资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15或12 B．12 C．15 D．以上都不对
2．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB＝3：4：5，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．点在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，从半径为5的⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB（A，B为切点），若∠APB＝60°，则四边形OAPB的周长等于（ ）
A．30 B．40 C． D．
5．如图，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为( )
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
7．小华同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他邻近的一棵树的影长为米，则这棵树的高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．在比例尺为1:10000000的地图上，测得江华火车站到永州高铁站的距离是2cm ，那么江华火车站到永州高铁站的实际距离为（ ）km
A．20000000 B．200000 C．2000 D．200
9．已知点为反比例函数图象上的两点，当时，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．正五边形的每个外角度数为（ ）
A． B． C． D．
11．一组数据3，1，4，2，－1，则这组数据的极差是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．一元二次方程的常数项是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：× =______.
14．在中，，则的面积是__________．
15．抛物线在对称轴_____（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．
16．点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=- 图象上,则y1 _____________ y2 (选填 “ ﹤” , “>”或” = ”)
17．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠ACB=35°，则∠OAB的度数是______度．
18．已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 .
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝1．
（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当时，求方程的正根．
20．（8分）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
21．（8分）根据2019年莆田市初中毕业升学体育考试内容要求，甲、乙、丙在某节体育课他们各自随机分别到篮球场A处进行篮球运球绕杆往返训练或到足球场B处进行足球运球绕杆训练，三名学生随机选择其中的一场地进行训练．
（1）用列表法或树形图表示出的所用可能出现的结果；
（2）求甲、乙、丙三名学生在同一场地进行训练的概率；
（3）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处场地进行训练的概率．
22．（10分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，1．
（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是1的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
23．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE
（1）求证：△DBE是等腰三角形
（2）求证：△COE∽△CAB
24．（10分）如图，是⊙的直径，、是圆周上的点，，弦交 于点.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
25．（12分）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
26．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a-c=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是正三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题分析：将方程进行因式分解可得：（x－5）（x－8）=0，解得：x=5或x=8，根据三角形三边关系可得：这个三角形的第三边长为5，则周长为：3+4+5=1．
考点：（1）解一元二次方程；（2）三角形三边关系
2、D
【分析】根据已知条件,运用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形,再根据余弦的定义解答即可.
【详解】解:设分别为,
,
为直角三角形,
.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和余弦,熟练掌握对应知识点是解答关键.
3、B
【解析】把点M代入反比例函数中，即可解得K的值.
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得k=3.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式，正确代入求解是解题的关键.
4、D
【分析】连接OP，根据切线长定理得到PA＝PB，再得出∠OPA＝∠OPB＝30°，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理求出PB，计算即可．
【详解】解：连接OP，
∵PA，PB是圆的两条切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
又OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OPA＝∠OPB＝30°，
∴OP=2OB=10，
∴PB＝=5＝PA，
∴四边形OAPB的周长＝5+5+5+5＝10（+1），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理以及全等三角形的性质等知识，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5、A
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当x＞1时，直线y=1x都在直线y=kx+b的上方，当x＜1时，直线y=kx+b在x轴上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜1x的解集．
【详解】设A点坐标为（x，1），
把A（x，1）代入y=1x，
得1x=1，解得x=1，
则A点坐标为（1，1），
所以当x＞1时，1x＞kx+b，
∵函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点B（1，0），
∴x＜1时，kx+b＞0，
∴不等式0＜kx+b＜1x的解集为1＜x＜1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6、C
【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0.
7、B
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为
解得，x=4.1．
故选：B
【点睛】
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．
8、D
【分析】由题意根据图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
【详解】解：设江华火车站到永州高铁站的实际距离为xcm，根据题意得：
2：x=1：10000000，
解得：x=20000000，
20000000cm=200km．
故江华火车站到永州高铁站的实际距离为200km．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查比例线段，解题的关键是熟悉比例尺的含义进行分析．
9、A
【分析】根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结论．
【详解】∵反比例函数在时，y随着x的增大而减小，
∴当时，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
10、B
【解析】利用多边形的外角性质计算即可求出值．
【详解】360°÷5＝72°，
故选：B．
【点睛】
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角性质是解本题的关键．
11、A
【分析】根据极差的定义进行计算即可.
【详解】这组数据的极差为：4－(－1)=5.
故选A.
【点睛】
本题考查极差，掌握极差的定义：一组数据中最大数据与最小数据的差，是解题的关键.
12、A
【分析】在一元二次方程的一般形式下，可得出一元二次方程的常数项．
【详解】解：由，
所以方程的常数项是
故选A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的一般形式及各项系数，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、7
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可.
【详解】解：原式
故答案为：7
【点睛】
本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键.
14、24
【分析】如图，由三角函数的定义可得，可得AB=，利用勾股定理可求出AC的长，根据三角形面积公式求出△ABC的面积即可．
【详解】∵，
∴AB=，
∴()2=AC2+BC2，
∵BC=8，
∴25AC2=9AC2+9×64，
解得：AC=6（负值舍去），
∴△ABC的面积是×8×6=24，
故答案为：24
【点睛】
本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
15、右侧
【解析】根据二次函数的性质解题．
【详解】解：∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，
故答案为：右侧．
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．
16、＜
【分析】根据反比例函数的增减性和比例系数的关系即可判断.
【详解】解：∵﹣3＜0
∴反比例函数y=- 在每一象限内，y随x的增大而增大
∵-2＜-1＜0
∴y1 ＜y2
故答案为：＜.
【点睛】
此题考查的是反比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性与比例系数的关系是解决此题的关键.
17、1
【分析】根据题意易得∠AOB=70°，然后由等腰三角形的性质及三角形内角和可求解．
【详解】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠ACB=35°，
∴∠AOB=2∠ACB=70°，
∴；
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
18、15.6
【解析】试题分析：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
考点：折线统计图；中位数
三、解答题（共78分）
19、（1）m=；（2）.
【分析】（1）若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2-4ac=1，建立关于m的方程，求出m的取值．
（2）把m的值代入方程，利用求根公式可解出方程，求得方程的正根．
【详解】解：（1）∵b2-4ac=9-4m，
∴9-4m=1时，方程有两个相等的实数根，
解得：m=，
即m=时，方程有两个相等的实数根．
（2）当m=-时，b2-4ac=9-4m=9+3=12＞1，
∴由求根公式得：;
∵,
∴,
∴所求的正根为.
【点睛】
本题主要考查了根的判别式和利用求根公式解一元二次方程．
20、（1）如图，BE为所作；见解析；（2）小亮（CD）的影长为3m．
【分析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，连接PA并延长交直线BO于点E，则可得到小亮站在AB处的影子；
（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．
【详解】（1）如图，连接PA并延长交直线BO于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子：
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，
AB＝CD＝1.6，OB＝2.4，BE＝1.2，OD＝6，
∵AB∥OP，
∴△EBA∽△EOP，
∴即
解得OP＝4.8，
∵CD∥OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴，即，
解得FD＝3
答：小亮（CD）的影长为3m．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．
21、（1）共有8种可能；（2）；（3）
【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况即可；
（2）看3人在同一场地进行训练的情况数占总情况数的多少即可；
（3）看至少有两人在处场地进行训练的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
（1） 由上树状图可知甲、乙、丙三名学生进行体育训练共有8种可能，
（2）所有出现情况等可能，其中甲、乙、丙三名学生在同一场地进行训练有2种可能并把它记为事件A，则P(A)=
(3) 其中甲、乙、1丙三名学生中至少有两人在B处场地进行训练有4种可能并把它记为事件B，则P（B）=
【点睛】
此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（1）；（2）见解析，
【分析】（1）由标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，利用概率公式计算可得；
（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是1的倍数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）∵在标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为．
故答案为：；
（2）列表如下：
1
2
1
1
(1，1)
(2，1)
(1，1)
2
(1，2)
(2，2)
(1，2)
1
(1，1)
(2，1)
(1，1)
由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是1的倍数的有1种，
所以这两个数字之和是1的倍数的概率为．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO＋∠BDE＝90°，由∠ACB＝90°，得出∠CAB＋∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得出结论；
（2）证出CB是⊙O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，即可得出结论．
【详解】（1）连接OD、OE，如图所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO＋∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
24、（1）详见解析；（2）36°
【分析】（1）连接OP，由已知条件证明，可推出；（2）设，因为OD=DC推出，由OP=OC推出，根据三角形内角和解关于x的方程即可；
【详解】（1）证明：连接OP.
∵，
∴PA=PC，
在中，
∴（SSS），
∴；
（2）解：设°，则°，
∵OD=DC，
∴°，
∵OP=OC，
∴°，
在中，°，
∴x+x+3x=180°，
解得x=36°，
∴=36°.
【点睛】
本题主要考查了圆与等腰三角形，全等三角形及三角形内角和等知识点，掌握圆的性质是解题的关键.
25、，此时方程的根为
【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
26、（1）直角三角形；（2）．x1=-1，x2=0
【解析】试题分析：（1）根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解．
解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0可整理为2ax2﹣2ax=0，
∴x2﹣x=0，
解得：x1=0，x2=1．
考点：根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
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