第十四章《整式乘法与因式分解》.doc

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第十五章 整式的乘法与因式分解
14。1。1 同底数幂的乘法
教学目标
1. 理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算．
2. 体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用．
教学重、难点
同底数幂的乘法运算法则及其应用.
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题　一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？
（1） 如何列出算式?
(2) 1015的意义是什么？
(3） 怎样根据乘方的意义进行计算？
根据乘方的意义填空，观察计算结果,你能发现什么规律？
(1）
（2）
（3)．
你能将上面发现的规律推导出来吗？

教师板演:
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：am×an＝am+n（m、n都是正整数）.
二、知识应用，巩固提高
（m，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果,那么，三个、四个…多个同底数幂相乘,结果会怎样？
这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况： （m，n，p都是正整数)．
例1(教科书第96页)
三、应用提高、拓展创新
课本96页 练习

四、归纳小结
（1)本节课学习了哪些主要内容？
（2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么?
五、布置作业：
习题14。1第1（1)、（2）题
教后反思:

14。1.2 幂的乘方
教学目标：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：会进行幂的乘方的运算.
教学难点：幂的乘方法则的总结及运用。
教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：投影仪、常用的教学用具
活动准备：
1、计算（1）（x+y）2·（x+y）3 (2）x2·x2·x+x4·x
（3）（0.75a）3·（a）4 (4)x3·xn-1－xn—2·x4
教学过程:
通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容.
一、 探索练习：
1、 64表示_________个___________相乘。
（62）4表示_________个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘.
（a2)3表示_________个___________相乘.
在这个练习中,要引导学生观察，推测（62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题.
2、（62)4=________×_________×_______×________
=__________（根据an·am=anm)
=__________
(33）5=_____×_______×_______×________×_______
=__________（根据an·am=anm)
=__________
（a2）3=_______×_________×_______
=__________(根据an·am=anm）
=__________
（am)2=________×_________
=__________（根据an·am=anm）
=__________
(am）n=________×________×…×_______×_______
=__________(根据an·am=anm）
=__________
即 （am）n= ______________（其中m、n都是正整数）
通过上面的探索活动，发现了什么？
幂的乘方,底数__________，指数__________。
学生在探索练习的指引下，自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点（如底数、指数发生了怎样的变化）并运用自己的语言进行描述.然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。
二、 巩固练习:
1、 1、计算下列各题：
（1）(103）3 （2)［（）3]4 （3）［（－6)3］4
（4）(x2）5 （5）－(a2）7 （6）－（as）3
（7）(x3）4·x2 （8)2（x2）n－（xn）2
(9）[(x2）3]7
学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。
2、 判断题，错误的予以改正.
（1)a5+a5=2a10 （ )
（2)（s3）3=x6 ( ）
（3）(－3）2·（－3)4=（－3）6=－36 （ ）
(4）x3+y3=（x+y)3 （ ）
（5）［(m－n)3］4－［(m－n）2]6=0 ( ）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用。
三、 提高练习：
1、 1、计算 5(P3）4·（－P2）3+2［(－P)2］4·(－P5）2
［（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1)1990
2、 若(x2)n=x8,则m=_____________.
3、 、若［（x3）m]2=x12,则m=_____________。
4、 若xm·x2m=2，求x9m的值。
5、 若a2n=3，求（a3n）4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
小 结：会进行幂的乘方的运算。
作 业：课本P16习题1。7：1、2、3。

14。1.3 积的乘方
教学目标
1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据．
2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算．
3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法．
教学重、难点
幂的乘方与积的乘方的性质．
教学过程设计
一、 创设问题，激发兴趣
问题1　有一个边长为a2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？
问题2　根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:
（1)
（2)
（3）　（m是正整数）．
在解决问题后,引导学生归纳同底数幂的乘法法则:
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
即：（am）n＝amn(m、n都是正整数）．
多重乘方可以重复运用上述法则：

二、知识应用，巩固提高
计算
（1）（102）3； （2)（b5）5； （3）（an）3；
(4)－（x2）m； （5）（y2)3·y； (6）2（a2）6－（a3)4．
问题4　根据乘方的意义和乘法的运算律,计算：（n是正整数)
你能发现有何运算规律吗？

能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
当n 是正整数时,三个或三个以上因式的积的乘方,也具有这一性质吗？

四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）幂的三个运算性质是什么？它们有什么区别和联系?
五、布置作业：
教材第102页第1、2题．
教后反思：

14。1.4整式的乘法(1）
教学目标
1．理解单项式乘法的法则，会用单项式乘法法则进行运算．
2．经历单项式乘法法则的形成过程，发展学生的运算能力，体会类比思想．
教学重、难点
单项式的乘法法则的概括过程和运用．
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
问题1:光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
二、知识应用，巩固提高
问题2　观察这三个算式有何共同的特点？

请你用自己的语言概括单项式乘以单项式的法则.
单项式乘以单项式的法则：
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式．

三、应用提高、拓展创新
第99页练习1、2
四、归纳小结
(1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）运用单项式的乘法法则时,应该注意哪些问题？
（3）结合探索单项式乘法法则的过程，你认为体现了哪些思想方法？
五、布置作业：
教科书习题14。1第3、9、10题．
教后反思：

14。1.4整式的乘法(2）
教学目标
1．理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式与多项式相乘的法则进行计算．
2．理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观"观念，体会转化、数形结合和程序化思想．
教学重、难点
单项式与多项式相乘的法则的运用．
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
问题　我们来回顾引言中提出的问题:为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p 米,宽b 米的长方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米,你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？
不同的表示方法：
你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？
二、知识应用,巩固提高
请你用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．
单项式乘以多项式的法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、应用提高、拓展创新
完成课本100页练习1、练习2

四、归纳小结
（1)本节课学习了哪些主要内容？
（2）在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？
（3）探索单项式与多项式相乘的法则的过程，体现了哪些思想方法？
五、布置作业：
教材第103页第4、7题
教后反思：

14。1.4整式的乘法（3)
教学目标
1．理解多项式与多项式相乘的法则，并能运用法则进行计算．
2．理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想.
教学重、难点
多项式与多项式相乘的法则的概括与运用．
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
问题1　已知某街心花园有一块长方形绿地，长为a m,宽为p m．则它的面积是多少？
若将这块长方形绿地的长增加b m，则扩大后的绿
地面积是多少？
问题2　若将原长方形绿地的长增加b m、宽增加q m，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？
不同的表示方法：

二、知识应用，巩固提高
根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论 呢？

你能类比单项式与多项式相乘的法则,叙述多项式与多项式相乘的法则吗？
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
你认为在运用法则计算时，应该注意什么问题？

根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？

三、应用提高、拓展创新
教科书第102页练习1、2
四、归纳小结
(1）本节课学习了哪些主要内容？
(2)在运用多项式与多项式相乘的法则时,你认为应该注意哪些问题？
（3）举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的过程中,体现了哪些思想方法?
五、布置作业:
教材习题14.1第5、8题
教后反思：

14.1.4整式的除法（1）
教学目标
1．理解同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会应用法则计算．
2．体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值；体会转化思想在单项式除法中的作用．
教学重、难点
探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则,并会用它们进行运算．
教学过程设计
一 、创设情境,激发兴趣
问题1　一种数码照片的文件大小是28 K，一个存储量为26 M(1 M=210 K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
二、知识应用,巩固提高
问题2　填空：
（1）∵　∴;
（2)∵∴；
（3)∵∴．
问1　你在解决问题2时，用到了什么知识？你能叙述这一知识吗？
问2 　这三个算式属于哪种运算?你能概括一下它们是怎样计算出来的吗?
问3　你能用上述方法计算 吗?
问4　你能用语言概括这一性质吗？
同底数幂除法的性质:

同底数幂相除,底数不变，指数相减．
思考与讨论　为什么a≠0？
问题3　当被除式的指数等于除式的指数时:
（1）如果根据这条性质计算结果是多少？
（2）如果根据除法意义计算 结果是多少？

即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
三、应用提高、拓展创新
例1　计算：
（1） （2）
（3） (4）
问题4　计算下列各题:
（1） （2）
例2　计算：
（1） （2）
教科书104页练习1、2
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）探究同底数幂除法性质和单项式除法？
（3）运用同底数幂除法性质和单项式除法的法则时，你认为应该注意什么？
五、布置作业：
教材习题14。1第6题（1）（2）（3）(4)．
教后反思：

14。1。4整式的除法(2）
教学目标
1．理解多项式除以单项式的法则．
2．体会知识间的内在联系、互逆关系等逻辑关系在研究问题时的价值；体会类比和转化的数学思想在多项式除以单项式中的作用。
教学重、难点
探究多项式除以单项式的法则，会运用法则进行计算．
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
问题1　请同学们观察下列算式,它是我们学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们上节课学习的算式有什么不一样的特点。
⑴。
⑵
你能尝试计算（1）吗？说说你是怎样算出来的?
二、知识应用，巩固提高
利用除法是乘法的逆运算，求(am +bm)÷m 的值,就是要求一个多项式，使它与m 的积是（am +bm）．你知道这个多项式是什么吗？
完成引例：

思考　上述两个算式的运算，它们的相同之处是什么？通过以上两个例子，我们在计算一个多项式除以单项式时,是将它如何转化的呢？
你能用字母的形式来表示吗?　
多项式除以单项式法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

或

例1　计算：
（1）
（2)
（3）
（4）
三、应用提高、拓展创新
教科书104页练习3
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）运用多项式除以单项式法则计算的基本步骤是什么？应注意的地方是什么？
（3）探究多项式除以单项式的方法是什么?
五、布置作业：
教材习题14.1第6（5）（6）题
教后反思:

14。2.1 乘法公式——平方差公式
教学目标
1．理解平方差公式，能运用公式进行计算．
2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中,感知数形结合思想．
教学重、难点
平方差公式
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
（1） = 　 ；
（2） = ；
（3） = 　．
二、知识应用，巩固提高
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？你能将发现的规律用式子表示出来吗?

你能对发现的规律进行推导吗？

前面探究所得的式子为乘法的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差．
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗?

例1　运用平方差公式计算:
（1） ； （2）
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？
(1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征;
(2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b；
（3)总结规律:一般地，“第一个数”a 的符号相同,“第二个数”b 的符号相反；
（4）公式中的字母a ，b 可以是具体的数、单项式、多项式等；
（5）不能忘记写公式中的“平方"．
例2　计算：
（1）;
（2)102×98．
三、应用提高、拓展创新
教科书108页练习1、2
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）平方差公式的结构特征是什么？
（3）应用平方差公式时要注意什么
五、布置作业：
教科书习题14.2第1题．
教后反思：

14。2。2乘法公式-—完全平方公式
教学目标
1．理解完全平方公式,能用公式进行计算．
2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想,发展符号意识和几何直观观念．
教学重、难点
完全平方公式．

教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
问题1　计算下列各式:
(1）
（2)
你能发现什么规律？
二、知识应用，巩固提高
问题2 你能用式子表示发现的规律吗？
完全平方公式:

问题3　你能用文字语言表述完全平方公式吗？
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
公式特点：
（1)积为二次三项式；
（2）积中两项为两数的平方和；
（3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同;
（4)公式中的字母a，b 可以表示数,单项式和多项式。
问题4　能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？

三、应用提高、拓展创新
例1　运用完全平方公式计算:
（1）; （2）．
例2　运用完全平方公式计算:
（1） ； (2) ．
问题5　思考：
（1）与相等吗？
(2）与相等吗?
（3）与 相等吗？为什么?
问题6 添括号法则
去括号 a+（b+c）= a+b+c； a－(b+c）= a－b－c．
反之，添括号a+b+c =a+（b+c）； a-b- c = a—（b + c）．
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
(2）完全平方公式结构有什么特点？

五、布置作业:
教材习题14。2第2、4、6、7题．
教后反思：

14。3.1因式分解——提公因式法
教学目标
1．了解因式分解的概念．
2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．
教学重、难点
运用提公因式法分解因式．
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：

二、知识应用，巩固提高
在多项式的变形中,有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
你认为因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
你能试着将多项式因式分解吗？
(1）这个多项式有什么特点?
(2）因式分解的依据是什么？
（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．

例1　把分解因式．
通过对例1的解答，你有什么收获?
(1）公因式是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；
（2）提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；
（3）用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．
例2　把分解因式．
通过对例2的解答，你有什么收获?
公因式可以是单项式，也可以是多项式。
三、应用提高、拓展创新
教科书115页练习1、2、3
四、归纳小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）因式分解的目的是什么?因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
（3)提公因式法的一般步骤是什么?应用提公因式法分解因式时要注意什么？
五、布置作业:
教科书习题14.3第1、4（1）题．
教后反思：

14.3.2因式分解——公式法（1）
教学目标
1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
教学重、难点
运用平方差公式来分解因式．
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
你能将多项式与多项式分解因式吗?
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？
(2）这两个多项式有什么共同的特点？
（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式来解决这个问题吗？
二、知识应用，巩固提高
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现.
把整式的乘法公式——平方差公式 反过来就得到因式分解的平方差公式:
（1）平方差公式的结构特征是什么？
（2)两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项,并且两个平方项的符号相反．
例1　分解因式:
（1)；（2）．

三、应用提高、拓展创新
例2　分解因式:
(1） （2）　
通过对例2的学习,你有什么收获?
（1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；
（2）对具体问题选准方法加以解决
四、归纳小结
（1)本节课学习了哪些主要内容？
（2)因式分解的平方差公式的结构特征是什么？
（3)综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？
五、布置作业：
教材习题14.3第2、4（2)题
教后反思:

14。3。2因式分解-—公式法（2）
教学目标
1．了解完全平方式及公式法的概念,会用完全平方公式进行因式分解．
2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．
教学重、难点
运用完全平方公式分解因式．
教学过程设计
一 、创设情境，激发兴趣
你能将多项式 与多项式分解因式吗？
追问1　你能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？
追问2　这两个多项式有什么共同的特点？
追问3　你能利用整式的乘法公式——完全平方公式 来解决这个问题吗？
二、知识应用，巩固提高

你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现.
把整式的乘法公式--完全平方公式 反过来就得到因式分解的完全平方公式：
我们把和这样的式子叫做完全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．

完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．
例1　分解因式：
(1); （2）．
三、应用提高、拓展创新
例2　分解因式：
（1）；（2）．
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
四、归纳小结
（1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？
五、布置作业：
教材习题14.3第3、5(1)（3）题
教后反思：