数学建模之超市收费系统问题小作业一.doc

数学建模之超市收费系统问题小作业一

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课程设计题目超市收费系统
摘要
一小超级市场有 4 个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1s)，20％的顾客用支票或信用卡支付,这需要1.5min,付款则仅需0.5min 。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜"。
请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转.假设顾客到达平均间隔时间是 0。5min ，顾客购买商品件数按如下频率表分布。
件数

9～19
20～29
30～39
40~49

相对频率
0。12
0.10
0。18
0。28
0.20
0.12
根据题目要求建立模型并求解，应用MATLAB求解。
关键词：MATLAB 模拟模型

一、模型的分析
1．步骤
（1）分析问题,收集资料。需要搞清楚问题要达到的目标，根据问题的性质收集有关随机性因素的资料。这里用得较多的知识为概率统计方面。在这个阶段,还应当估计一下待建立的模拟系统的规模和条件，说明哪些是可以控制的变量，哪些是不可控制的变量。
（2)建立模拟模型，编制模拟程序。按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部考虑。模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。如果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有必要建立费时、复杂的模型。当然，如果开始建立的模型比较简单，与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。编写模拟程序之前，要现画出程序框图或写出算法步骤。然后选择合适的计算机语言,编写模拟程序.
（3）运行模拟程序,计算结果.为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要多次运行模拟程序，还有就是增加模拟模型的时段次数.
（4）分析模拟结果,并检验。模拟结果一般说来反映的是统计特性,结果的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验。以便提出合理的对策、方案。
以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。比如模型的修改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。
2．控制模拟时间的方法：
（1）固定时间增量法，是选用一段合适的时间作单位，然后每隔一个单位时间就计算一次有关参数的值，到达预定的模拟时间后，模拟程序结束。在编写这种程序时，一般可以建立一个“模拟时钟”变量。程序的主体框架一般是个大的循环，循环变量,则为模拟时间；在每个循环体内,就是对每个时段作处理.例如，有些排队论模型，可能就是以每隔一段时间(一天或者一个月)进行处理。
（2）可变时间增量法，模拟也有一个“模拟时钟"变量，但它是在一个事件发生时，“模拟时钟”才向前推进。需要注意的是,该模拟方法每一步经过的时间是可变的，而且会自动寻找下一个最早使系统状态发生变化的事件.整个模拟直到“模拟时钟"到达指定的时间长度为止.可以参考有关离散系统仿真的内容。
渡口模型：一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船。他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆。
分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车。
准备工作： 观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：
（1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；
（2） 来到车辆,轿车约占40％，卡车约占55％,摩托车约占5％；
(3） 轿车车身长为3。5～5.5米，卡车车身长为8～10米。

二、问题分析
这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。
解决方法：采用模拟模型方法。因此需考虑以下问题：
(1） 应该怎样安排摩托车？
(2) 下一辆到达的车是什么类型？
（3） 怎样描述一辆车的车身长度?
（4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？

本实验主要模拟装载车辆的情况，暂时不考虑渡船的安全。

三、模型建立
设到达的卡车、轿车长度分别为随机变量。结合实际，这里不妨假设卡车、轿车的车身长度均服从正态分布.
由于卡车车身长为8~10m,所以卡车车长的均值为m，由概率知识中的“"原则，其标准差为，所以得到。同理可得。

四、模拟程序设计
由以上的分析，程序设计时的应划分的主要模块（函数）如下：
确定下一辆到达车辆的类型；
根据车的类型确定到达车辆的长度；
根据一定的停放规则，确定放在哪一列。

五、模拟程序
function sim_dukou　　％渡口模型的模拟
n=input（'输入模拟次数：');
if isempty(n） ｜ (n<500）
n=500;
end
N=zeros（1，3);％依次为摩托车数量、卡车数量、轿车数量
for i=1：n
isfull=0；
L=[0 ,0］;　％第一列长度,第二列长度
while ～isfull
t=rand； ％模拟下一辆到达车的类型
if t〈=0。55，
id=1； %到达卡车
elseif t〈0。95,
id=2; %到达轿车
else
id=3; %到达摩托车
end
N(id） = N（id) + 1；
newlen=getlength（id)；
［isfull,pos］=getiffull(L,newlen）;
if ~isfull
L（pos)=L（pos)+newlen；
end％if
end％while
end%for
disp(’平均每次渡船上的车数’）
mean_n=N/n

function len=getlength(id）　%根据车的类型，产生车长随机数
switch id
case 1
len=min（［4.5 + randn*（1/3）， 5.5］）;
case 2
len=min([9 + randn*（1/3)，10］)；
case 3
len=0; ％根据放置方法，可以不予考虑
end
function ［full,pos]=getiffull（L，newlen）　%增加车长为len后是否可行（是否满），pos表示加到那一列去
full=0;
pos=0;
if L(1)〉L(2）
if L(1)+newlen〈32
pos=1;
elseif L（2）+newlen〈32
pos=2;
else
full=1；
end
else
if L(2)+newlen<32
pos=2；
elseif L(1)+newlen<32
pos=1；
else
full=1；
end
end

六、模型求解结果及分析
（一）运行结果
程序名为sim_dukou，运行程序，输出结果如下：
sim_dukou
输入模拟次数：1000
平均每次渡船上的车数
mean_n =
5.4840 3。9180 0。5160

（二）结果分析
上面为运行一次模拟程序，模拟次数为1000次的模拟结果.从模拟结果，你能得出什么结论？
发现摩托车的平均数量不到1辆，因此从另外一方面看，忽略摩托车的长度是合理的。统计结果显示平均每次渡口时船上卡车、轿车、摩托车数量分别为5.484、3.918、0。516辆。
参考代码:
clear
gds（1）=ceil（exprnd(30））；
fw（1）=time；
fwjs=zeros（4,3000);
fwjs(1,1)=gds（1）+fw（1);
dh（1)=fw(1);
for i=2:4
gds（i）=gds(i—1)+ceil（exprnd（30)）；
fw(i)=time;
fwjs(i，1）=gds(i）+fw(i)；
dh（i）=fw（i);
end
i=5;
gds(i）=gds（i—1）+ceil(exprnd（30)）；
while gds(i)〈=8*60*60
fw(i)=time;
[dh（i），fwjs2]=paidui（fwjs，gds(i）,fw(i)）;
fwjs=fwjs2；
i=i+1;
gds(i)=gds（i-1)+ceil（exprnd(30）);
end
js1.m文件:
t=rand；
if t<0.12
a=randperm（8）；
js=a（1）;
elseif t<0。22
a=randperm(11）;
js=a(1)+8;
elseif t<0.4
a=randperm（10)；
js=a(1）+19;
elseif t〈0。68
a=randperm(10）；
js=a(1)+29；
elseif t<0.88
a=randperm(10)；
js=a（1)+39;
else
t1=rand;
if t1<0。5
js=50；
elseif t1〈0.5+0。5^2;
js=51;
elseif t1<0。5+0.5^2+0.5^3；
js=52；
elseif t1<0.5+0。5^2+0.5^3+0.5^4；
js=53;
elseif t1〈0.5+0。5^2+0.5^3+0.5^4+0。5^5；
js=54;
elseif t1〈0。5+0.5^2+0。5^3+0。5^4+0。5^5+0。5^6；
js=55；
elseif t1<0.5+0。5^2+0。5^3+0.5^4+0.5^5+0。5^6+0.5^7；
js=56;
elseif t1<0。5+0.5^2+0。5^3+0。5^4+0.5^5+0.5^6+0。5^7+0.5^8;
js=57;
elseif t1<0。5+0.5^2+0.5^3+0。5^4+0。5^5+0.5^6+0。5^7+0.5^8+0。5^9;
js=58；
elseif t1<0.5+0.5^2+0。5^3+0。5^4+0.5^5+0。5^6+0.5^7+0。5^8+0.5^9+0.5^10;
js=59；
else
js=60；
end
end
js
paidui.m文件:
function ［dh,fwjs］=paidui(fwjs，gds,fw）
for l=1：4
fwjs1=fwjs(l,find(fwjs（l,：)>0）)；
j=1;
while j<length(fwjs1)
if gds〉=fwjs1（j）＆gds<fwjs1(j+1)；
dc（l）=length（fwjs1）—j；
break
end
j=j+1；
end
if gds〉fwjs1(length（fwjs1）)
dc(l）=0；
end
if length(fwjs1)==1
if gds>fwjs1(1)
dc(l）=0；
else
dc（l)=1;
end
end
end
[k，s］=min（dc）;
fwjs2=fwjs(s，find（fwjs（s,：）〉0））；
fwjs(s，length（fwjs2)+1）=max（fwjs(s，length(fwjs2）)—gds,0）+gds+fw;
dh=fwjs(s，length（fwjs2)+1)—gds;
time。m文件:
function t0=time
t=rand;
if t〈0.12
a=randperm（8）；
js=a（1）；
elseif t<0.22
a=randperm（11）；
js=a（1)+8;
elseif t〈0。4
a=randperm（10）；
js=a（1）+19；
elseif t〈0.68
a=randperm(10）；
js=a(1）+29;
elseif t〈0。88
a=randperm（10)；
js=a（1）+39;
else
t1=rand；
if t1〈0。5
js=50;
elseif t1〈0.5+0.5^2；
js=51；
elseif t1〈0.5+0。5^2+0.5^3；
js=52;
elseif t1<0。5+0。5^2+0.5^3+0.5^4;
js=53；
elseif t1〈0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0。5^5；
js=54;
elseif t1〈0。5+0。5^2+0。5^3+0。5^4+0.5^5+0。5^6;
js=55；
elseif t1〈0。5+0。5^2+0.5^3+0。5^4+0.5^5+0.5^6+0。5^7；
js=56;
elseif t1〈0。5+0。5^2+0。5^3+0。5^4+0。5^5+0。5^6+0。5^7+0.5^8；
js=57;
elseif t1<0.5+0。5^2+0.5^3+0。5^4+0。5^5+0。5^6+0。5^7+0。5^8+0。5^9;
js=58；
elseif t1〈0.5+0.5^2+0.5^3+0。5^4+0。5^5+0。5^6+0。5^7+0.5^8+0.5^9+0.5^10；
js=59；
else
js=60；
end
end
t=rand；
if t〈=0。2
t2=90;
else
t2=30;
end
t0=js+t2;

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七、参考文献
【1】 傅鹏，龚肋，刘琼荪,何中市.数学实验室【M】.北京：科学出版社，2000.
【2】 谭永基,俞文呲。数学建模【M】.上海:复旦大学出版社,1997.
【3】 杨启凡，数学建模【M】。杭州：浙江大学出版社，2000。
【5】 于秀林,任雪松.多元统计分析［M］.北京：中国统计出版社，1999。8.P154
【6】 王树禾.数学建模基础【M】.合肥：中国科学技术大学出版社，1996。
【7】 赵静，但琦.数学建模与数学试验【M】。3版.北京：高等教育出版社，2008。
符号计算系统Mathematica教程 张韵华编著 北京:科学出版社，2001 SPSS实用教程 阮桂海主编；蔡建平等编著 北京:电子工业出版社，2000
数学建模实验 周义仓,赫孝良编 西安：西安交通大学出版社,1999 数学建模竞赛赛题简析与论文点评:西安交大近年参赛论文选编 赫孝良等［选编] 西安: 西安交通大学出版社，2002
数学建模案例分析 白其峥主编 北京：海洋出版社,2000
数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003
数学建模导论 陈理荣主编 北京：北京邮电大学出版社，1999