【人教版】八年级数学下第十七章《勾股定理》课时作业(含答案).doc

第十七章勾股定理171勾股定理第1课时勾股定理01基础题知识点1勾股定理的证明1利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2b2c2.24个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试解：图形的总面积可以表示为c22abc2ab，也可以表示为a2b22aba2b2ab，c2aba2b2ab.a2b2c2.知识点2利用勾股定理进行计算3在ABC中，A，B，C的对应边分别是a，b，c，若B90，则下列等式中成立的是(C)Aa2b2c2 Bb2c2a2 Ca2c2b2 Dc2a2b24已知在RtABC中，C90，AC2，BC3，则AB的长为(C)A4 B. C. D55已知直角三角形中30角所对的直角的边长是2 cm，则另一条直角边的长是(C)A4 cm B4 cm C6 cm D6 cm6(2016阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为67在ABC中，C90，ABc，BCa，ACb.(1)a7，b24，求c；(2)a4，c7，求b.解：(1)C90，ABC是直角三角形a2b2c2.72242c2.c249576625.c25.(2)C90，ABC是直角三角形a2b2c2.42b272.b27242491633.b.8如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，B60，C45.(1)求BAC的度数；(2)若AC2，求AD的长解：(1)BAC180604575.(2)ADBC，ADC是直角三角形C45，DAC45.ADCD.根据勾股定理，得AD.02中档题9(2016荆门)如图，在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线已知AB5，AD3，则BC的长为(C)A5 B6 C8 D10 第9题图 第10题图10如图，点E在正方形ABCD内，满足AEB90，AE6，BE8，则阴影部分的面积是(C)A48 B60 C76 D80 11(2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起，其中点A与点A重合，点C落在边AB上，连接BC.若ACBACB90，ACBC3，则BC的长为(A)A3 B6 C3 D. 第11题图 第14题图12(2016东营)在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，则另一边BC等于(C)A10 B8 C6或10 D8或1013若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或14如图，在RtABC中，C90，AD平分CAB，AC6，BC8，CD315图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在RtABC中，若直角边AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76. 16如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，AC20，BC15.(1)求AB的长；(2)求CD的长解：(1)在RtABC中，ACB90，BC15，AC20，AB25.(2)SABCACBCABCD，ACBCABCD.201525CD.CD12.17(2016益阳)在ABC中，AB15，BC14，AC13，求ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程作ADBC于点D，设BDx，用含x的代数式表示CD.根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x.解：在ABC中，AB15，BC14，AC13，设BDx，则CD14x.由勾股定理，得AD2AB2BD2152x2，AD2AC2CD2132(14x)2.152x2132(14x)2.解得x9.AD12.SABCBCAD141284.03综合题18如图，已知ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是()2017第2课时勾股定理的应用01基础题知识点1勾股定理在平面图形中的应用1如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(D)A5 m B12 m C13 m D18 m 第1题图 第2题图2如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米3八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：测得BD的长度为15米；(注：BDCE)根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；牵线放风筝的小明身高1.6米求风筝的高度CE.解：在RtCDB中，由勾股定理，得CD20(米)CECDDE201.621.6(米)答：风筝的高度CE为21.6米4如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解：设码头所在的位置为C，1.5 h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则AC与正北方向的夹角为45，BC与正北方向的夹角为45，ACB90.在RtABC中，AC1624(海里)，AB30海里由勾股定理，得 BC2AB2AC2302242324.解得BC18.1812(海里/小时) 答：乙船每小时航行12海里知识点2勾股定理与方程的应用5印度数学家什迦逻(11411225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题解：如图，由题意可知AC0.5，AB2，OBOC.设OAx，则OBOAACx0.5.在RtOAB中，OA2AB2OB2，x222(x0.5)2. 解得x3.75.水深3.75尺6如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B为猴子的初始位置，则AB10 m，C为池塘，则AC20 m.设BDx m，则树高AD(10x)m.由题意知BDCDABAC，xCD2010.CD(30x)m.在RtACD中，A90，由勾股定理得AC2AD2CD2，202(10x)2(30x)2.x5.AD10515(m)故这棵树有15 m高知识点3 两次勾股定理的应用7(2017绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C)A0.7米 B1.5米 C2.2米 D2.4米 第7题图 第8题图8如图，滑竿在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米02中档题9如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了_步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草 (D)A4 B6 C7 D8 第9题图 第10题图10如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)A4米 B8米 C9米 D7米 11如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm. 第11题图 第12题图 习题解析12将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7h1613如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h. 解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在RtDEF中，根据勾股定理，得DE150.h22015070(cm)彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.14超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO60，BPO45，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在RtAPO中，APO60，则PAO30.AP2OP200 m，AO100(m)在RtBOP中，BPO45，则BOOP100 m.ABAOBO10010073(m)从A到B小车行驶的速度为73324.3(m/s)87.48 km/h80 km/h.此车超过每小时80千米的限制速度03综合题15如图，在RtABC中，C90，AB5 cm，AC3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当ABP为直角三角形时，求t的值解：(1)在RtABC中，由勾股定理，得BC2AB2AC2523216.BC4 cm.(2)由题意，知BPt cm，当APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BPBC4 cm，t4；当BAP为直角时，如图2，BPt cm，CP(t4)cm，AC3 cm，在RtACP中，AP2AC2CP232(t4)2.在RtBAP中，AB2AP2BP2，即5232(t4)2t2.解得t.当ABP为直角三角形时，t4或t.第3课时利用勾股定理作图01基础题知识点1在数轴上表示无理数1在数轴上作出表示的点(保留作图痕迹，不写作法)解：略知识点2网格中的无理数2如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)A5 B6 C7 D25知识点3等腰三角形中的勾股定理3在ABC中，ABAC13 cm，BC10 cm，求等腰三角形的边上的高与面积. 解：过点A作ADBC于D，ABAC13 cm，BDCDBC105(cm)AD12(cm)SABCBCAD101260(cm2)02中档题4(2017南充)如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A(1，1，) B(，1) C(，) D(1，)5(2017成都)如图，数轴上点A所表示的实数是1 第5题图 第6题图6(2017乐山)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离7如图，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长解：ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，CBCD，CDEDCE60.BDCDBCDCE30.BDE90.在RtBDE中，DE4，BE8，DB4.03综合题8仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题. OA()212，S1；OA()213，S2；OA()214，S3；求：(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出SSSS的值解：(1)OA()21n，Sn(n为正整数)(2)OA()2110，OA10.(3)SSSS()2()2()2()2()2.小专题(二)巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 解决折叠问题关键是抓住对称性勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解. 【例1】直角三角形纸片的两直角边AC8，BC6，现将ABC如图折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，则BE的长为1(2017黔西南)如图，将边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是cm. 第1题图 第2题图2如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF3，则AB6类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题 立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解【例2】(教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(取3)【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A点的AA剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走【解答】如图，由题意可得：AA12，AB239. 在RtAAB中，根裾勾股定理得：AB2AA2AB212292225.AB15.需要爬行的最短路径是15 cm.3如图是一个高为10 cm，底面圆的半径为4 cm的圆柱体在AA1上有一个蜘蛛Q，QA3 cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB12 cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm.(结果用带和根号的式子表示) 第3题图 第4题图4如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是2.60m(精确到0.01 m)5如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，A2C2(cm)A1C2(cm)(2)如图1所示，A2C15(cm)如图2所示，A2C1(cm)如图3所示，A2C12(cm)52，一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 cm.17.2勾股定理的逆定理01基础题知识点1互逆命题1下列各命题的逆命题不成立的是(C)A两直线平行，同旁内角互补 B若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C对顶角相等 D如果a2b2，那么ab2写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等是假命题(2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形是真命题知识点2勾股定理的逆定理3下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B)A.， B1，C6，7，8 D2，3，44下列各组数是勾股数的是(A)A3，4，5 B1.5，2，2.5 C32，42，52 D.，5在ABC中，AB8，AC15，BC17，则该三角形为(B)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形6三角形的边长之比为：1.522.5；47.58.5；12；3.54.55.5.其中可以构成直角三角形的有(C)A1个 B2个C3个 D4个7如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B)A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或钝角三角形8已知：在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角(1)a，b2，c；(2)a5，b7，c9；(3)a2，b，c；(4)a5，b2，c1.解：(1)是，B是直角(2)不是(3)是，C是直角(4)是，A是直角9如图，在ABC中，ADBC，AD12，BD16，CD5.(1)求ABC的周长；(2)判断ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在RtABD和RtACD中，根据勾股定理，得AB2AD2BD2，AC2AD2CD2，又AD12，BD16，CD5，AB20，AC13.ABC的周长为ABACBCABACBDDC201316554.(2)ABC不是直角三角形理由：AB20，AC13，BC21，AB2AC2BC2，ABC不是直角三角形02中档题10如图，AD为ABC的中线，且AB13，BC10，AD12，则AC等于(D)A10B11C12D1311已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a6)20，那么下列说法中不正确的是(C)A这个三角形是直角三角形B这个三角形的最长边长是10C这个三角形的面积是48D这个三角形的最长边上的高是4.812下列定理中，没有逆定理的是(B)A等腰三角形的两个底角相等B对顶角相等C三边对应相等的两个三角形全等D直角三角形两个锐角的和等于9013一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则NOF的度数为(C)A50 B60 C70 D8014把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形15如图是一个零件的示意图，测量AB4 cm，BC3 cm，CD12 cm，AD13 cm，ABC90，根据这些条件，你能求出ACD的度数吗？试说明理由解：在ABC中，AB4，BC3，ABC90，根据勾股定理，得AC2AB2BC2423252.AC5 cm.AC2CD25212225144169，AD2132169，即AC2CD2AD2.ACD是直角三角形，且AD为斜边，即ACD90.16如图，在四边形ABCD中，ABBC1，CD，DA1，且B90.求：(1)BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)解：(1)连接AC.ABBC1，B90，BACACB45，AC.又CD，DA1，AC2DA2CD2.ADC为直角三角形，DAC90.BADBACDAC135.(2)SABCABBC，SADCADAC，S四边形ABCDSABCSADC.03综合题17在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：n2345a221321421521b46810c221321421521(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n(n1)的代数式表示a，b，c，则an21，b2n，cn21；(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论解：以a，b，c为边的三角形是直角三角形证明：a2b2(n21)2(2n)2n42n214n2(n21)2c2，以a，b，c为边的三角形是直角三角形章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1如图，在ABC中，C90，A30，AB12，则AC(C)A. 6 B6C6 D. 12 第1题图 第2题图2如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为643如图，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD24如图，在四边形ABCD中，B90，CDAD，AD2CD22AB2.求证：ABBC.证明：连接AC.在ABC中，B90，AB2BC2AC2.CDAD，ADC90.AD2CD2AC2.AD2CD22AB2，AB2BC22AB2.BC2AB2.AB0，BC0，ABBC.知识点2勾股定理的应用5如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A12 m B13 m C16 m D17 m 第5题图 第6题图6已知A，B，C三地位置如图所示，C90，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向7(2016烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为知识点3逆命题与逆定理8“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题知识点4勾股定理的逆定理及其应用9在ABC中，AB6，AC8，BC10，则该三角形为(B)A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形02中档题10如图，在ABC中，C90，AC2，点D在BC上，ADC2B，AD，则BC的长为(D)A.1 B.1 C.1 D.1 第10题图 第11题图11(2016漳州)如图，在ABC中，ABAC5，BC8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)若线段AD长为正整数，则点D的个数共有(C)A5个 B4个C3个 D2个12如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC的度数为(C)A90 B60C45 D30 第12题图 第13题图13如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)ACD，EF，GH BAB，EF，GH CAB，CD，EF DGH，AB，CD14若一个三角形的周长为12 cm，一边长为3 cm，其他两边之差为 cm，则这个三角形是直角三角形15有一块空白地，如图，ADC90，CD6 m，AD8 m，AB26 m，BC24 m试求这块空白地的面积解：连接AC.ADC90，ADC是直角三角形AD2CD2AC2，即8262AC2，解得AC10.又AC2CB2102242262AB2，ACB是直角三角形，ACB90S四边形ABCDSRtACBSRtACD10246896(m2)故这块空白地的面积为96 m2.16小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD2，求AC的长解：BDCD2，BC2.设ABx，则AC2x.x2(2)2(2x)2.x284x2.x2.x.AC2AB.03综合题17如图，在ABC中，ACB90，ACBC，P是ABC内一点，且PA3，PB1，CDPC2，CDCP，求BPC的度数解：连接BD.CDCP，CPCD2，CPD为等腰直角三角形CPD45.ACPBCPBCPBCD90，ACPBCD.CACB，CAPCBD(SAS)DBPA3.在RtCPD中，DP2CP2CD222228.又PB1，DB29，DB2DP2PB2819.DPB90.CPBCPDDPB4590135.