09川大高等代数及答案.doc

四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、解答下列各题.
1.（5分）设是数域上次数为的多项式，证明：不可能是的根.
为有理数域该命题成立
如题：设是有理数域上一个次多项式（），是大于的正整数，证明：不可能是的根.
证明：反证法：假设是的根，有
对于，存在素数
、不能整除、不能整除
由艾森斯坦判别法，有在有理数域不可约，则有
则与题设矛盾，故假设不成立，即不可能是的根.

2.(10分)用代数基本定理证明，实数域上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足的二次多项式：.
证明：由代数基本定理，任意多项式在复数域都可以分解为一次多项式的乘积
则令多项式为 （，且）
当时，则是实数域上的一次不可约多项式
当时，有也是的根，有
满足
由，，则是实数域上的二次不可约多项式
故实数域上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足的二次多项式：.
3.（5分）设是数域上的阶方阵.要求不用Hamilton-Caylay定理，证明：存在上的多项式使得.
证明：取的特征多项式
设为的伴随矩阵，有
由的元素是各个代数余子式，则
有
令，得 ①
②
比较①、②，有，得
左边和右边全部相加，有，即
任取，则有

4.（10分）设、、是多项式的全部根.求下式的值

解:由根与系数的关系得
、、

①

②
由①、②得，，则原式
由
得原式

二、解答下列各题.
1（10分）叙述并证明线性方程组的克莱默（Cramer）法则.
2（5分）设，都是数域且，设是数域上的线性方程组.
证明：在上有解当且仅当在上有解.
证明：令为矩阵
必要性：
令为在上的解，有，由，得
也为在上的解
充分性：
在上有解， 有
由，，则在上，也有，故在上有解

3.设
（1）（5分）在任意数域上，能否相似于一个对角阵？说明理由.
（2）（5分）求的极小多项式.
（3）（5分）设，其中是列向量.求的一个标准型.
解：（1）
的特征值为，，
当时，
基础解系由个线性无关的向量构成、
当时，
基础解系由个向量构成
故对应个线性无关的特征向量，可对角化
取，则有
由、又，则在有理数域可以对角化
由任何数域都包含有理数域，故在任意数域上，都能相似于一个对角阵
（2）的特征多项式为
由，有的极小多项式为
（3）把的列向量单位化，得，为正交矩阵
令，有

4.（10分）证明：在任意数域上矩阵与都不相似.
证明：有的特征值为，，
时，
基础解系有个线性无关的向量构成 ①
有的特征值为，，
时，
基础解系有个向量构成 ②
由①、②，得在任意数域上矩阵与都不相似

5.（5分）设是阶实对称矩阵.证明：是正定矩阵的充分必要条件是，对任意整数，也是正定的.
证明：必要性：
令的特征值为（），则的特征值为
是正定矩阵，，则，有为正定矩阵
充分性：
的特征值为，有，由的任意性，有，故是正定矩阵

三、（15分）设是数域上的全体阶方阵组成的集合.对任意可逆矩阵，定义集合.
设，即是所有可能的的交集（可逆）.求和的一个基.
解： 取的一个基，令、
有
由，有，则
有
得（）且，故为数量矩阵
有，则由数量矩阵和全体对角元素为零的矩阵构成
令，有（），有
与全体（）构成的一个基.

四、设是数域上的全体阶方阵组成的集合.设是分块矩阵，其中是阶单位阵.设，其中表示的转置矩阵.进一步，设.已知：.
1.（15分）求和的一个基.
2.（15分）证明：对任意都有行列式
3.（10分）设列向量空间上的一个双线性函数在它的基，，……，下的度量矩阵为上述.证明：对任意和列向量都有.
1.解：令
（、为维行向量，、为维列向量，、、、为阶方阵）
有，有
由，又为对称矩阵，有
则，有
自由变量有、、、、且、为反对称矩阵
有

2.证明：根据矩阵指数的性质，有

由，有，则

注：关于的证明
由存在可逆矩阵，使得
有

有
3.证明：

五、（20分）证明：在数域上的任意元多项式都是线性多项式（即：一次齐次多项式）的幂的线性组合.
证明：由任何一个次元多项式都可以唯一的表示成
，其中是元次齐次多项式
由是次齐次多项式,那么有种组合方式
令
取个一次齐次多项式，它们的次方为
令的个系数为（）

得到系数方程
只要选取得当，则此方程有解
则有，故，即证.

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