北京市第66中学2022年数学高一上期末预测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．设且则（ ）
A. B.
C. D.
2．设全集，，，则
A. B.
C. D.
3．设，，则正实数，的大小关系为
A. B.
C. D.
4．已知H是球的直径AB上一点，AH:HB=1:2，AB⊥平面，H为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为
A. B.
C. D.
5．如果，，那么直线不通过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6．中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期或战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位、…上的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位、…上的数按横式的数码摆出，如可用算筹表示为.

这个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果用算筹表示为（）
A. B.
C. D.
7．已知，方程有三个实根，若，则实数
A. B.
C. D.
8．已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
9．已知，则（）
A.-4 B.4
C. D.
10．已知，，，则，，大小关系为（）
A. B.
C. D.
11．已知函数，则的（ ）
A.最小正周期，最大值为 B.最小正周期为，最大值为
C.最小正周期为，最大值为 D.最小正周期为，最大值为
12．已知函数，则函数的最小正周期为
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知集合，，则___________.
14．已知集合，则___________
15．已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使函数为奇函数；
②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；
③对任意实数和，函数总存在零点；
④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.
16．亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知集合，
（1）当时，求；
18．已知直线l经过点.
（1）若在直线l上，求l的一般方程；
（2）若直线l与直线垂直，求l的一般方程.
19．已知函数，.求：

（1）求函数在上的单调递减区间
（2）画出函数在上的图象；
20．已知，，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知函数（且）
（1）当时，解不等式；
（2）是否存在实数a，使得当时，函数的值域为？若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由
22．已知函数，.
（1）解不等式：；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的反函数为，且，其中为奇函数，为偶函数，试比较与的大小.

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】试题分析：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，
，所以，即，选
考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式
2、B
【解析】全集，，，
.
故选B.
3、A
【解析】由，知，，又根据幂函数的单调性知，，故选A
4、D
【解析】设球的半径为，根据题意知由与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积
【详解】设球的半径为，∵，
∴平面与球心的距离为，
∵截球所得截面的面积为，∴时，，
故由得，
∴，∴球的表面积，故选D
【点睛】本题主要考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为，球心距为，球半径为，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，属于中档题.
5、A
【解析】 截距 ,因此直线不通过第一象限,选A
6、A
【解析】先利用指数和对数运算化简，再利用算筹表示法判断.
【详解】因为，
用算筹记数表示为，
故选：.
7、B
【解析】判断f（x）与2 的大小，化简方程求出x1、x2、x3的值，根据得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值
【详解】由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，，
当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2
得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，则x，
①当﹣1≤x时，有f（x）≥2，
原方程可化为f（x）+2f（x）﹣22ax﹣4＝0，
即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x，由﹣1
解得：0≤a≤22
②当x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为42ax﹣4＝0，
化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x，
又0≤a≤22，∴0
∴x1，x2，x3＝0
由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得2（），
解得a（舍）或a
因此，所求实数a
故选B
【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据分段函数的表达式结合绝对值的应用，确定三个根x1、x2、x3的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大
8、A
【解析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.
【详解】因为，所以的周期为
当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减
因为，且
所以
故
故选：A.
9、C
【解析】已知，可得，根据两角差的正切公式计算即可得出结果.
【详解】已知，则，
.
故选：C.
10、C
【解析】由对数的性质，分别确定的大致范围，即可得出结果.
【详解】因为，所以，，所以，
，，所以.
故选：C.
11、B
【解析】利用辅助角公式化简得到，求出最小正周期和最大值.
【详解】
所以最小正周期为,最大值为2.
故选：B
12、C
【解析】去绝对值符号，写出函数的解析式，再判断函数的周期性
【详解】，其中，所以函数的最小正周期，
选择C
【点睛】本题考查三角函数最小正周期的判断方法，需要对三角函数的解析式整理后，根据函数性质求得

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】根据并集的定义可得答案.
【详解】，，.
故答案为：.
14、
【解析】根据集合的交集的定义进行求解即可
【详解】当时，不等式不成立，
当时，不等式成立，
当时，不等式不成立，
当时，不等式不成立，
所以，
故答案为：
15、① ② ③ ④
【解析】分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
如上图分别为，和时函数的图象，
对于① ：当时，，
图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；
对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故② 正确；
对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③ 不正确
对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；
故答案为：① ② ④
【点睛】关键点点睛：本题解题关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.
16、
【解析】根据角的概念的推广即可直接求出答案.
【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为.
故答案为：.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）
【解析】（1）解一元二次不等式求得集合，由补集和并集的定义可运算求得结果；
（2）分别在和两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.
【小问1详解】
由题意得，或，
，
.
【小问2详解】
，
当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为
18、（1）
（2）
【解析】（1）由两点式可求l的一般方程；
（2）由垂直关系求出直线l的斜率，结合点斜式可求出l的一般方程.
【小问1详解】
∵直线l经过点，且在直线l上，
则由两点式求得直线的方程为，
即；
【小问2详解】
∵直线l与直线垂直，则直线l的斜率为.
又直线l经过点，故直线l的方程为，
即
19、（1）
（2）图象见解析
【解析】（1）由，得的范围，即可得函数在，上的单调递减区间
（2）根据用五点法作函数的图象的步骤和方法，作出函数在，上的图象
【小问1详解】
因为，
令，，解得，，
令得：函数在区间，上的单调递减区间为：，
【小问2详解】
，列表如下：

0

1

0

0
1
描点连线画出函数在一个周期上，的图象如图所示：

20、（1）.（2）
【解析】（1）由已知根据同角三角函数的基本关系可求得,根据代入即可求得求得结果.
（2）由(1)利用二倍角公式,可求得,进而可得的值,根据角的范围,即可确定结果.
【详解】（1）∵，且
∴∴
又∵
∴
（2）∴∴或
∵∴
又∵∴
∵，且∴
又∵∴∴
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和与差的三角函数,考查已知三角函数值求角,属于基础题.
21、（1）；
（2）不存在.
【解析】（1）根据对数函数的性质可得，求解集即可.
（2）由题设可得，进而将问题转化为在上有两个不同的零点，利用二次函数的性质即可判断存在性.
【小问1详解】
由题设，，
∴，可得，
∴的解集为.
【小问2详解】
由题设，，故，
∴，而上递增，递减，
∴在上递减，故，
∴，即是的两个不同的实根，
∴在上有两个不同的零点，
而开口向上且，显然在上不可能存在两个零点，
综上，不存在实数a使题设条件成立.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数函数的性质易得，并将问题转化为二次函数在上有两个不同实根零点判断参数的存在性.
22、（1）或；（2）；（3）
【解析】（1）根据二次不等式和对数不等式的解法求解即可得到所求；（2）由可得，故所求范围即为函数在区间上的值域，根据换元法求出函数的值域即可；（3）根据题意可求出，进而得到和，于是可得大小关系
【详解】（1）由，得或，
即或，
解得，
所以原不等式的解集为
（2）令，得
令，由，得，
则，其中
令，则在上单调递增，
所以，即，
所以.
故实数的取值范围为
（3）由题意得，即，
因此，
因为为奇函数，为偶函数，
所以，解得，
所以，，
因此
另法：，
所以
【点睛】（1）本题考查函数知识的综合运用，解题时要注意函数、方程、不等式间的关系的应用，根据条件及要求合理求解
（2）解决函数零点问题时，可转化为方程解得问题处理，也可利用分离变量的方法求解，转化为求具体函数值域的问题，解题时注意转化的合理性和等价性