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数列求与方法归纳.doc

上传人:精**** 文档编号:2520015 上传时间:2024-05-31 格式:DOC 页数:6 大小:306KB
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1、 数列求和一、直接求和法(或公式法)掌握一些常见的数列的前n项和:,1+3+5+(2n-1)=,等. 例1 求解:原式由等差数列求和公式,得原式变式练习:已知,求 的前n项和.解:1二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和.例2 求的和解:设则两式相加,得 三、裂项相消法常见的拆项公式有: ,等.例3 已知,求的和解:, 小结:如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差,即,则有.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习:求数列,的前n项和S.解:=)Sn=四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导,对

2、于形如的数列,其中为等差数列,为等比数列,均可用此法.例4 求的和解:当时,; 当时,小结:错位相减法的步骤是:在等式两边同时乘以等比数列的公比;将两个等式相减;利用等比数列的前n项和公式求和.变式练习:求数列a,2a2,3a3,4a4,nan, (a为常数)的前n项和。解:(1)若a=0, 则Sn=0 (2)若a=1,则Sn=1+2+3+n=(3)若a0且a1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nan , aSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= Sn= 当a=0时,此式也成立。Sn =五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数

3、和,可将其分成几部分来求.例5 求数列,的前项和变式练习:求数列的前n项和解:数列求和基础训练1.等比数列的前项和S2,则2.设,则 .3.4. = 5. 数列的通项公式,前n项和 6 . 的前n项和为 数列求和提高训练1数列an满足:a11,且对任意的m,nN*都有:amnamanmn,则 ( A )ABCD解:amnamanmn,an1ana1nan1n,利用叠加法得到:, 2数列an、bn都是公差为1的等差数列,若其首项满足a1b15,a1b1,且a1,b1N*,则数列前10项的和等于 ( B )A100B85C70D55解:ana1n1,bnb1n1 a1bn1a1(b1n1)1a1b

4、1n25n2n3 则数列也是等差数列,并且前10项和等于: 答案:B.3设m=12+23+34+(n-1)n,则m等于 ( A )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)3解:因为 a n = n2 - n.,则依据分组集合即得. 答案;A.4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17+S3350等于 ( A )A.1 B.-1 C.0 D.2解:对前n项和要分奇偶分别解决,即: Sn= 答案:A5设an为等比数列,bn为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,若数列cn是1,1,2,则cn的前10项和为 ( A ) A.978 B.557 C.467 D.979解

5、由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978. 答案:A6. 若数列an的通项公式是an(1)n(3n2),则a1a2a10 ( A )()A15 B.12 C12D.15解析 A设bn3n2,则数列bn是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.7 一个有2001项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 解: 设此数列an,其中间项为a1001,则S奇=a1+a3+a5+a200

6、1=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001. 答案: 8 若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn,则a= ,b= ,c= . 解: 原式= 答案:9已知等差数列an的首项a11,公差d0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项(1)求数列an与bn的通项公式;(2)设数列cn对任意自然数n均有成立求c1c2c3c2014的值解:(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0) 解得d2,an2n1,可得bn3n1(2) 当n1时,c13; 当n2时,由,得cn23n1, 故 故c1c2c3c20143232322320023201510. 设数列an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S77,S1575,Tn为数列 的前n项和,求Tn.解析 设等差数列an的首项为a1,公差为d,则Snna1n(n1)d.S77,S1575,即解得a1(n1)d2(n1) , 数列是首项为2,公差为的等差数列 Tnn2n.11. 已知数列an的首项a1,an1 (1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和Sn.解析 (1)an1,1,又a1,10,10,数列是以为首项,为公比的等比数(2)由(1)知1即1n.设Tn.则Tn , 得Tn1,Tn22.又123n, 数列的前n项和Sn2.6 / 6

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