边的两项互为倒数,右边的两项也互为倒数；（２）左边第一项与右边第二项形式相同，左边第二项与右边第一项形式一样。根据这两个特点，创造性地得到如下巧妙的解法.令m=,n=，则原方程可化为
（m-n）（1+）=0(以下略）
创新思维是在一般思维的基础上发展起来的，是人类思维能力高度发展的表现，是多种思维形式的综合体。在数学思维中，最可贵﹑层次最高的品质是创新思维。然而数学教学是培养创新思维的最有效途径.本文所例举的是培养创新思维的典范，在数学教学中应给予足够重视。当然学生的创新思维的培养也并非一朝而就，只能靠平时数学只的引导﹑渗透，靠学生的逐渐探索﹑体会。

参考文献：
1、刘兼、孙晓天：《数学课程标准解读[M］》北京师范大学出版社；
2、丁尔升主编:《中学百科全书。数学卷［M]》东北师范大学出版社；
3、斯塔科著，刘晓陵、曾守锤译《创造能力教与学》华东师范大学出版社。
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