资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4．将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，已知的图象关于原点对称，则的最小正值为（）
A.2 B.3
C.4 D.6
5．为了给地球减负，提高资源利用率，垃圾分类在全国渐成风尚，假设2021年两市全年用于垃圾分类的资金均为万元.在此基础上，市每年投入的资金比上一年增长20％，市每年投入的资金比上一年增长50％，则市用于垃圾分类的资金开始超过市的两倍的年份是（ ）（参考数据：）
A.2022年 B.2023年
C.2024年 D.2025年
6．若曲线上所有点都在轴上方，则的取值范围是
A. B.
C. D.
7．直线和直线的距离是
A. B.
C. D.
8．已知的三个顶点、、及平面内一点满足，则点与的关系是（）
A.在的内部 B.在的外部
C.是边上的一个三等分点 D.是边上的一个三等分点
9．设是周期为的奇函数，当时， ，则
A. B.
C. D.
10．C，S分别表示一个扇形的周长和面积，下列能作为有序数对取值的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中L表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.
12．设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为________
13．若，则__________
14．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
15．若函数，则________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象.若在上至少有个零点，求的最小值.
17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1的中点
（1）证明：A1B1⊥C1D；
（2）若AA1＝4，求三棱锥A﹣MDE的体积
18．已知函数，当点在的图像上移动时，点在函数的图像上移动，
（1）若点的坐标为，点也在图像上，求的值
（2）求函数的解析式
（3）当，令，求在上的最值
19．已知函数(a>0且a≠1).
(1)若f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值；
(2)若，当a>1时，解不等式.
20．某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值
21．已知函数，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位后所得函数的图象关于原点中心对称，求的最小值
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】根据零点存在定理得出，代入可得选项.
【详解】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：，
即，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.
2、A
【解析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
3、B
【解析】斜率为，截距，故不过第二象限.
考点：直线方程.
4、B
【解析】根据图象平移求出g(x)解析式，g(x)为奇函数，则g(0)＝0，据此即可计算ω的取值.
【详解】根据已知，可得，
∵的图象关于原点对称，所以，从而，Z，
所以，其最小正值为3，此时
故选：B
5、D
【解析】设经过年后，市投入资金为万元，市投入资金为万元，即可表示出、，由题意可得，利用对数的运算性质解出的取值范围即可
【详解】解：设经过年后，市投入资金为万元，则，市投入资金为万元，则
由题意可得，即，即，即，即
所以，
所以，即2025年该市用于垃圾分类的资金开始超过市的两倍；
故选：D
6、C
【解析】曲线化标准形式为：
圆心，半径，
，即，∴
故选C
7、A
【解析】因为直线即 ，故两条平行直线和的距离
故选A
8、D
【解析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论
【详解】解：，
，
∴是边上的一个三等分点
故选：D
【点睛】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件，属于基础题
9、A
【解析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣）=﹣f（），再根据f（x）是周期函数，周期为2，可得f（）=f（﹣4）=f（），再代入0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），进行求解.
【详解】∵设f（x）是周期为2的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵f（﹣）=﹣f（），∵T=2，∴f（）= f（﹣4）=f（），
∵当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴f（）=2×（1﹣）=，
∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣，
故选A
【点睛】此题主要考查周期函数和奇函数的性质及其应用，注意所求值需要利用周期进行调节，此题是一道基础题.
10、B
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，，根据选项代入数据一一检验即可
【详解】设扇形半径为，弧长为，
则，
当，有，则无解，故A错；
当，有得，故B正确；
当，有，则无解，故C错；
当，有，则无解，故D错；
故选：B
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、8100
【解析】将代入，化简即可得答案.
【详解】因为鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为：
，
所以，当一条鲑鱼以的速度游动时，
，
∴，
∴
故答案为：8100.
12、
【解析】求出圆心到直线的距离，进而可得结果.
【详解】依题意可知圆心为，半径为1.
则圆心到直线距离，
则点直线的最大距离为.
故答案：.
13、
【解析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.
【详解】若,则,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.
14、
【解析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
15、0
【解析】令x=1代入即可求出结果.
【详解】令，则.
【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）.
【解析】（1）利用正余弦的倍角公式，结合辅助角公式化简为标准正弦型三角函数，根据周期求得参数，再求其单调区间即可；
（2）根据函数图像的平移求得的解析式，根据零点个数，即可求得参数的范围.
【详解】（1）
函数最小正周期为，
则，则，
所以，
令，
解得，
则函数的单调递增区间为.
（2）由题意：，令，
得或.
所以在每个周期上恰好有两个零点，
若在上至少有个零点，
应该大于等于第个零点的横坐标，
则.
【点睛】本题考查利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简三角函数解析式，以及求三角函数的单调区间和零点个数，属综合中档题.
17、（1）证明见解析（2）
【解析】（1）通过证明AB⊥CD，AB⊥CC1，证明A1B1⊥平面CDC1，然后证明A1B1⊥C1D；
（2）求出底面△DCE的面积，求出对应的高，即点到底面DCE的距离，然后求解四面体M-CDE的体积，由三棱锥A﹣MDE的体积就是三棱锥M﹣CDE的体积得结论.
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB⊥CD，AB⊥CC1，CD∩CC1＝C，
∴AB⊥平面CDC1，
∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面CDC1，
∵C1D平面CDC1，
∴A1B1⊥C1D；
（2）解：三棱锥A﹣MDE的体积就是三棱锥M﹣CDE的体积，
AC＝BC＝2，D，E分别为棱AB，BC的中点，
M为棱AA1的中点．AA1＝4，所以AM＝2，AB⊥CD，
三棱锥A﹣MDE的体积：
【点睛】本题考查线面垂直，考查点到面的距离，解题的关键是利用线面垂直证明线线线垂直，利用等体积法求点到面的距离，是中档题
18、（1）；（2）；(3)见解析
【解析】（1）首先可通过点坐标得出点的坐标，然后通过点也在图像上即可得出的值；
（2）首先可以设出点的坐标为，然后得到与、与的关系，最后通过在的图像上以及与、与的关系即可得到函数的解析式；
（3）首先可通过三个函数的解析式得出函数的解析式，再通过函数的单调性得出函数的单调性，最后根据函数的单调性即可计算出函数的最值
【详解】（1）当点的坐标为，点的坐标为，
因为点也在图像上，所以，即；
（2）设函数上，则有，即，
而在的图像上，所以，
代入得；
（3）因为、、，
所以，
，
令函数，
因为当时，函数单调递减，
所以当时，函数单调递增，
，，
综上所述，最小值为，最大值为
【点睛】本题考查了对数函数的相关性质，考查了对数的运算、对数函数的单调性以及最值，考查函数方程思想以及化归与转化思想，体现了基础性与综合性，提高了学生的逻辑推理能力
19、 (1)2或；(2)或.
【解析】(1)对a值分类讨论，根据单调性列出最值之差表达式即可求解；
(2)由函数的奇偶性、单调性脱去给定不等式中的法则“”，转化为一元二次不等式，求解即得.
【详解】(1)①当，f(x)在[-1，1]上单调递增，，解得，
②当时，f(x)在[-1，1]上单调递减，，解得，
综上可得，实数a的值为2或.
(2)由题可得定义域为，且，所以为上的奇函数；
又因为，且，所以在上单调递增；
所以，
或，
所以不等式的解集为或.
【点睛】解抽象的函数不等式，分析对应函数的奇偶性和单调性是解决问题的关键.
20、（1）
（2）当时，y有最小值为3.
【解析】（1）根据y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和即可建立函数模型；
（2）利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，y关于x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：因为，当且仅当，即时等号成立.
所以当时，y有最小值为3.
21、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由余弦函数的单调性，解不等式，，即可求出；（2）利用函数的性质，结合在时的单调性与最值，可得实数的取值范围；（3）先求出的解析式，然后利用图象关于原点中心对称，是奇函数，可求出的最小值
【详解】（1）由余弦函数的单调性，解不等式，，
得，所以函数的单调递增区间为；
（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，，，
所以当时，函数与函数的图象有两个公共点，
即当时,方程恰有两个不同的实数根时
（3）函数的图象向右平移个单位,
得到,则是奇函数，
则，
即，，
则
因为，所以当时，.
【点睛】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题
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