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(完整版)“新定义”型中考试题例析
“新定义”型中考试题例析
绍兴市文理附中 冯梅
纵观近几年全国各地中考数学试题，“新定义”型试题已越来越受到各地命题者的青睐.在近几年的绍兴中考数学试卷中，每年都有一个有关“新定义”型的试题,它已成为绍兴中考数学试题的一大特色．
“新定义”型试题是指在试题中定义新概念、新公式、新运算、新法则、新方法,这些都是同学们从未接触过的，要求同学们在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟"，现学现用,其目的是考查同学们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养同学们自主学习、主动探究的数学品质，在一定程度上促进教学方法和学习方法的转变．基于这些原因，对新概念试题进行深层次、多方位的研究，并在毕业复习中对同学们有意加强这方面的训练,就显得尤为重要．
1．定义一种运算
例1(2011湖南湘潭）规定一种新的运算：，则 ．
解：把代入式子计算即可：．
点评:解题关键是弄清新定义运算的转化方法，根据题意把的值代入，按规定计算．
2．定义一个规则
例2(2012四川德阳)为确保信息安全,信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文对应密文， .例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16。当接收方收到密文14,9，23，28时,则解密得到的明文为（ )
A．4,6，1，7 B．4，1,6,7 C．6，4，1,7 D．1，6，4,7
解:根据对应关系，可以求得；代入得；在代入得；代入得．故选C．
点评：本题的实质是考查多元方程组的解法．从简单的一元一次方程入手，通过代入消元,求出各个未知量，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．
3．定义一种变换
例3（2010山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( ）
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
点评:本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键．
4．定义一类数
例4（2008浙江绍兴)定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2)设点分别为抛物线与轴的交点,其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．
解：（1）特征数为的一次函数为，
，．
（2)抛物线与轴的交点为,
与轴的交点为．
若，则；
若，则．
当时，满足题设条件．
此时抛物线为．
它与轴的交点为，与轴的交点为，
一次函数为或，
特征数为或．
点评：本题考查学生根据一次、二次函数的性质，根据题意，分析解决问题的能力．
5．定义一个函数
例5（2007浙江绍兴）设关于的一次函数与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数．
(1)当时,求函数与的生成函数的值；
（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．
解:（1）当时,
(2）点在此两个函数的生成函数的图象上，
设点的坐标为，
∵，
∴当时,,
，
即点在此两个函数的生成图象上．
点评：此题是一道新定义信息题，难度不大，考查了同学们的阅读理解和对新知识的接受能力，只要仔细阅读,就可根据相关函数知识作出解答．
6．定义一个公式
例6（2009湖南益阳)阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)".我们可得出
一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图1
图2
x
C
O
y
A
B
D
1
1

解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4）,交x轴于点A(3,0），交y轴于点B。
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及；
（3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.
解：（1）设抛物线的解析式为：
把A(3，0）代入解析式求得
所以
设直线AB的解析式为：
由求得B点的坐标为
把，代入中
解得:,所以
（2）因为C点坐标为（１,4)
所以当x＝１时，y1＝4,y2＝2，所以CD＝4-2＝2
（平方单位)
（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则
由S△PAB=S△CAB,得：
化简得：，解得，
将代入中，解得P点坐标为
点评：本题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式，并要求现学现用，总体来说本题难度不大．
7．定义一个图形
7。1定义“点”
例7（2012绍兴）联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心．
举例：如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上,且PD=AB，求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5，AB=3,准外心P在AC边上，试探究PA的长．

应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，
与已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC=,
①若PB=PC，设PA=x，则，∴，即PA=，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或．

点评：这是一道新概念试题，解答本题的关键是理解新概念的含义，然后结合有关图形性质分情况进行计算验证．
7.2定义“线”
例8（2012甘肃兰州）如图,定义：若双曲线y＝(k＞0)与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点,则线段AB的长度为双曲线y＝（k＞0）的对径．
（1）求双曲线y＝的对径；
(2)若双曲线y＝(k＞0)的对径是10,求k的值;
(3）仿照上述定义，定义双曲线y＝（k＜0)的对径．
解：过A点作AC⊥x轴于C,如图,
（1)解方程组,得，
∴A点坐标为（1，1)，B点坐标为(－1，－1)，
∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝，
∴AB＝2OA＝,∴双曲线y＝的对径是;
（2）∵双曲线的对径为，即AB＝,OA＝,
∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∴点A坐标为（5，5)，
把A（5，5）代入双曲线y＝ （k＞0)得k＝5×5＝25，
即k的值为25；
(3）若双曲线y＝（k＜0)与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，
则线段AB的长称为双曲线y＝（k＞0）的对径．
点评：本题考查了反比例函数综合题，题中的对径即为线段AB的长度；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍;强化理解能力．
7.3定义“角”
例9(2012江苏南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A,B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．
（1)已知∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．
①若AB是⊙O的直径，则∠APB= ；
②若⊙O的半径是1，AB=,求∠APB的度数。
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心做一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合）,连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
解：（1）①∵AB是⊙O的直径,∴∠APB=90°.
②∵OA=OB=1， AB=，∴OA2+OB2=1+1=2=AB2
∴△AOB是直角三角形
∴∠AOB=90°。
∴∠APB=∠AOB=45°

图1 图2
（2）当P在优弧AB上时，如图1，这时∠MAN是△PAN的外角，
因而∠APB=∠MAN-∠ANB;
当P在劣弧AB上时，如图2，这时∠APB是△PAN的外角,
因而∠APB=∠MAN+∠ANB；
点评：本题以新概念入手，有一种新意,但其知识点就是圆周角与圆心角之间的关系，只是说法不同而已,还用到直径所对圆周角为直角，勾股定理等知识;第二问主要看考生能否周全考虑,自己要画出图形来帮助分析，结合图形很容易得到正确结论．
7.4定义“三角形”
A
y
O
B
x

例10（2010浙江绍兴)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形。例如，图中的一次函数的
图象与x,y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
(1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16， 求此三角形面积．
解：(1） ∵ 直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4，0)，与y轴交点坐标为(0,3),
∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4，5。
(2） 直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），
当b>0时，,得b =4，此时，坐标三角形面积为；
当b<0时，，得b =－4,此时，坐标三角形面积为。
综上，当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时，面积为．
点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用,本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础．
7。5定义“四边形”
例11(2007鄂尔多斯）我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图1,已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；

图1

图2

（3)如图2，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，．
求证:，即四边形是勾股四边形．
解：（1)正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可)

(2）答案如图所示．或．

（3）证明：连结

，
，

，即四边形是勾股四边形
点评：本题考查勾股定理，及考查旋转的性质:旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
从以上实例可以看出，解决这类问题首先应准确理解题目中定义的新概念、新公式、新运算、新法则、新方法，充分挖掘其本质，并从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则和解题思路，最后结合已有的知识加以解决．这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用．为了能使学生很好地解答这类问题，在平时的教学中,教师应当多渗透这类试题，不断提高学生的阅读理解能力、数学学习能力和应用所学知识解决问题的能力．

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