大一高等数学复习题(含标准答案).doc

复习题
一、 单项选择题：
1、的定义域是（ D ）
A、 B、
C、 D、
2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x2)的定义域是（ B ）
A、[1，2] B、[1，] C、 D、
3、函数( D )
A、是奇函数，非偶函数 B、是偶函数，非奇函数
C、既非奇函数，又非偶函数 D、既是奇函数，又是偶函数
解：定义域为R，且原式=lg(x2+1-x2)=lg1=0
4、函数的反函数（ C ）
A、 B、
C、 D、
5、下列数列收敛的是（ C ）
A、 B、
C、 D、
解：选项A、B、D中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C的数列极限为0
6、设，则当 时，该数列（ C ）
A、收敛于0.1 B、收敛于0.2 C、收敛于 D、发散
解：
7、“f(x)在点x=x0处有定义”是当xx0时f(x)有极限的（ D ）
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件 D、无关条件
8、下列极限存在的是（ A ）
A、 B、
C、 D、
解：A中原式
9、=（ A ）
A、 B、2 C、0 D、不存在
解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得
10、（ B ）
A、1 B、2 C、 D、0
解：原式=
11、下列极限中结果等于e的是（ B ）
A、 B、
C、 D、
解：A和D的极限为2， C的极限为1
12、函数的间断点有（ C ）个
A、1 B、2 C、3 D、4
解：间数点为无定义的点，为-1、0、1
13、下列函灵敏在点x=0外均不连续，其中点x=0是f(x)的可去间断点的是（ B）
A、 B、
C、 D、
解：A中极限为无穷大，所以为第二类间断点
B中极限为1，所以为可去间断点
C中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点
D中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点
14、下列结论错误的是（ A ）
A、如果函数f(x)在点x=x0处连续，则f(x)在点x=x0处可导
B、如果函数f(x)在点x=x0处不连续，则f(x)在点x=x0处不可导
C、如果函数f(x)在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处连续
D、如果函数f(x)在点x=x0处不可导，则f(x)在点x=x0处也可能连续
15、设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则f’(0)=( A )
A、6 B、3 C、2 D、0
16、设f(x)=cosx，则（ B ）
A、 B、 C、 D、
解：因为原式=
17、，则（ D ）
A、 B、
C、 D、
18、f(x)在点x=x0处可微，是f(x)在点x=x0处连续的（ C ）
A、充分且必要条件 B、必要非充分条件
C、充分非必要条件 D、既非充分也非必要条件
19、设，则（ A ）
A、 B、n! C、 D、n!-2
20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ）
A、y=x2-5x+6 [2，3] B、 [0，2]
C、 [0，1] D、 [0，5]
21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）
A、 B、 C、 D、
22、设，则当x趋于0时（ B ）
A、f(x)与x是等价无穷小量 B、f(x)与x是同阶非等价无穷小量
C、f(x)是比x较高阶的无穷小是 D、f(x)是比x较低阶的无穷小量
解：利用洛必达法则

23、函数在区间（-1，1）内（ D ）
A、单调增加 B、单调减少 C、不增不减 D、有增有减
24、函数在（-1，1）内（ A ）
A、单调增加 B、单调减少 C、有极大值 D、有极小值
25、函数y=f(x)在x=x0处取得极大值，则必有（ D ）
A、f ’(x0)=0 B、f ”(x0)<0
C、f ‘(x0)=0且f “(x0)<0 D、f ‘(x0)=0或f ‘(x0)不存在
26、f ‘(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个（ B ）
A、必要充分条件 B、充分非必要条件
C、必要非充分条件 D、既非必要也非充分条件
27、函数y=x3+12x+1在定义域内（ A ）
A、单调增加 B、单调减少 C、图形上凹 D、图形下凹
28、设函数f(x)在开区间（a，b）内有f ‘(x)<0且f “(x)<0，则y=f(x)在(a，b)内（ C ）
A、单调增加，图形上凹 B、单调增加，图形下凹
C、单调减少，图形上凹 D、单调减少，图形下凹
29、对曲线y=x5+x3，下列结论正确的是（ D ）
A、有4个极值点 B、有3个拐点 C、有2个极值点 D、有1个拐点
30、若，则f(x)=（ D ）
A、 B、 C、 D、
31、已知，且x=1时y=2，则y=( C )
A、x2 B、x2+C C、x2+1 D、x2+2
32、（ B ）
A、 B、+C C、 D、+C
33、设存在，则（ B ）
A、f(x) B、 C、f(x)+C D、+C
34、若，则（ D ）
A、 B、
C、 D、
解：
35、设，则（ D ）
A、arcsinx+C B、 C、 D、x+C
解：原式=
36、设，则（ C ）
A、 B、 C、 D、lnx+C
解：原式=
37、设，则（ B ）
A、 B、
C、 D、
解：对两端关于x求导得
，即，
所以
38、若sinx是f(x)的一个原函数，则（ A ）
A、xcosx-sinx+C B、xsinx+cosx+C
C、xcosx+sinx+C D、xsinx-cosx+C
解：由sinx为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx，则使用分部积分公式得
39、设，则f(x)=（ B ）
A、1+lnx+C B、xlnx+C C、 D、xlnx-x+C
40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ）
A、 B、 C、 D、
解：选项A中被积函数在[0，5]上连续，选项B、C、D中被积函数均不能保证在闭区间上连续
41、（ A ）
A、0 B、 C、 D、
42、使积分的常数k=（ C ）
A、40 B、-40 C、80 D、-80
解：原式=
43、设，则 （ B ）
A、 B、 C、 D、
解：
44、，则（ B ）
A、-2 B、2 C、-1 D、1
解：dy/dx=(x+1)2(x+2)
45、下列广义积分收敛的是（ B ）
A、 B、 C、 D、
解：四个选项均属于，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散
二、填空题
1、（ ）
解：原式=+C
2、已知一函数的导数为，且当x=1时，函数值为，
则此函数F(x)=( )
解：
3、曲线的上凸区间是（ （） ）
解：
4、（ ）
解：
5、若f(x)的一个原函数是sinx，则（ -sinx+C ）
解：
6、设，其中，则（ ）
解：
7、曲线上对应于的点外的法线斜率为（ ）
8、设，而，则（ ）
解：
9、（ ）
10、设，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）
解：x不等于0时，
X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x不等于0时，f(x)=1/x 连续，又
三、计算题
1、求极限
参考答案：
原式=
2、求极限
参考答案：
利用等价无穷小：
原式=

3、设，求
参考答案：

4、求由方程所确定隐函数的二阶导数
参考答案：
把原方程两边对自变量x求导，得
解得
则
5、近似计算数的值，使误差不超过10-2
参考答案：

令x=1
要使误差，只需
经计算，只需取n=5,所以

6、讨论函数的凸性与相应曲线拐点
参考答案：
函数的定义为R

由可得x=0,1/2
列表如下：
x
(-∞，0)
0
（0，1/2）
1/2
（1/2，+∞）

-
0
+
0
-

凹
拐点
凸
拐点
凹
所以凹区间为 凸区间为
拐点为（0，0）和
7、 求函数的单调区间、极值点
参考答案：
定义域为．
由，令得驻点，列表给出单调区间及极值点：

１

－
—
０
＋

极小值3

所以，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，极小值点为
8、 求由所围图形的面积
参考答案：

9、设，求．
参考答案：
方法一：先作变量代换

　　　　　．
方法二：先给出，于是

10、求曲线在A（-1，0），B（2，3），C（3，0）各点处的切线方程
参考答案：

在A（-1，0）点处，
所以在A点处的切线方程为
而在B（2，3）点处，
所以在B点处的切线方程为y-3=0
又在C（3，0）点处，不存在，即切线与x轴垂直
所以C点处的切线方程为x=3
11、在区间上，曲线与直线所围成的图形分别绕x轴和y轴所产生的放置体的体积。
参考答案：
绕x轴所产生的体积为

绕y轴所产生的体积为：

四、证明题（每小题5分，共10分）
1、设是满足的实数。
证明多项式在（0，1）内至少有一个零点
参考答案：
令
显然F（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
且F（0）=0，
由罗尔定理得，在（0，1）内至少存在一点ξ，使，
即
从而在（0，1）内至少有一个零点
2、证明方程x=asinx+b，且a>0,b>0至少有一个正根，且不超过a+b
参考答案：（写出辅助函数1分，证明过程4分）
令f(x)=x-asinx-b
显然f(x)是一个初等函数，所以在[0，a+b]上连续
又f(x)在端点处的函数值有f(0)=-b<0
且f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b
=a-asin(a+b)
=a[1-sin(a+b)]>=0
若f(a+b)=0,则a+b为方程的根
若f(a+b)>0，由零点存在定理可知，在（0，a+b）内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0
此即说明方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根
3、
参考答案：
（一） 先证存在性

（二） 再证唯一性

4、
参考答案：（写出辅助函数并说明满足拉格朗日定理条件2分，余下步骤3分）

于是由拉格朗日中值定理，可得

，所以

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