2021届高考数学统考二轮复习-增分强化练(四十四)不等式选讲(理-含解析).doc

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练（四十四）不等式选讲（理，含解析）

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练（四十四）不等式选讲（理，含解析）

年级：
姓名：

增分强化练(四十四)
1．(2019·南昌模拟)已知a，b为正实数，函数f(x)＝|x－a|－|x＋2b|.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若函数f(x)的最大值为1，求a2＋4b2的最小值．
解析：(1)因为f(x)≤|(x－a)－(x＋2b)|＝a＋2b，
所以函数f(x)的最大值为a＋2b.
(2)由(1)可知，a＋2b＝1，
因为a2＋4b2≥4ab，
所以2(a2＋4b2)≥a2＋4b2＋4ab＝(a＋2b)2，
所以2(a2＋4b2)≥(a＋2b)2＝1，
即a2＋4b2≥，
且当a＝2b＝时取“＝”，
所以a2＋4b2的最小值为.
2．(2019·大连模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋a|.
(1)当a＝－1时，求不等式f(x)>2x的解集；
(2)当不等式f(x)>1的解集为R时，求实数a的取值范围．
解析：(1)a＝－1时，f(x)＝，
当x<－1时，－2x>2x，即x<0，∴x<－1；
当－1≤x≤1时，2>2x，即x<1，∴－1≤x<1；
当x>1时，2x>2x，无解．
综上，f(x)>2x的解集为(－∞，1)．
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x＋a|≥|a－1|，
当－a≤－1，即a≥1时， －a≤x≤－1时等号成立；当－a>－1，即a<1时， －1≤x≤－a时等号成立，
所以f(x)的最小值为|a－1|，
即|a－1|>1，
∴a<0或a>2.
3．(2019·东三省四市模拟)已知a，b，c，d均为正实数．
(1)求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；
(2)若a＋b＝1，求证＋≥.
证明：(1)(a2＋b2)(c2＋d2)＝(a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2)≥(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝(ac＋bd)2.
(2)(1＋a＋1＋b)＝a2＋a2＋b2＋b2≥a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝1，
而(1＋a)＋(1＋b)＝3，所以＋≥.
4．(2019·桂林、崇左模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋2x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥2的解集；
(2)若关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝.
当x≥1时，由f(x)≥2⇒3x－1≥2⇒x≥1；
当x<1时，由f(x)≥2⇒x＋1≥2⇒x≥1不成立；
综上所述，当a＝1时，不等式f(x)≥2的解集为[1，＋∞)．
(2)记h(x)＝|f(2x＋a)－2f(x)|＝2||x|－|x－a|＋a|，
则h(x)＝.
∴|f(2x＋a)－2f(x)|max＝4a.
依题意得4a≤2，∴a≤.
∴实数a的取值范围为(0，]．