第五章一元一次不等式.doc

第五章 一元一次不等式
目录
5。2 不等式的基本性质 2
5。3 一元一次不等式（1） 5
5。3 一元一次不等式(2) 7
5。3 一元一次不等式（3) 9
5。4 一元一次不等式组(1） 11
5。4 一元一次不等式组(2） 14

5.2 不等式的基本性质
〖教学目标〗
◆1、使学生掌握和理解不等式的三条基本性质。
◆2、培养学生观察、分析、比较的能力，会运用不等式的基本性质进行不等式的变形,提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：不等式的三条基本性质的运用。
◆教学难点:不等式的基本性质3的运用和 不等式的变形以及范例要比较两个代数式的大小的几种方法,学生缺乏这方面的经验,这些是本节教学的难点。
〖教法和学法〗操练合作发现总结式教学法
操练 合作 发现 归纳 应用 总结

〖教学过程〗

一、从学生原有的认知结构提出问题 ,练习问题,解决问题，总结结论。
1.用“＜、＞、=“完成下列填空：
（1）如果a＜— 9，而— 9＜ 3 ，那么a_____3 。
（2）如果a＞- 9，而- 9＞—13 ，那么a____—13 。
你发现了什么？你还可以再举例吗？试一试！能得到什么结论？
不等式的基本性质１：
若a＜b ， b ＜c ,则a＜c ，这个性质也叫做不等式的传递性。
2。通过实验观察，用“＜、＞、=“完成下列填空：
8g
2g

5g
8g
5g
2g
2g

2g

8＿〉＿5 8＋2＿〉＿5＋2

10＿>＿ 7 10－2＿〉＿7－2

你发现了什么？试一试！你能得到什么结论?

通过观察和举实例合作学习，完成下列两个问题，并自己判断前面的猜想的结论是否正确?

（1)已知a ＜b 和 b ＜c ，在数轴上表示如图：
a b c
也可用平移变换思想解决这个问题。
由数轴上a 和 c的位置关系,你能得到什么结论？
（2)若a > b,则 a+ c和 b +c 哪个较大，
a- c和 b— c呢？请用数轴上点的位置关系加以说明。
不等式的基本性质2：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得的不等式仍成立.
你总结出来了吗？

等式的两边都加上（或减去）同一个等式，结果仍然是等式。

做一做
1.用适当的不等号填空：
（1） ∵ 0 1，
∴ a a+1（不等式的基本性质2）
（2） ∵ （a-1）2 0
∴ (a—1）2-2 —2（不等式的基本性质2）
２. a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＞”或“＜”号填空：
（1)a b； （2) ｜a| ｜b|; (3)a+b 0
(4）a—b 0 (5）a+b a-b （6）ab a

b o a
3.通过计算，用“＜、＞、=“完成下列填空：
2 3 　 2×（-1） 3×(-1）
2×5 3×5 　 2×（—5） 3 × (—5）
2×1/2 3×1/2 　　2×(—1/2) 3 ×（—1/2）
你发现了什么？你还可以再举例吗？试一试！你又有什么样的结论呢？
—2 —3 　 —2×（—1) -3×（-1）
-2×5 —3×5 　 —2×(-5） -3 × （—5）
-2×1/2 -3×1/2 ，-2×(—1/2） -3 ×（—1/2）
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或都除以)同一个负 数， 必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。
再做一做
我国于2001年12月11日正式加入世界贸易组织(WTO）。加入前，产品A的进口税超过产品B的进口税的1倍以上;加入后，这两种产品的进口税都下调了15％.你认为加入后产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍以上吗？请说明理由。
二、对学生刚学的知识进行巩固应用
1。范例讲解：
已知a ＜ 0, 试比较2a 与a 的大小
解法一:举实例法
解法二:数轴表示法
解法三：应用性质2移项法
2.课内练习：书本P:106
3.探究活动：
比较等式与不等式的基本性质

等式
不等式
　　两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
　　两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
　　两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。

　　两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

　　两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

三、对这节课所学知识回顾总结
1。这节课你有那些收获？2。还有哪些困惑？3.布置作业：书本作业和
课外练习
1． 当x取下列数值时，不等式1—5x＜16是否成立？ -4。5, -4，-3,4，2。5，0，—1．
2． 用不等式表示下列数量关系：
（1)x的3倍大于x的2倍与5的差；
(2）y的一半与4的和是负数；
(3）5与a的4倍的差不是正数；
(4)3与x的2倍的和是正数。
3．按照下列条件写出仍然成立的不等式,并说明根据不等式的哪一条基本性质：
（1）m＞n，两边都减去3； （2)m＞n，两边同乘以3； （3)m＞n，两边同乘以—3； （4)m＞n，两边同乘以m．
4． 下列各题的横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．
（1）若a—3＜9，则 a ______12；　　(2）若—a＜10，则a______ —10；
（3）若0。5a〉—2,则a ______—4； （4)若-a〉0， 则 a______0。
5． 已知a＜0，用〉或< 号填空:使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．
（1）a+2 ______ 2；　　（2）a—1 ______ -1；　　（3)3a______ 0；
（4)-3a______ 0； (5)a-1______0；　　 （6）｜a｜______0．
6．　判断下列各题的推导是否正确?为什么?
(1) 因为7。5＞5.7，所以—7.5＜-5.7; (2)因为a+8＞4，所以a＞—4； (3）因为4a＞4b，所以a＞b； （4)因为-1＞-2，所以—a—1＞-a-2; (5)因为3＞2，所以3a＞2a．
7． 照下列条件,写出仍能成立的不等式：
（1)由-2＜-1,两边都加-a； (2)由7＞5，两边都乘以不为零的-a；
(2) 由-3>—4，两边都除以不为零的—a．
8．用不等号填空:
(1) 当a-b＜0时,a______ b； （2）当a＜0，b＜0时，ab ______0； （3)当a＜0,b＞0时,ab ______0； (4)当a＞0，b＜0时,ab ______ 0； (5)若a ______ 0，b＜0， 则ab＞0；
9．设a＜b，用不等号连接下列各题中的两个代数式:
(1）a—1,b—1； （2）a+2，b+2；　　（3)2a,2b；
10．用不等号填空：
(1）若a-b＜0，则a ______ b；（2）若b＜0，则a+b ______ a； (3)b＜a＜2,则（a-2)(b-2)______0;（2—a）(2-b）______ ；(2-a)（a-b）______．

5。3 一元一次不等式（1)
〖教学目标〗
◆1、知道什么是一元一次不等式和不等式的解。
◆2、掌握一元一次不等式的解法．
◆3、通过＂等与不等＂的对比使学生进一步领会对立统一的思想．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：掌握解法步骤并准确地求出解集.并能准确的把解表示在数轴上.
◆教学难点：正确地运用不等式基本性质3.
◆教学关键：一元一次不等式与一元一次方程的解法步骤的区别，等式性质2与不等
式的基本性质的区别
〖教学过程〗

一、 创设情景
1、先复习不等式性质,解一元一次方程的解法。
师：用多媒体教学设备将制好的幻灯片放出：
1、 题组练习:用“〉"和“<”填空
（1）2 0；-5 2；—7 —10；
（2)设a〉b，则：
a+1 b+1 a-3___b—3 3a 3b —a -b
2、 议论（用幻灯片打出）：
（1） 根据不等式的基本性质，说明下列语句对不对:
① 从5 〉 4一定能得到5a〉4b，
②从 1/3< 1一定能得到 1/3a<a。
（2)①甲在不等式—100 〈 0的两边都乘以—1，竟得到100〈0！它错在哪里？
②乙在不等式2x 〉 5x的两边都除以x，竟得到2 〉 5! 它错在哪里？
生：［由学习小组（4人或6人）讨论后选一代表回答]
3、回忆解一元一次方程的一般步骤并完成练习：
解下列方程，并用数轴表示它的解：
(1）3x=18； (2）5x-3=7x+1 ;
注：由四个学习小组出两名同学自选一题上黑板演算，并对挑选较难题的同学进行激励评价。
4、Ⅰ将方程中的等号改写为不等号引入概念：
（1)3x〈18 ; (2）5x—3≥7x+1；
提出问题：对比一元一次方程的定义，给这两个式子起一个名字。
给出定义：只含有一个未知数, 未知数的次数是1 的不等式叫做一元一次不等式。
5、引出课题：我们今天就是来探讨一元一次不等式的解法（板书：一元一次不等式的解法1）
二、 新课教学
1想一想：把x=8代入不等式3x〈18，不等式成立吗？能否因此就说不等式的解是x=8？
生：不是,还有很多。
师:哦，原来还有很多很多的解哦！那请同学们帮老师把他们在数轴上指出来（师画数轴，叫一学生上来指出）
2、得出：不等式解的概念：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.
3老师讲述怎样用数轴表示不等式解的方法（强调等号取于不取的不同之处）
4、试一试解下列不等式，并把解表示在数轴上；
（1）3x〈18 ； (2）5x-3≥7x+1 ；
师:（1）解不等式就是利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形“x<a"(或x≥a)，“x＞a”（或X≤a）的形式.
解：（1） x< 9

（2）两边同加上—7x，再在不等式两边同加上3得： 5x—7x≥1+3
合并同类项得：-2x≥4
两边同除以—2得:x≤—2(注意学生改写时，不要把不等号的方向弄错）

师：（2）解方程的移项法则对解不等式是否仍然适用？若适用，它的根据是什么
三、；练一练
1解下列不等式,并把解表示在数轴上;
（1）1-x＞2；（2)5x—4＞4—3x;（3）-—x≤1;（4)6x-1< 9x-4
2、解不等式2.5x-4< x—1，把解表示在数轴上，并求出适合不等式的正整数解。
四、小结
1、让学生来总结:这节课你们有什么收获。
2、需要特别注意什么？
（如果乘数或除数是负数,要把不等号方向改变，即必须特别注意不等式基本性质
五、巩固新知,体验成功。
1、 作业题1、2(110页）
六、布置作业
1、 作业题3、4、5、6
2、 作业本
3、 思考：解不等式（1）3（1-X)〈2(X+9) ； (2）（2+X）÷2≥(2X—1）÷3 .
七、结束语：
同学们这节课学得很好,相信你们课后能很轻松地完成作业！

5.3 一元一次不等式（2)
〖教学目标〗
◆1、掌握解一元一次不等式的一般步骤.
◆2、会运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点:运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式。
◆教学难点：例2步骤较多，容易发生错误，是本节教学的难点.
〖教学过程〗

一、复习旧知，引入新课：
1、不等式的三个基本性质。
2、一元一次不等式的概念。
3、不等式的解的概念.
二、合作交流，探求新知：
1、合作学习,根据已学过的知识,你能解下列一元一次不等式吗？
（1）5x>3（x—2）+2 (2）2m-3〈(7m+3)/2
2、解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似.解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：

步骤
根据
1
去分母
不等式的基本性质3
2
去括号
单项式乘以多项式法则
3
移项
不等式的基本性质2
4
合并同类项，得ax>b，或ax〈b (a≠o)
合并同类项法则
5
两边同除以a(或乘1/a）
不等式的基本性质3
3、例1、解不等式3（1—x）〉2(1—2x）
解： 去括号，得 3—3x〉2—4x
移项,得 -3x+4x〉2—3
合并同类项，得 x〉—1
4、例2、 解不等式（1+x）/2≤（1+2x）/3+1
解: 去分母,得 3(1+x）≤2（1+2x)+6
去括号，得 3+3x≤2+4x+6
移项，得 3x-4x≤2+6—3
合并同类项,得 —x≤5
两边同除以-1，得 x≥-5
注:1、五个步骤要求当堂背出，同桌之间可以互相核对。
2、要求作业严格按照上述步骤进行。
三、课内练习
解下列不等式，并把解在数轴上表示出来：
(1）5x—3〈1-3x
(2）3(1—3x）—2（4—2x） ≤0
（3)(2x—1）/4-（1+x）/6≥1
四、小结:1、解一元一次不等式的基本步骤。
2、不等式的解在数轴上的表示方法。
五、作业:1、作业本
2、每课一练

5.3 一元一次不等式（3)
〖教学目标〗
◆1、会根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式.
◆2、会利用一元一次不等式解决简单实际问题．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：利用一元一次不等式解决简单实际问题.
◆教学难点：范例含较多的量，思路较复杂,学生不易理解，所以是本节课。
〖课前准备〗学生课前进行预习，教师做多媒体课件

〖教学过程〗

一、 复习
复习:1、解一元一次不等式的步骤是怎样的？
2、问题解决的四个步骤又是怎样的？(多媒体显示，加强学生的印象）
二、新课教学
1、合作学习
宾馆里一座电梯的最大限载量为1000千克.两名宾馆服务员要用电梯把一批重物从底层搬到顶层,这两名服务员的身体质量分别为60千克和80千克,货物每箱的质量为50千克，问他们每次最多只能搬运重物多少箱？
教师问:
(1)这道题目应选择哪种数学模型？能用方程来解吗？还是别的数学模型呢？
（2）问题中有哪些相等的数量关系和不等的数量关系？
（要求学生分组进行讨论,然后分组发表各自的意见)
教师总结:用一元一次不等式可以刻画和解决很多实际生活中的有关数量不等关系的问题，处理这类问题一般也可以按照问题解决的四个基本步骤来帮助思考和求解.（多媒体显示本题的相等和不等的数量关系)
2、例题教学
例:有家庭工厂投资2万元购进一台机器，生产某种商品.这种商品每个的成本是3元,出售价是5元，应付的税款和其他费用是销售收入的10％。问至少需要生产、销售多少个这种商品，才能使所获利润（毛利润减去税款和其他费用）超过投资购买机器的费用？
教师先引导学生理解题意后分析：（1）先从所求出发考虑问题，至少需要生产、销售多少个商品使所获利润＞购买机器款。（2)提出怎样计算“所获利润”的问题，每生产、销售一个这种商品的利润是多少元？生产、销售x个这种商品的利润是多少？这样我们只要设生产、销售这种商品x个就可以了.
教师板书解题过程,对最后的答案进行说明.
三、 课堂巩固练习：书中P114 课内练习。
四、 师生小结：列一元一次不等式解实际问题按照问题解决的四个基本步骤来思考和求解，关键是找出题目中的相等的数量关系和不等的数量关系。
五、 布置作业：1、作业本（1）P26
2、书上P114作业题.

5。4 一元一次不等式组(1)
〖教学目标〗
◆1、理解一元一次不等式组的概念。
◆2、理解不等式组的解的概念．
◆3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解.
◆4、培养学生类比推理能力．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：一元一次不等式组的解法.
◆教学难点：例2较为复杂,几乎包括了解一元一次不等式的全部步骤，是本节教学的难点，用数轴表示一元一次不等式组的解也是难点。

〖教学过程〗

一.引入
1．想一想：某单位从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15桶，所付金额超过570元，但不到580元。已知这两种笔每桶的单价为圆珠笔34.90元/支，墨水笔44。90元/支。设购买圆珠笔Ｘ桶，你能列出几个不等式？
2．学生活动：找出已知条件,列出所有不等关系式，互相讨论，类推概念，鼓励学生通过观察，分析，补充解决问题.
3．最后教师总结两个不等式。
如设购买圆珠笔的桶数为Ｘ,则 ：
二.新课
1．一元一次不等式组:一般地，由几个同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.像上面就是一元一次不等式组，再
例如：
都是一元一次不等式组。
2。 不等式组解的概念：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解。当它们没有公共部分时。我们称这个不等式组无解。
3.做一做:
例1。解一元一次不等式组
解：解不等式①, 得: X>-1
解不等式②， 得： X≤6
把 ① ②两个不等式的解表示在数轴上，如下图:

—1 0 6

所以原不等式组的解是—1〈X≤6

4。应用拓展：解由两个一元一次不等式组成的不等式组,在取各个不等式的解公共部分时,有几种不同情况吗?
若a<b，你能说出下列四种情况下不等式组的解吗？
用数轴试一试.
(1) (2) (3） (4）
（设a<b）
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表
 一元一次
不等式组
 解集
 图示
 口诀
x>a
x〉b
x>b

大大取大
x〈a
x<b
x<a

小小取小
x>a
x<b
a〈x<b

比小大，比大小，中间找
x〈a
x〉b
无解

比小小，比大大，解不了（无解）

5.尝试反馈：试一试，利用数轴分别求出满足下列各组不等式组的x值的公共部分：
(1） （2）
(3） (4）

6．探索较复杂的不等式组的解法：
例2。 解一元一次不等式组
解：由不等式①，去扩号得 3-5X>X—4X+2
移项，整理得 -2X>-1
所以X<
解不等式②,去分母得 3X-2>10-2X
移项，整理得 5X〉12
所以X>
把①,②两个不等式的解表示在数轴上.

0 1 2 3

所以原不等式组无解。
7.通过范例，帮助学生总结解一元一次不等式组的步骤:
（1)依次解各个一元一次不等式.
(2)把各个一元一次不等式的解分别表示在同一数轴上.
(3）根据解在数轴上的表示确定不等式组的解。

三。巩固
（学生活动，与同伴交流自己的问题和解决问题的过程）
1。 解下列一元一次不等式组:
(1） （2) 2. 分别求出本节开头问题中购买墨水笔和圆珠笔的桶数
四．归纳
1．学生谈本节课的收获：优等生谈学到什么知识，上进生谈体会；
2．教师小结:这节课主要学习了一元一次不等式组及不等式组的解的有关概念，要求会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集；也可以利用口诀“大大取大，小小取小，比小大比大小取中间，比大大比小小无解"来求不等式组的解。
五．作业
见作业题：第1-4题。

5。4 一元一次不等式组（2）
〖教学目标〗
◆1、会列一元一次不等式组应用题.
◆2、探索一元一次不等式组在解决实际问题中的应用．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点:列一元一次不等式组解应用题。
◆教学难点：例２的数量关系比较复杂,并涉及求整数解，是本节教学的难点。
〖教学过程〗

一、 创设情景，引入新课:
如图，已知每个砝码的质量为1克，请你估计物体A的质量．
设物体A的质量为x克，每个砝码的质量为1克
我们可以得到：ｘ＞２
x〈3　　　
从而得：2＜x＜３，由此题引出课题．
二、 合作交流，探求新知：
例1、小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的脚仍然着地。后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果小宝和妈妈的脚着地．猜猜小宝的体重约有多少千克？(精确到1千克)
分析：从跷跷板的两种状况可以得到的关系:
妈妈的体重+小宝的体重 ＜ 爸爸的体重
妈妈的体重+小宝的体重+6千克 　＞ 爸爸的体重
解略．
概括用一元一次不等式组解应用题的一般步骤
（1）审：审题,分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系
(2）设：设适当的未知数
(3）找：找出题目中的所有不等关系
（4）列：列不等式组
（5）解：求出不等式组的解集
（6）答：写出符合题意的答案
例２．某工厂用如图（见课本第118页）所示的长方形和正方形纸板，糊横式和竖式两种无盖的长方形包装盒，如图，现有长方形纸板351张，正方形纸板151张，要糊的两种包装盒的总数为100个．若按两种包装盒的生产个数分，问有几种生产方案？如果从原材料的利用率考虑,你认为应选择哪一钟方案？
分析:和列方程解应用题一样，当数量关系比较复杂时，我们可以通过列表来分析:

横式无盖的长方体x个
竖式无盖的长方体
(100—x）个
合计(张）
现有纸板（张)
长方形纸板(张）
3x
4（100—x)
3x+4（100-x）
351
正方形纸板（张)
2x
100-x
2x+100-x
151
解:设生产横式无盖的长方体包装盒x个，则生产竖式无盖的长方体包装盒(100－x）
个，由题意得
　　 3x+4(100—x)≤351
2x+100—x≤151
化简，得 400-x≤351
100+x≤151
　　解这个不等式组，得49≤x≤51
　　因为x是整数，所以x1=49,x2=50,x3=51．
　当x1=49时，400-x1=351,100+x1=149,长方形纸板恰好用完，正方形纸板剩2张．
　当x2=50时，400-x2=350,100+x2=150， 长方形，正方形纸板各剩1张．
　当x3=51时，400-x3=349，100+x3=151, 长方形纸板剩2张,正方形纸板恰好用完．
　由于长方形纸板的面积大于正方形纸板的面积，所以当x1=49时，原材料的利用率最高.
答：一共有三种生产方案：①横式的包装盒生产49个,竖式的包装盒生产51个；②横式的包装盒 ，竖式的包装盒各生产51个;③横式的包装盒生产51个，竖式的包装盒生产49个．

学生练习并讲评：第120页课内练习．

三、 知识拓展应用：
问题1：我属兔，请你根据我的实际情况来猜测我的年龄?
分析:1. 属兔的年龄有可能是以下数据: 6 18 30 42 54 ……
2.根据实际情况可知:
20< 老师的年龄〈40，又知老师属兔,所以老师的年龄是30岁．

问题2:某公园售出一次性使用门票，每张10元。为吸引更多游客,新近推出购买“个人年票"的售票方法（从购买日起，可供持票者使用一年）.年票分A、B两类:A类年票每张100元,持票者每次进入公园无需再购买门票;B类年票每张50元,持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．你能知道某游客一年中进入该公园至少超过多少次时,购买A类年票最合算吗?
分析1．游客购买门票有几种选择方式?
2．设某游客选择了某种门票,一年中进入该公园x次，其门票费支出是多少？
3．要使购买A类年票最合算,各种门票支出应当满足什么关系？
想一想： 1．什么情况下,购买每次10元的门票最合算?
2．什么情况下，购买B类年票最合算？

四、 小结与作业
1．本节课有哪些收获和感受？
2．课本作业题，作业本．