资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A. B.
C. D.
2．已知，点在轴上，，则点的坐标是
A. B.
C.或 D.
3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
4．幂函数的图象过点，则（）
A. B.
C. D.
5．已知点在第三象限，则角的终边位置在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数概率是
A. B.
C. D.
7．圆和圆的公切线有且仅有条
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
8．下列四个函数中，与函数相等的是
A. B.
C. D.
9．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
10．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是（）
A. B.
C. D.
11．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（ ）
A.2 B.1
C.-1 D.-2
12．已知函数则的值为（）
A. B.
C.0 D.1
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．函数y=的定义域是______.
14．幂函数的图象经过点，则________
15．函数的单调减区间为__________
16．若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．如图，在中，已知为线段上的一点，.
（1）若，求的值；
（2）若，，，且与的夹角为时，求的值
18．已知函数， .
（1）若的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若，函数为奇函数，且对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
19．判断并证明在的单调性.
20．已知
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，函数的值域为，求实数的范围
21．已知全集，若集合 ，.
（1）若，求；
（2）若, 求实数的取值范围.
22．已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.
【详解】由题意可得：，且，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.
2、C
【解析】依题意设，根据，解得，所以选.
3、C
【解析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
4、C
【解析】将点代入中，求解的值可得，再求即可.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.
所以，故，
故选：C.
5、B
【解析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.
【详解】因为点在第三象限，
所以，
由，可得角的终边在第二、四象限，
由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，
所以角终边位置在第二象限，
故选：B.
6、A
【解析】从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有
(12),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)
(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12种
其中满足条件两个数都是奇数的有(1,3),(3,1)两种情况
故从1,2,3,4这4个数中,不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率.
故选A.
7、C
【解析】分析：根据题意，求得两圆的圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆的半径的关系，得到两圆相外切，即可得到答案.
详解：由题意，圆，可得圆心坐标，半径为
圆，可得圆心坐标，半径为，
则，所以,
所以圆与圆相外切，所以两圆有且仅有三条公切线，故选C.
点睛：本题主要考查了圆的方程以及两圆的位置关系的判定，其中熟记两圆位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8、D
【解析】分别化简每个选项的解析式并求出定义域，再判断是否与相等.
【详解】A选项：解析式为，定义域为R，解析式不相同；
B选项：解析式为，定义域为，定义域不相同；
C选项：解析式为，定义域为，定义域不相同；
D选项：解析式为，定义域为R，符合条件，答案为D.
【点睛】函数相等主要看：（1）解析式相同；（2）定义域相同.属于基础题.
9、A
【解析】利用任意角的三角函数的定义，即可求得的值
【详解】角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点.
由三角函数的定义有：.
故选：A
10、A
【解析】先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.
【详解】因为，
所以在区间上是偶函数，故排除B，D，
又，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.
11、D
【解析】
由奇函数定义得，从而求得，然后由计算
【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，
所以，而当时，，
所以，
所以当时，，
故.
由于为奇函数，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键．
12、D
【解析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】要使函数有意义，需满足，函数定义域为
考点：函数定义域
14、
【解析】设幂函数的解析式，然后代入求解析式，计算.
【详解】设，则，解得，所以，得
故答案为：
15、##
【解析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.
【详解】解：函数的定义域为，
令，，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
故答案为：.
16、####
【解析】等价于，解即得解.
【详解】解：因为命题“是假命题”，
所以，
所以.
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据平面向量基本定理可得，整理可得结果；（2）根据平面向量基本定理可求得，，根据数量积的运算法则代入模长和夹角，整理可求得结果.
【详解】（1）由得：
，
（2）由得：
又，，且与的夹角为
则
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用、平面向量数量积的求解，关键是能将所求向量的数量积通过平面向量基本定理转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数的定义域为，得到恒成立，即恒成立，分类讨论，即可求解.
（2）根据题意，转化为，利用单调性的定义，得到在R上单调递增，求得，得出恒成立，得出恒成立，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）由函数定义域为，
即恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，因为，所以，即；
当时，显然成立；
当时，恒成立，因为，所以，
综上可得，实数的取值范围.
（2）由对任意，存在，使得，可得，
设，因为，所以，
同理可得，
所以
，
所以，可得，
即，所以在R上单调递增，所以，
则，即恒成立，
因为，所以恒成立，
当时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以，解得，所以；
当时，显然成立；
当时，恒成立，没有最大值，不合题意，
综上，实数的取值范围.
【点睛】利用函数求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
19、函数在单调递增
【解析】根据函数单调性的定义进行证明即可
【详解】根据函数单调性定义：
任取，所以
因为，所以，所以
所以原函数单调递增。
20、（1），
（2）
【解析】（1）根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先求出函数取最大值时的取值集合，即可得到，再根据函数在上是减函数，且，则的最大值为内使函数值为的值，即可求出的取值范围；
【小问1详解】
解：对于函数，
令，，
求得，
故函数的单调递增区间为，
【小问2详解】
解：令，，解得，．即时取得最大值
因为当时，取到最大值，所以
又函数在上是减函数，且，
故的最大值为内使函数值为的值，
令，即，因为，所以，所以，解得，
所以的取值范围是
21、（1）（2）
【解析】（1）利用集合的交集及补集的定义直接求解即可；
（2）由可得，利用集合的包含关系求解即可.
【详解】（1）当时，，所以，
因为，所以；
（2）由得，，
所以
【点睛】本题主要考查了集合的运算及包含关系求参，属于基础题.
22、（1）；（2）当时，；当时，.
【解析】（1）先由周期为求出,再根据,进行求解即可；
（2）先求出,可得,进而求解即可
【详解】（1）解：∵,∴,
又∵,∴,∴,
∵,,
∴,,
∴,,
∴的单调递增区间为
（2）解：∵∴,∴,
∴,
∴,
∴,
当时,,
当,即时,
【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题
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