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2010~2011年第二学期
《微积分》期末考试试卷（A卷）及其参考答案（985）
共8页20题 考试时间：2011.7.4 上午9：00—11：30 考试方式：闭卷

题号
一二
三
四
五
六
总分
满分

得分

得 分
评卷人
评卷人

一.填空题（每小题3分，共 18分）
（将答案填在题中横线上，不填解题过程）

1．设为椭圆抛物面与柱面围成的空=间立体，它在平面上的投影区域是
解： 联立消去变量，得所以它在平面上的投影区域是：
2．旋转抛物面在点处的切平面是
解：设 ，则

所以，切平面的方程为：
化简后，得：
.
3．函数，在点处，当时的全微分为

解：
当时，

4．设由直线和围成，则
解：
5．函数在点处的梯度是
解： ，，
所以
6．设为抛物线，直线相交组成的闭曲线，则

解：由格林公式，知

二.单项选择题（每小题3，共 12分）（将正确选项前的字母填入题中的括号内）
7. 已知的三个特解：，则该方程的通解为
； ；
； .
解：根据二阶常系数线性微分方程解的性质知，及均是对应的齐次方程的解，故齐次通解为；所以原非齐次方程的通解是选
注意：如视为区域，则在实际计算时，需要将其分成两小块分别计算.
8. 考虑函数在点处的以下性质：
连续； 两个偏导数存在且连续；
可微分； 两个偏导数存在.
则成立.
； ；
； .
解：选.
9．设满足，则对上的富里叶级数成立.
； ；
； .
解：由已知，有

这说明以为周期.
又由公式（）
，所以 ；
同理 （）
，所以 ；
故选
10. 设，， 在上连续，则（ ）
； ；
； .
解：选
得 分
评卷人
评卷人

三.（每小题6分，三个小题共18分）
11．设是由方程 ①所确定的隐函数，求和
解法一：令
则 ； ；

故 ；.
所以 ，12.
解法二：①两边全微分，得

即
②
将代入②得

即

所以 ，
12．设函数有连续的偏导数，且由方程①所确定，求
解：由①式

故 ②
所以
（代入②）

13．设，其中具有二阶连续（偏）导数.求
解：
（一）；
（二）

得 分
评卷人
评卷人

四.（每小题9分，两个小题共18分）
14．设由曲线组成，证明：曲线积分
证明： 记；.
又设是由曲线围成的区域，则由格林公式，有

由对称性，，，故
15．求半径为，高为的球冠的面积.
解法一：设球面方程为 则球冠在面上的投影区域为

即
又由球面得

所以球冠的面积.
（其中 ）

解法二：球冠可视为由面上的一小段圆周曲线
绕轴旋转生成.在上点处取微元.绕轴旋转所生成的那块曲面可近似看成圆柱面，面积为：.其中，为点到轴的距离.所以，
因此
由的参数方程得

所以
五.（本大题共三小题，每小题满分为8分，共24分）.
得 分
评卷人
评卷人

16．计算，其中是圆柱面被平面和所截出部分的外侧.
解法一：（直接计算）在平面上的投影区域为，
将分为，其中（取右侧）；（取左侧）.
故

； （1）
在平面上的投影区域面积为零，故
（2）
故
解法二：利用高斯公式计算
取为平面上介于圆柱面之间的那一部分的上侧；取
的下侧.则构成立体的整个封闭曲面的外侧.
因此由高斯公式：
（1）
故
（2）
又在在平面上的投影区域面积为零；而在平面上的投影区域为
，所以

又在在平面上的投影区域面积为零；而在平面上的投影区域为
，所以

所以

17．计算，其中由曲面及两平面，所围成.
解法一：
.
解法二：柱面坐标系

18．设，其中由及曲线围成，求
解法一：
（1）
其中
；
（令）

（2）
所以
解法二：设以，，，为顶点的正方形区域为；曲线和轴围成的半圆区域为，则

其中
；

（令）

所以
解法三：做坐标平移变换记
则在新的直角坐标系下，积分区域变为由由及曲线围成，关于轴对称。所以

得 分
评卷人
评卷人

六．（每小题5分，两个小题共10分）
19．求函数在闭区域上的最值.
解：（一）内部
解方程组 或
得两个驻点：算得
（二）边界上
作拉格朗日函数，
令
解之，,,,或.
由于，，所以，在闭区域上的最大值为112，最小值为-16.
20．设点，质点沿以为直径的半圆周从到 按逆时针运动，所受力为，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段且与轴正向夹角小于求变力对质点所做的功.
解：设按题意，变力的大小为

向径，的单位向量为
则变力的单位向量应为
所以 变力
圆弧的方程为化为参数式即为

所以变力对质点所做的功为

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