三角函数图像与性质知识点总结和经典题型.doc

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。5由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。四典例解析题型1：三角函数的图象例1（2000全国，5）函数yxcosx的部分图象是（ ）。题型2：三角函数图象的变换例2试述如何由y =sin（2x+）的图象得到y =sinx的图象。例3（2003上海春，15）把曲线ycosx +2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A（1y）sinx + 2y3=0 B（y1）sinx + 2y3=0C（y +1）sinx + 2y + 1=0 D(y+1)sinx + 2y +1=0题型3：三角函数图象的应用例4（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。图（2）（2002全国文5，理4）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范围为（ ）A（，）（，） B（，）C（，） D（，）（，）题型4：三角函数的定义域、值域例5（1）已知f（x）的定义域为0，1，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y =lgsin（cosx）的定义域；题型5：三角函数的单调性例6求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。题型6：三角函数的奇偶性例7（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使f（x）是奇函数；对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立。题型7：三角函数的周期性例8设的周期，最大值，（1）求、的值；（2）。题型8：三角函数的最值例9（2000京、皖春理，10）函数y的最大值是（ ）A1 B1 C1 D1例10（1）已知f（x）的定义域为0，1，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；例11（2003京春，18）已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。题型5：三角函数的单调性例12求下列函数的单调区间： （1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。 分析： （1）要将原函数化为y=sin（x）再求之。 （2）可画出y=|sin（x+）|的图象。例13（2002京皖春文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（ ）A2k，2k（kZ）B2k，2k（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k（kZ）例14判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。例15（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使f（x）是奇函数；对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_.因为当=_时，该命题的结论不成立。题型7：三角函数的周期性例16求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值。题型8：三角函数的最值例17（2003京春文，2）设M和m分别表示函数y=cosx1的最大值和最小值，则M+m等于（ ）A B C D2答案：例1解析：因为函数yxcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x（0，）时，yxcosx0。答案为D例2解析：y =sin（2x + ）另法答案：（1）先将y =sin（2x+）的图象向右平移 个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y =sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。例3解析：将原方程整理为：y =，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y =1为所求方程.整理得（y+1）sinx +2y+1=0.图点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C选项。例4解析：根据图象得A=2，T=（）=4，=，y=2sin（+），又由图象可得相位移为，=，=.即y=2sin（x+）。根据条件=2sin（），=2k+(kZ)或=2k+（kZ），x=4k+（kZ）或x=4k+（kZ）。所有交点坐标为（4k+）或（4k+）（kZ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。解析：C；解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图1可得C答案。例5分析：求函数的定义域：（1）要使0cosx1，（2）要使sin（cosx）0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ）。所求函数的定义域为xx2k，2k+且x2k，kZ。（2）由sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）。又1cosx1，0cosx1。故所求定义域为xx（2k，2k+），kZ。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。例6分析：（1）要将原函数化为y=sin（x）再求之。（2）可画出y=|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（）=sin（）。故由2k2k+。3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），为单调增区间。递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k，k+。例7答案：，k（kZ）；或者，+k（kZ）；或者，+k（kZ）解析：当=2k，kZ时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1），kZ时f（x）=sinx仍是奇函数。当=2k+，kZ时，f（x）=cosx，或当=2k，kZ时，f（x）=cosx，f（x）都是偶函数.所以和都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意kZ不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。例8解析：(1) ， ， ，又 的最大值。， ，且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， 。点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例9解析：B；例10分析：求函数的定义域：（1）要使0cosx1，（2）要使sin（cosx）0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ）。所求函数的定义域为xx2k，2k+且x2k，kZ。（2）由sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）。又1cosx1，0cosx1。故所求定义域为xx（2k，2k+），kZ。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。例11解析：由cos2x0得2xk+，解得x，kZ，所以f（x）的定义域为x|xR且x，kZ，因为f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）=f（x）。所以f（x）是偶函数。又当x（kZ）时，f（x）=。所以f（x）的值域为y|1y或y2。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。例12解：（1）y=sin（）=sin（）。故由2k2k+。3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），为单调增区间。递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k，k+。例13解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。题型6：三角函数的奇偶性例14分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（x）的关系。解析：定义域为R，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数。点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。例15答案：，k（kZ）；或者，+k（kZ）；或者，+k（kZ）解析：当=2k，kZ时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1），kZ时f（x）=sinx仍是奇函数。当=2k+，kZ时，f（x）=cosx，或当=2k，kZ时，f（x）=cosx，f（x）都是偶函数.所以和都是正确的。无论为何值都不能使f（x）恒等于零。所以f（x）不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意kZ不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。例16分析：将原函数化成y=Asin（x+）+B的形式，即可求解。解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+。T=。当例17解析：D；因为函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和1。所以y=cosx1的最大值、最小值为和。因此M+m=2。cos4x=1，即x=（kZ）时，ymax=1。例14设的周期，最大值，（1）求、的值；（2）。解析：(1) ， ， ，又 的最大值。， ，且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， 。点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例18解析：B；。