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2022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第2讲 三角恒等变换试题1

2022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第2讲 三角恒等变换试题1

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第四章　三角函数、解三角形
第二讲　三角恒等变换
练好题·考点自测
1.下列说法错误的是(　　)
A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的
B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立
C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立
D.存在实数α,使tan 2α=2tan α
2.[新课标全国Ⅰ,5分][理]sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-32 B.32 C.-12 D.12
3.[2020全国卷Ⅲ,9,5分][理]已知2tan θ-tan(θ+π4)=7,则tan θ=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.[2021大同市调研测试]已知tanα2=3,则sinα1-cosα=(　　)
A.3 B.13 C.-3 D.-13
5.[2019全国卷Ⅱ,10,5分][理]已知α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)
A.15 B.55 C.33 D.255
6.tan 67.5°-tan 22.5°=　　　　. 
7.[2019江苏,13,5分]已知tanαtan(α+π4)=-23,则sin(2α+π4)的值是　　　　. 
拓展变式
1.[2020全国卷Ⅲ,5,5分]已知sin θ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π6)= (　　)
A.12 B.33 C.23 D.22
2.1+cos20°2sin20°-sin 10°(1tan5°-tan 5°)=　　　　. 
3.已知α∈(0,π),化简:(1+sinα+cosα)·(cosα2-sinα2)2+2cosα=　　　　. 
4.[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则m4-m22cos227°-1= (　　)
A.4 B.5+1 C.2 D.5-1
5.[2021云南省部分学校统一检测]已知α为锐角,cos α=35,则tan(π4+α2)= (　　)
A.13 B.12 C.2 D.3
6.(1)已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tan α=cos2β1-sin2β,则 (　　)
A.α+β=π2 B.α-β=π4 C.α+β=π4 D.α+2β=π2
(2)已知α,β为锐角,且(1-3tan α)·(1-3tan β)=4,则α+β=　　　　. 
7.已知θ∈(0,π),sin θ+cosθ=3-12,则tan θ的值为　　　　. 

答 案
第二讲 三角恒等变换

1.C　对于C,只有当α,β,α+β都不等于kπ+π2(k∈Z)时,公式才成立,故C错误,选C.
2.D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=12.故选D.
3.D　由已知得2tan θ-tanθ+11-tanθ=7,解得tan θ=2.
4.B　因为tanα2=3,所以sinα1-cosα=2sinα2cosα21-(1-2sin2α2)=cosα2sinα2=1tanα2=13,故选B.
5.B　因为2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α.
因为α∈(0,π2),所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=15,所以sin α=55.故选B.
6.2　由tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)得tan 67.5°-tan 22.5°=tan 45°(1+tan 67.5°tan 22.5°)=tan 45°(1+tan 67.5°·1tan67.5°)=1×2=2.
7.210　tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,解得tan α=2或tan α=-13.当tan α=2时,sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45,cos 2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2αtan2α+1=-35,此时sin 2α+cos 2α=15.同理当tan α=-13时,sin 2α=-35,cos 2α=45,此时sin 2α+cos 2α=15.所以sin(2α+π4)=22(sin 2α+cos 2α)=210.

1.B　∵sin θ+sin(θ+π3)=32sin θ+32cos θ=3sin(θ+π6)=1,∴sin(θ+π6)=33,故选B.
2.32　原式=2cos210°2×2sin10°cos10°-sin 10°·(cos5°sin5°-sin5°cos5°)=cos10°2sin10°-sin 10°·cos25°-sin25°sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin 10°·cos10°12sin10°=cos10°2sin10°-2cos 10°=cos10°-2sin20°2sin10°=cos10°-2sin(30°-10°)2sin10°=cos10°-2(12cos10°-32sin10°)2sin10°=3sin10°2sin10°=32.
3.cos α　原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)4cos2α2.因为α∈(0,π),所以cosα2>0,所以原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)2cosα2=(cosα2+sinα2)·(cosα2-sinα2)=cos2α2-sin2α2=cos α.
4.C　∵m=5-12=2sin 18°,∴m4-m22cos227°-1=2sin18°4-4sin218°cos54°=2sin18°×2cos18°cos54°=2sin36°cos54°=2,故选C.
5.D　　解法一　因为α为锐角,且cos α=35,所以sin α=45,tan α2=sinα1+cosα=12.tan(π4+α2)=tanπ4+tanα21-tanπ4tanα2=1+121-12=3.故选D.
解法二　因为α为锐角,且cos α=35,所以sin α=45,所以tan α=2tanα21-tan2α2=43,解得tanα2=12或tanα2=-2(舍去) ,所以tan(π4+α2)=tanπ4+tanα21-tanπ4tanα2=1+121-12=3.故选D.
6.(1)B　解法一　已知等式可化为sinαcosα=cos2β1-sin2β,即sin α(1-sin 2β)=cos αcos 2β,整理得cos αcos 2β+sin αsin 2β=sin α,即cos(α-2β)=sin α.因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以α-2β∈(-π,π2).又cos(α-2β)=sin α>0,所以α-2β∈(-π2,π2).又cos(α-2β)=sin[(α-2β)+π2],且α-2β+π2∈(0,π),α∈(0,π2),所以α-2β+π2=α或α-2β+π2=π-α.当α-2β+π2=α时,β=π4,此时1-sin 2β=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;当α-2β+π2=π-α时,α-β=π4.故选B.
解法二　tan α=cos2β1-sin2β=cos2β-sin2βcos2β+sin2β-2sinβcosβ= (cosβ+sinβ)(cosβ-sinβ)(cosβ-sinβ)2=cosβ+sinβcosβ-sinβ=1+tanβ1-tanβ=tan(π4+β).因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以α=π4+β,即α-β=π4.故选B.
(2)2π3　将(1-3tan α)(1-3tan β)=4展开,得-3(tan α+tan β)=3(1-tan α·tan β),即tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(α+β)=-3,由于α,β为锐角,所以0<α+β<π,故α+β=2π3.
7.-3　解法一　将sin θ+cosθ=3-12两边同时平方,得1+2sin θcosθ=1-32,即sin θcosθ=-34,易知θ≠π2.
故sin θcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθtan2θ+1=-34,
解得tan θ=-3或tan θ=-33.
∵θ∈(0,π),sin θcosθ=-34<0,∴θ∈(π2,π).由sin θ+cosθ=3-12>0可知sin θ>-cos θ,即|sin θ|>|cos θ|,故θ∈(π2,3π4),(题中隐含条件挖掘)
则tan θ<-1,∴tan θ=-3.
解法二　由sin θ+cosθ=3-12　①,得sin θcosθ=-34<0,
又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,
∴sin θ-cos θ>0.
又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcosθ=1+32=(3+1)24,
∴sin θ-cos θ=3+12　②.
联立①②,解得sinθ=32,cosθ=-12,∴tan θ=-3.