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20102011年第二学期 微积分期末考试试卷（A卷）及其参考答案（985）共8页20题 考试时间：2011.7.4 上午9：0011：30 考试方式：闭卷题号一二三四五 六总分满分得分得 分评卷人评卷人一.填空题（每小题3分，共 18分）（将答案填在题中横线上，不填解题过程）1设为椭圆抛物面与柱面围成的空=间立体，它在平面上的投影区域是解：联立消去变量，得所以它在平面上的投影区域是：2旋转抛物面在点处的切平面是解：设 ，则所以，切平面的方程为：化简后，得： .3函数，在点处，当时的全微分为 解：当时，4设由直线和围成，则解：5函数在点处的梯度是解： ，所以 6设为抛物线，直线相交组成的闭曲线，则解：由格林公式，知 二.单项选择题（每小题3，共 12分）（将正确选项前的字母填入题中的括号内）7. 已知的三个特解：，则该方程的通解为； ； ； .解：根据二阶常系数线性微分方程解的性质知，及均是对应的齐次方程的解，故齐次通解为；所以原非齐次方程的通解是选注意：如视为区域，则在实际计算时，需要将其分成两小块分别计算.8. 考虑函数在点处的以下性质： 连续； 两个偏导数存在且连续；可微分； 两个偏导数存在.则成立.； ； .解：选.9设满足，则对上的富里叶级数成立.； ； .解：由已知，有 这说明以为周期.又由公式（） ，所以 ；同理 （） ，所以 ；故选10. 设， 在上连续，则（ ）； ； ； .解：选得 分评卷人评卷人三.（每小题6分，三个小题共18分）11设是由方程 所确定的隐函数，求和解法一：令 则 ； ；故 ；.所以 ，12.解法二：两边全微分，得 即 将代入得 即 所以 ，12设函数有连续的偏导数，且由方程所确定，求解：由式 故 所以 （代入） 13设，其中具有二阶连续（偏）导数.求解：（一）；（二） 得 分评卷人评卷人四.（每小题9分，两个小题共18分）14设由曲线组成，证明：曲线积分证明： 记；.又设是由曲线围成的区域，则由格林公式，有 由对称性，故15求半径为，高为的球冠的面积.解法一：设球面方程为 则球冠在面上的投影区域为 即 又由球面得 所以球冠的面积. （其中 ） 解法二：球冠可视为由面上的一小段圆周曲线绕轴旋转生成.在上点处取微元.绕轴旋转所生成的那块曲面可近似看成圆柱面，面积为：.其中，为点到轴的距离.所以，因此 由的参数方程得 所以 五.（本大题共三小题，每小题满分为8分，共24分）.得 分评卷人评卷人16计算，其中是圆柱面被平面和所截出部分的外侧.解法一：（直接计算）在平面上的投影区域为，将分为，其中（取右侧）；（取左侧）.故 ； （1）在平面上的投影区域面积为零，故 （2）故 解法二：利用高斯公式计算取为平面上介于圆柱面之间的那一部分的上侧；取的下侧.则构成立体的整个封闭曲面的外侧.因此由高斯公式： （1） 故 （2）又在在平面上的投影区域面积为零；而在平面上的投影区域为，所以又在在平面上的投影区域面积为零；而在平面上的投影区域为，所以所以 17计算，其中由曲面及两平面，所围成.解法一： .解法二：柱面坐标系 18设，其中由及曲线围成，求解法一： （1）其中 ； （令） （2）所以 解法二：设以，为顶点的正方形区域为；曲线和轴围成的半圆区域为，则 其中 ； （令） 所以 解法三：做坐标平移变换记则在新的直角坐标系下，积分区域变为由由及曲线围成，关于轴对称。所以 得 分评卷人评卷人六（每小题5分，两个小题共10分）19求函数在闭区域上的最值.解：（一）内部解方程组 或 得两个驻点：算得 （二）边界上作拉格朗日函数，令 解之，,或.由于，所以，在闭区域上的最大值为112，最小值为-16.20设点，质点沿以为直径的半圆周从到 按逆时针运动，所受力为，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段且与轴正向夹角小于求变力对质点所做的功.解：设按题意，变力的大小为 向径，的单位向量为则变力的单位向量应为所以 变力圆弧的方程为化为参数式即为 所以变力对质点所做的功为 10 / 10