专题一乘法公式及应用.doc

专题一 乘法公式的复习

一、复习:
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2
② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2
③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4
④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2
⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]
=(xy)2-(z+m)2
=x2y2-(z+m)(z+m)
=x2y2-(z2+zm+zm+m2)
=x2y2-z2-2zm-m2
⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)
=(x-y)2-z2
=(x-y)(x-y)-z2
=x2-xy-xy+y2-z2
=x2-2xy+y2-z2
⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)
=x4-y4
⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2
=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
=2x(-2y+2z)
=-4xy+4xz

例1．已知，，求的值。
解：∵ ∴=
∵， ∴=

例2．已知，，求的值。
解：∵
∴ ∴=
∵， ∴

例3：计算19992-2000×1998

例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？
例7．运用公式简便计算
（1）1032 （2）1982
例8．计算
（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)
例9．解下列各式
（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。
（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。
（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。
（4）已知，求的值。
例11．计算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2

两数和的平方的推广
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法
(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算： 解：原式
(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：
例3. 计算：
三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4. 计算：
四、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：
五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6. 已知，求的值。
解：

例7. 计算：

三、学习乘法公式应注意的问题
　 （一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．
　　例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)
　　分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．
　　解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．

例2 计算(-a2+4b)2
　　分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件
　　例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
　　分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．
　　解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕
　　 =(2x+5)2-(y-z)2
　　 =4x2+20x+25-y+2yz-z2．

例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
　　分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．
　　解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2
　　 =[(a3-1)(a6+a3+1)]2
　　 =(a9-1)2=a18-2a9+1
　　例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
　　分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．
　　解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
　　 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
　　 =(24-1)(24+1)(28+1)
　　 =（28-1）（28+1）
　 　=216-1

（三）、注意公式的推广
计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
　　可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．
　　例6 计算(2x+y-3)2
　　解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
　　=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
　 　例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；
　　 (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．
　　分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．
　　解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，
　　 ∴xy=30 　　故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．
　 　(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．

例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．
　　分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．
　　解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2
　 　=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]
　　 =2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2
　　 =4a2+4b2+4c2
　　（五）、注意乘法公式的逆运用
　　例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．
　　分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．
　　解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
　　 =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．
　　例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
　　分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．
　　解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2
　　=[(2a+3b)+(4a-5b)]2
=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2

四、怎样熟练运用公式：
（一）、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化 如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化 如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．
5、项数变化 如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．
即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…×× =×=．
有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．
如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值．
面对这样的问题就可用上述变式来解，
即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，
m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！
1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．
2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．
（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）

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