三角函数图像与性质知识点总结和经典题型.pdf

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型三角函数图像与性质知识点总结和经典题型1 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32-2oyx2 2三角函数的单调区间：三角函数的单调区间：的递增区间是的递增区间是，递减区间是，递减区间是；xysin2222kk，)(Zk 23222kk，)(Zk 的递增区间是的递增区间是，递减区间是，递减区间是，xycoskk22，)(Zk kk22，)(Zk 的递增区间是的递增区间是，xytan22kk，)(Zk 3 3函数函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是最大值是，最小值是，最小值是，周期是，周期是，频率是，频率是，相位是，相位是，初相是，初相是；其；其BAAB 2T2fx图象的对称轴是直线图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。的交点都是该图象的对称中心。)(2ZkkxBy 4 4由由y ysinsinx x的图象变换出的图象变换出y ysin(sin(xx)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头无论哪种变形，请切无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母记每一个变换总是对字母x x而言，即图象变换要看而言，即图象变换要看“变量变量”起多大变化，而不是起多大变化，而不是“角变化角变化”多少。多少。途径一：先平移变换再周期变换途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换伸缩变换)先将先将y ysinsinx x的图象向左的图象向左(0)0)或向右或向右(0 0平移平移个单位，再将图象上各点的横坐标变个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的为原来的倍倍(0)0)，便得，便得y ysin(sin(xx)的图象。的图象。1途径二：先周期变换途径二：先周期变换(伸缩变换伸缩变换)再平移变换。再平移变换。先将先将y ysinsinx x的图象上各点的横坐标变为原来的的图象上各点的横坐标变为原来的倍倍(0)0)，再沿，再沿x x轴向左轴向左(0)0)或向右或向右1(0 0平移平移个单位，便得个单位，便得y ysin(sin(xx)的图象。的图象。|5 5由由y yA Asin(sin(xx)的图象求其函数式：的图象求其函数式：给给出出图图象象确确定定解解析析式式y y=A As si in n（x x+）的的题题型型，有有时时从从寻寻找找“五五点点”中中的的第第一一零零点点（，0 0）作为突）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6 6对称轴与对称中心：对称轴与对称中心：的对称轴为的对称轴为，对称中心为，对称中心为；sinyx2xk(,0)kkZ的对称轴为的对称轴为，对称中心为，对称中心为；cosyxxk2(,0)k对于对于和和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。sin()yAxcos()yAx7 7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A A、的正的正负负头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；并且在同一单调区间；8 8求三角函数的周期的常用方法：求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图的形式，在利用周期公式，另外还有图sin()yAxcos()yAx像法和定义法。像法和定义法。9 9五点法作五点法作y y=A Asinsin（xx+）的简图：）的简图：五点取法是设五点取法是设x x=xx+，由，由x x取取 0 0、22 来求相应的来求相应的x x值及对应的值及对应的y y值，再描点作值，再描点作223图。图。四典例解析四典例解析题型 1：三角函数的图象例例 1 1（20002000 全国，全国，5 5）函数）函数y yxcxcososx x的部分图象是（的部分图象是（）。题型 2：三角函数图象的变换例例 2 2试述如何由试述如何由y y =sinsin（2 2x x+）的图象得到）的图象得到y y =sin=sinx x的图象。的图象。313例例 3 3（20032003 上海春，上海春，1515）把曲线）把曲线ycycososx x +2+2y y1=01=0 先沿先沿x x轴向右平移轴向右平移个单位，再沿个单位，再沿y y轴向下平轴向下平2移移 1 1 个单位，得到的曲线方程是（个单位，得到的曲线方程是（）A A（1 1y y）sinsinx x +2 2y y3=03=0 B B（y y1 1）sinsinx x +2 2y y3=03=0C C（y y +1+1）sinsinx x +2 2y y +1=01=0 D D(y y+1)sin+1)sinx x +2 2y y +1=0+1=0题型 3：三角函数图象的应用例例 4 4（20032003 上海春，上海春，1818）已知函数）已知函数f f（x x）=A Asinsin（xx+）（A A00，00，x xRR）在一个周期内的）在一个周期内的图象如图所示，求直线图象如图所示，求直线y y=与函数与函数f f（x x）图象的所有交点的坐标。）图象的所有交点的坐标。3（2 2）（20022002 全国文全国文 5 5，理，理 4 4）在（）在（0 0，2 2）内，使）内，使 sinsinx xc cososx x成立的成立的x x取值范围取值范围为（为（）图A A（，）（，）B B（，）42454C（，）D（，）（，）44544523题型 4：三角函数的定义域、值域例例 5 5（1 1）已知）已知f f（x x）的定义域为）的定义域为0 0，1 1，求，求f f（c cososx x）的定义域；）的定义域；（2 2）求函数）求函数y y =lgsin=lgsin（c cososx x）的定义域；）的定义域；题型 5：三角函数的单调性例例 6求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（；（2）y=sin（x+）。）。21432x4题型 6：三角函数的奇偶性例例 7 7（20012001 上海春）关于上海春）关于x x的函数的函数f f（x x）=sin=sin（x x+）有以下命题：）有以下命题：对任意的对任意的，f f（x x）都是非奇非偶函数；）都是非奇非偶函数；不存在不存在，使，使f f（x x）既是奇函数，又是偶函数；）既是奇函数，又是偶函数；存在存在，使，使f f（x x）是奇函数；）是奇函数；对任意的对任意的，f f（x x）都不是偶函数。）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是其中一个假命题的序号是_._.因为当因为当=_=_时，该命题的结论不成立。时，该命题的结论不成立。题型 7：三角函数的周期性例例 8 8设设的周期的周期，最大值，最大值，)0(cossin)(xbxaxfT4)12(f（1 1）求）求、的值；的值；ab（2 2）。的值终边不共线，求、的两根，为方程、若)tan(0)(xf题型 8：三角函数的最值例例 9 9（20002000 京、皖春理，京、皖春理，1010）函数）函数y y的最大值是（的最大值是（）xxcossin21A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 122222222例例 1010（1 1）已知）已知f f（x x）的定义域为）的定义域为0 0，1 1，求，求f f（c cososx x）的定义域；）的定义域；（2 2）求函数）求函数y y=lgsin=lgsin（c cososx x）的定义域；）的定义域；例例 11（2003 京春，京春，18）已知函数）已知函数 f（x）=，求，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并）的定义域，判断它的奇偶性，并xxx2cos1cos5cos624求其值域。求其值域。题型题型 5：三角函数的单调性：三角函数的单调性例例 1212求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：（1 1）y y=sinsin（）；（；（2 2）y y=sinsin（x x+）。）。21432x4 分分析析：（1 1）要要将将原原函函数数化化为为y y=s si in n（x x）再再求求之之。21324 （2 2）可可画画出出y y=|s si in n（x x+）|的图象。的图象。4例例 1313（20022002 京皖春文，京皖春文，9 9）函数）函数y y=2=2sinsinx x的单调增区间是（的单调增区间是（）A A 2 2kk，2 2kk（k kZZ）B B 2 2kk，2 2kk（k kZZ）22223C C 2 2kk，2 2kk（k kZZ）D 2k，2k（kZ）例例 1414判断下面函数的奇偶性：判断下面函数的奇偶性：f f（x x）=lg=lg（sinsinx x+）。x2sin1例例 1515（20012001 上海春）关于上海春）关于x x的函数的函数f f（x x）=sin=sin（x x+）有以下命题：）有以下命题：对任意的对任意的，f f（x x）都是非奇非偶函数；）都是非奇非偶函数；不存在不存在，使，使f f（x x）既是奇函数，又是偶函数；）既是奇函数，又是偶函数；存在存在，使，使f f（x x）是奇函数；）是奇函数；对任意的对任意的，f f（x x）都不是偶函数。）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是其中一个假命题的序号是_._.因为当因为当=_=_时，该命题的结论不成立。时，该命题的结论不成立。题型题型 7 7：三角函数的周期性：三角函数的周期性例例 1616求函数求函数y y=sin=sin6 6x x+c cosos6 6x x的最小正周期，并求的最小正周期，并求x x为何值时，为何值时，y y有最大值。有最大值。题型题型 8 8：三角函数的最值：三角函数的最值例例 1717（20032003 京春文，京春文，2 2）设）设M M和和m m分别表示函数分别表示函数y y=c cososx x1 1 的最大值和最小值，则的最大值和最小值，则M M+m m等于（等于（）31A A B B C C D D2 2323234答案：答案：例例 1 1解析：因为函数解析：因为函数y yxcxcososx x是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A A、C C，当，当x x（0 0，）时，）时，y yxcxcososx x0 0。答案为。答案为 D D2例例 2 2 解析：解析：y y =sinsin（2 2x x +）313）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3sin312xyxysin313纵坐标不变个单位图象向右平移xysin3横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的另法答案：另法答案：（1 1）先将）先将y y =sinsin（2 2x x+）的图象向右平移）的图象向右平移 个单位，得个单位，得y y=sin2sin2x x的图象；的图象；313631（2 2）再将）再将y y =sin2sin2x x上各点的横坐标扩大为原来的上各点的横坐标扩大为原来的 2 2 倍（纵坐标不变）倍（纵坐标不变），得，得y y=sinsinx x的图象；的图象；3131（3 3）再将）再将y y=sinsinx x图象上各点的纵坐标扩大为原来的图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 3 倍（横坐标不变）倍（横坐标不变），即可得到，即可得到y y=sin=sinx x的图象。的图象。31例例 3 3 解析：将原方程整理为：解析：将原方程整理为：y y =，因为要将原曲线向右、向下分别移动，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和个单位和 1 1 个个xcos212单位，因此可得单位，因此可得y y =1 1 为所求方程为所求方程.整理得（整理得（y y+1+1）sinsinx x +2+2y y+1=0.+1=0.)2cos(21x点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（为：（y y+1+1）c cosos（x x）+2+2（y y+1+1）1=01=0，即得，即得C C选项。选项。2例例 4 4 解析：根据图象得解析：根据图象得A A=2=2，T T=（）272=4=4，=，y y=2sin=2sin（+），212x又由图象可得相位移为又由图象可得相位移为，=，=.即即y y=2sin=2sin（x x+）。22124214根据条件根据条件=2sin=2sin（），=2=2kk+(k kZ)Z)或或=2=2kk+（k kZZ），3421x421x3421x32x x=4=4kk+（k kZZ）或）或x x=4=4kk+（k kZZ）。665所有交点坐标为（所有交点坐标为（4 4kk+）或（）或（4 4kk+）（k kZZ）。点评：本题主要考查三角函数的。点评：本题主要考查三角函数的3,63,65基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。解析：解析：C C；解法一：作出在（解法一：作出在（0 0，2 2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和和，由图，由图 1 1 可得可得C C答案。答案。445例例 5 5 分析：求函数的定义域：（分析：求函数的定义域：（1 1）要使）要使 00c cososx x11，（2 2）要使）要使 sinsin（c cososx x）0 0，这里的，这里的c cososx x以以它的值充当角。它的值充当角。解析：（解析：（1 1）00c cososx x1 12 2k kx x22k k+，且，且x x22k k（k kZZ）。22图所求函数的定义域为所求函数的定义域为 x xx x2 2k k，2 2k k+且且x x22k k，k kZZ。22（2 2）由）由 sinsin（c cososx x）0 02 2k kc cososx x2 2k k+（k kZZ）。又。又11c cososx x11，00c cososx x11。故所。故所求定义域为求定义域为 x xx x（2 2k k，2 2k k+），k kZZ。22点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。例例 6 6 分分析析：（1 1）要要将将原原函函数数化化为为y y=s si in n（x x）再再求求之之。（2 2）可可画画出出y y=|s si in n（x x+）|的的213244图象。解：（图象。解：（1 1）y y=sinsin（）=sinsin（）。21432x2132x4故由故由 2 2k k22k k+。3 3k kx x33k k+（k kZZ），为单调减区间；由，为单调减区间；由232x4283892 2k k+22k k+。3 3k k+x x33k k+（k kZZ），为单调增区间。，为单调增区间。递减区间为递减区间为232x423898213 3k k，3 3k k+，8389递增区间为递增区间为3 3k k+，3 3k k+（k kZZ）。89821（2 2）y y=|sin|sin（x x+）|的图象的增区间为的图象的增区间为k k+，k k+，减区间为，减区间为k k，k k+。444344-54-347454344-4oyx例例 7 7 答案：答案：，kk（k kZZ）；或者；或者，+kk（k kZZ）；或者；或者，+kk（k kZZ）22解析：当解析：当=2=2kk，k kZZ 时，时，f f（x x）=sin=sinx x是奇函数。当是奇函数。当=2=2（k k+1+1），k kZZ 时时f f（x x）=sinsinx x仍是奇函数。当仍是奇函数。当=2=2kk+，k kZZ 时，时，f f（x x）=c cososx x，或当，或当=2=2kk，k kZZ 时，时，f f（x x）22=c cososx x，f f（x x）都是偶函数）都是偶函数.所以所以和和都是正确的。无论都是正确的。无论为何值都不能使为何值都不能使f f（x x）恒等于零。所以）恒等于零。所以f f（x x）不能既是奇函数又是偶函数。）不能既是奇函数又是偶函数。和和都是假命题。都是假命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k kZZ 不能不写，否则不不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。例给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。例 8 8 解析：解析：(1)(1)，)sin()(22xbaxf，T2又又 的最大值。的最大值。，且，且 ，由，由 )(xf4)12(f224ba 122cosb122sina4、解出解出 a a=2=2 ,b b=3.=3.(2)(2)，)32sin(42cos322sin2)(xxxxf0)()(ff ，或或 )32sin(4)32sin(432232k，即即 (共线，故舍去共线，故舍去)，或或 ，)32(232k k、6k 。33)6tan()tan(k)(Zk 点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例例 9 9 解析：解析：B B；221221)4sin(221cossin21xxxy例例 1010 分析：求函数的定义域：（分析：求函数的定义域：（1 1）要使）要使 00c cososx x11，（2 2）要使）要使 sinsin（c cososx x）0 0，这里的，这里的c cososx x以它的值充当角。以它的值充当角。解析：（解析：（1 1）00c cososx x1 12 2k kx x22k k+，且，且x x22k k（k kZZ）。22所求函数的定义域为所求函数的定义域为 x xx x2 2k k，2 2k k+且且x x22k k，k kZZ。22（2 2）由）由 sinsin（c cososx x）0 02 2k kc cososx x2 2k k+（k kZZ）。又又11c cososx x11，00c cososx x11。故所求定义域为故所求定义域为 x xx x（2 2k k，2 2k k+），k kZZ。22点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。例例 11 解析：由解析：由c cos2os2x x00 得得 2 2x xkk+，解得，解得x x，k kZZ，所以，所以f f（x x）的定义域为）的定义域为 x x|x xRR 且且x x242k，k kZZ，42k因为因为f f（x x）的定义域关于原点对称，）的定义域关于原点对称，且且f f（x x）=f f（x x）。xxxxxx2cos1cos5cos6)2cos(1)(cos5)(cos62424所以所以f f（x x）是偶函数。）是偶函数。又当又当x x（k kZZ）时，）时，42kf f（x x）=。1cos32cos)1cos3)(1cos2(2cos1cos5cos622224xxxxxxx所以所以f f（x x）的值域为）的值域为 y y|11y y 或或 y y22。2121点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。例例 1212 解：（解：（1 1）y y=sinsin（）=sinsin（）。21432x2132x4故由故由 2 2k k22k k+。232x423 3k kx x33k k+（k kZZ），为单调减区间；，为单调减区间；8389由由 2 2k k+22k k+。232x4233 3k k+x x33k k+（k kZZ），为单调增区间。，为单调增区间。89821递减区间为递减区间为3 3k k，3 3k k+，8389递增区间为递增区间为3 3k k+，3 3k k+（k kZZ）。89821（2 2）y y=|sin|sin（x x+）|的图象的增区间为的图象的增区间为k k+，k k+，减区间为，减区间为k k，k k+。444344-54-347454344-4oyx例例 1313 解析：解析：A A；函数；函数y y=2=2x x为增函数，因此求函数为增函数，因此求函数y y=2=2sinsinx x的单调增区间即求函数的单调增区间即求函数y y=sin=sinx x的单调增区间。的单调增区间。题型题型 6 6：三角函数的奇偶性：三角函数的奇偶性例例 1414 分分析析：判判断断奇奇偶偶性性首首先先应应看看定定义义域域是是否否关关于于原原点点对对称称，然然后后再再看看f f（x x）与与f f（x x）的的关关系系头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头。解析：定义域为解析：定义域为 R R，又，又f f（x x）+f f（x x）=lg1=0=lg1=0，即即f f（x x）=f f（x x），f f（x x）为奇函数。）为奇函数。点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。例例 1515 答案：答案：，kk（k kZZ）；或者；或者，+kk（k kZZ）；或者；或者，+kk（k kZZ）22解析：当解析：当=2=2kk，k kZZ 时，时，f f（x x）=sin=sinx x是奇函数。当是奇函数。当=2=2（k k+1+1），k kZZ 时时f f（x x）=sinsinx x仍是奇函数。仍是奇函数。当当=2=2kk+，k kZZ 时，时，f f（x x）=c cososx x，或当，或当=2=2kk，k kZZ 时，时，f f（x x）=c cososx x，f f（x x）都是偶函数）都是偶函数.所以所以22和和都是正确的。无论都是正确的。无论为何值都不能使为何值都不能使f f（x x）恒等于零。所以）恒等于零。所以f f（x x）不能既是奇函数又是偶函数。）不能既是奇函数又是偶函数。和和都是假都是假命题。命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k kZZ 不能不写，否则不给分，本题的不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。答案不惟一，两个空全答对才能得分。例例 1616 分析：将原函数化成分析：将原函数化成y y=A Asinsin（xx+）+B B的形式，即可求解。的形式，即可求解。解析：解析：y y=sin=sin6 6x x+c cosos6 6x x=（sinsin2 2x x+c cosos2 2x x）（sinsin4 4x xsinsin2 2xcxcosos2 2x x+c cosos4 4x x）=1=13sin3sin2 2xcxcosos2 2x x=1=1sinsin2 22 2x x=c cos4os4x x+。438385T T=。2当例当例 1717 解析：解析：D D；因为函数；因为函数g g（x x）=c cososx x的最大值、最小值分别为的最大值、最小值分别为 1 1 和和1 1。所以。所以y y=c cososx x1 1 的最大值、最小的最大值、最小31值为值为和和。因此。因此M M+m m=2 2。c cos4os4x x=1=1，即，即x x=（k kZZ）时，）时，y ym maxax=1=1。32342k例例 1414设设的周期的周期，最大值，最大值，)0(cossin)(xbxaxfT4)12(f（1 1）求）求、的值；的值；ab（2 2）。的值终边不共线，求、的两根，为方程、若)tan(0)(xf解析：解析：(1)(1)，)sin()(22xbaxfT2又又 的最大值。的最大值。)(xf，且，且 ，4)12(f224ba 122cosb122sina4由由 、解出解出 a a=2=2 ,b b=3.=3.(2)(2)，)32sin(42cos322sin2)(xxxxf0)()(ff ，)32sin(4)32sin(4，或或 ，32232k)32(232k即即 (共线，故舍去共线，故舍去)，或或 ，k、6k 。33)6tan()tan(k)(Zk 点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例例 1818 解析：解析：B B；。221221)4sin(221cossin21xxxy