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三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；
的递增区间是，递减区间是，
的递增区间是，
3．函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。
5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：
五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）

。
题型2：三角函数图象的变换
例2．试述如何由y =sin（2x+）的图象得到y =sinx的图象。

例3．（2003上海春，15）把曲线ycosx +2y－1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A．（1－y）sinx + 2y－3=0 B．（y－1）sinx + 2y－3=0
C．（y +1）sinx + 2y + 1=0 D．－(y+1)sinx + 2y +1=0
题型3：三角函数图象的应用
例4．（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。图

（2）（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（ ）
A．（，）∪（π，） B．（，π）
C．（，） D．（，π）∪（，）
题型4：三角函数的定义域、值域
例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y =lgsin（cosx）的定义域；

题型5：三角函数的单调性
例6．求下列函数的单调区间：
（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。

题型6：三角函数的奇偶性
例7．（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：
①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使f（x）是奇函数；
④对任意的，f（x）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。

题型7：三角函数的周期性
例8．设的周期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）。

题型8：三角函数的最值
例9．（2000京、皖春理，10）函数y＝的最大值是（ ）
A．－1 B．＋1 C．1－ D．－1－

例10．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；

例11．（2003京春，18）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。

题型5：三角函数的单调性
例12．求下列函数的单调区间：
（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。
分析： （1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。
（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。

例13．（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ）
A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

例14．判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。
例15．（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：
①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使f（x）是奇函数；
④对任意的，f（x）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。

题型7：三角函数的周期性
例16．求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。
题型8：三角函数的最值

例17．（2003京春文，2）设M和m分别表示函数y=cosx－1的最大值和最小值，则M+m等于（ ）
A． B．－ C．－ D．－2

答案：
例1．解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D
例2解析：y =sin（2x + ）

另法答案：
（1）先将y =sin（2x+）的图象向右平移 个单位，得y=sin2x的图象；
（2）再将y =sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；
（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。
例3解析：将原方程整理为：y =，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y =－1为所求方程.整理得（y+1）sinx +2y+1=0.
图
点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项。

例4解析：根据图象得A=2，T=π－（－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），
又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。
根据条件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z），∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。
∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
解析：C；
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。
例5分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。
点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。
例6分析：（1）要将原函数化为y=－sin（x－）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。
故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。
（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。

例7答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）
解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。
点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。例8解析：(1) ， ， ，
又 的最大值。， ① ，且 ②，由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) ， ，
， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， 。
点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
例9解析：B；
例10分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。
又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。
故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。
点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。
例11解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，
因为f（x）的定义域关于原点对称，
且f（－x）==f（x）。
所以f（x）是偶函数。
又当x≠（k∈Z）时，
f（x）=。
所以f（x）的值域为{y|－1≤y<或<y≤2}。
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
例12解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。
故由2kπ－≤－≤2kπ+。
3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；
由2kπ+≤－≤2kπ+。
3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。
∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。
（2）y=－|sin（x+）|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，减区间为［kπ－，kπ+］。
例13解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。
题型6：三角函数的奇偶性
例14分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（－x）的关系。
解析：定义域为R，又f（x）+f（－x）=lg1=0，
即f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数。
点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。
例15答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）
解析：当=2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1）π，k∈Z时f（x）=－sinx仍是奇函数。当=2kπ+，k∈Z时，f（x）=cosx，或当=2kπ－，k∈Z时，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。
点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。
例16分析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解。
解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）
=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+。
∴T=。
当例17解析：D；因为函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值为－和－。因此M+m=－2。cos4x=1，即x=（k∈Z）时，ymax=1。
例14．设的周期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）。
解析：(1) ， ， ，
又 的最大值。
， ① ，且 ②，
由 ①、②解出 a=2 , b=3.
(2) ， ，
，
， 或 ，
即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，
。
点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
例18解析：B；。