三角函数恒等变换题型总结(2).pdf

11两角和与差的三角函数；sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(。tantantan()1tantan2二倍角公式；cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos。22tantan21tan3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；。2sin21cossin22cos1sin222cos1cos2（2）辅助角公式，22sincossinaxbxabx。2222sincosbaabab其中，4三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；2(),()()（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。2分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三tantantantan及的值，tan角函数式用 tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得 tan，6tantan5tan，所以 tan.1615tantan1tantan题型 1：两角和与差的三角函数例 1已知，求 cos。0coscos1sinsin，）的值（分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。）（的和，也可以与2解法一：由已知 sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos；1）（cos。21）（22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即 2cos（）=1。1cos）（。1cos解法二：由得12cos2sin2由得02cos2cos2得，02cot112cot12cot2tan12tan1cos2222点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解 sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例 2已知求2tantan560 xx，是方程的两个实根根，。222sin3sincoscos的值322222sin3sincoscossincos原式 222tan3tan12 1 3113tan11 1 解法二：由韦达定理得 tan，6tantan5tan，所以 tan.1615tantan1tantan，34kkZ于是有。223333312sinsin 2cos13422422kkk 原式点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式逆用公式，变形式也要熟悉，如。，tantantantantantantantantantantantantantantantan1tancossinsincoscos题型 2：二倍角公式例 3化简下列各式：（1），2232cos21212121，（2）。4cos4cot2sincos222 分析：（1）若注意到化简式是开平方根和 2以及其范围不难找到解题的突破口；的二倍，是的二倍，是2（2）由于分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点。244解析：（1）因为，coscos2cos2121223，所以又因，2sin2sincos2121243，所以所以，原式=。2sin4（2）原式=4cos4sin22cos4cos4tan22cos2 =。12cos2cos22sin2cos点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于 2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，442，是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或4cos4sin222sin2cos切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，。，sin22sincos22cos1cos222cos1sin2例 4若。的值求，xxxxxtan1cos22sin,471217534cos2分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。224442xxxx，及解法一：由，2435471217xx，得34cossin.4545xx 又因，2coscoscoscossinsin44444410 xxxx，7 2sintan7.10 xx 从而，227 227 2221010102sin cos2sin28.1tan1 775xxxx 原式解法二：，2sin cos1tansin2tan1tan4xxxxxx原式27sin2sin 2cos22cos1424425xxxx 而sin44tan43cos4xxx，57428.25375 所以，原式点评：此题若将的左边展开成再求 cosx，sinx 的值，就很繁琐，把3cos45x3coscossinsin445xx，并注意角的变换 2运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头所以在作为整体x4，xx224解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角拼角与拆角，如，2，2222，2等。，题型 3：辅助角公式例 5已知正实数 a,b 满足。的值，求abbaba158tan5sin5cos5cos5sin分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以 a，则已知等式可化为关于程，从的方ab而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。abcossinba解法一：由题设得158cos158sin5sin5cos5cos5sinabab .33tan5158cos5158sin5sin158sin5cos158cos5sin158cos5cos158sinab解法二：22sincossin555abab因为，22cossincostan5558tantan.51585153tantantan3.33bababakkbka，其中，由题设得所以，即，故6解法三：tan85tan151tan5baba原式可变形为：，tantan85tantantan5151tantan58,5153tantantan3333bakkZkkZbka令，则有，由此可所以，故，即点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，或sincossin22babatanba其中sincosab在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，22costanaabb，其中但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。题型 4：三角函数式化简例 6求 sin220cos250sin20cos50的值。解析：原式（1cos40）（1cos100）（sin70sin30）2121211（cos100cos40）sin70212141sin70sin30sin704321sin70sin70。43212143点评：本题考查三角恒等式和运算能力。例 7已知函数.12sin(2)4()cosxf xx（）求的定义域；()f x（）设的第四象限的角，且，求的值。tan43()f解析：（）由 得，cos0 x()2xkkZ故在定义域为()f x,2x xkkZ7（）因为，且是第四象限的角,4tan3 所以43sin,cos,55 故12sin(2)4()cosf x 2212(sin2cos2)22cos 1 sin2cos2cos 22cos2sincoscos 2(cossin)。145函数 y=cos(x+)cos(x)+sin2x 的值域是2,2,最小正周期是。443题型 5：三角函数综合问题例 8已知向量(sin,1),(1,cos),.22ab（I）若求（II）求的最大值。,ab;ab解析：（1）；,ab0a b Asincos04 22(2).(sin1,cos1)(sin1)(cos1)ab22sin2sin1cos2cos12(sincos)3 2 2sin()34当=1 时有最大值,此时，最大值为。sin()4ab42 2321点评：本题主要考察以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为 0；2，特殊角的三角函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。