新高考抽象函数试题的解法探讨和教学启示.pdf

2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究9新高考抽象函数试题的解法探讨和教学启示广东省中山市华侨中学(528400)魏钰婷摘要 根据近三年新高考试卷中有关抽象函数的试题分析可以看出,抽象函数是考查函数性质、图象等内容的重要载体.学生可以利用赋值、特殊函数举例、抽象性质分析等方法突破重难点.试题考查了分析问题和解决问题的能力,也考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.试题关注基础性的同时更强调综合性和创新性,充分体现了高考评价体系对核心素养、关键能力和必备知识的要求.因此在这部分内容教学时,教师应当引导学生结合实例探究函数性质、针对易错辨析函数性质、抽象迭代归纳函数性质、借助图象理解函数性质.关键词 抽象函数;新高考;函数性质抽象函数是高考中的热点,在近几年的新高考试卷中都能看到它的“身影”.抽象函数由于没有具体的函数解析式作为载体,理解和研究起来比较困难.解题时需要学生具备严谨的逻辑推理能力、丰富的想象力和灵活的知识运用能力.以下对近三年来新高考试卷中的三道抽象函数问题进行解法探讨,寻找突破这一重点难点的方法和规律.一、试题分析例 1(2023 年新高考 卷第 11 题)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则().A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0 为 f(x)的极小值点解析思路一.利用赋值法对选项 A，B，C 进行判断.令 x=y=0,则 f(0)=0,故 A 正确;令 x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),得 f(1)=0,故 B 正确;为了判断奇偶性,令 y=1,则 f(x)=f(x)+x2f(1),需要求出f(1),令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),即 f(1)=0,从而 f(x)=f(x),又因为 f(x)的定义域为 R,所以 f(x)为偶函数,故 C 正确;接着利用特殊函数举反例排除 D 选项,显然函数 f(x)=0 符合题设条件,但此时f(x)无极值,故 D 错误;故本题正确答案为 A，B，C.思路二.对于 D 选项也可以举出另一些更加复杂的函数作为反例,分析如下:当 x2y2=0 时,f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以 x2y2,得f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2.构造函数 g(x)=f(x)x,则 g(xy)=g(x)+g(y),显然y=lnx 满足该性质,但若要使得定义域为 R,可设g(x)=ln|x|,x=0,0,x=0,则 f(x)=x2ln|x|,x=0,0,x=0.当 x 0 时,f(x)=x2lnx,则 f(x)=x(2lnx+1).解(1)f(x)=lnx x+a,令 g(x)=lnx x+a,则g(x)=1x1=1 xx 0,得0 x 0,得 a 1,又 f(ea)=lnea ea+a=ea 1),则(a)=2 ea 0,(a)在(1,+)上 递 减,故(a)(1)=2 e 1 时,f(x)有两个零点 x1,x2,故 a 的取值范围为(1,+).(2)由(1)分析不妨设 0 x1 1 x2,且 a=x1 lnx1=x2 lnx2,这里的 x1,x2为 a 的函数且x2 x1lnx2 lnx1=1,由对数平均不等式有:1=x2 x1lnx2 lnx1 2.设(a)=f(x1)=x1lnx112x21+(a 1)x1,则(a)=(lnx1 x1+a)x1+x1.因为f(x1)=lnx1x1+a=0,故(a)=x1,同理(a)=f(x2),则(a)=x2,设 h(a)=f(x1)+f(x2)2a+3,则h(a)=x1+x2 2 0,即 h(a)在(1,+)上递增,从而h(a)h(1)=0.从上述问题看出,对于一些比较复杂的多变量的问题,我们不妨从隐函数的角度去思考求解有时会更容易(当然不是所有的极值点偏移问题采用这种方法都容易),这样可以加深对函数概念的理解,提高学生的思维水平.参考文献1 钟文体.从反函数观点看极值点偏移问题 J.中学数学教学,2022(06):18-20.10中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)当 x (0,e12)时 f(x)0,a=1)(指数函数)f(x)=0,f(x)=1(常函数)f(xy)=f(x)+f(y)f(x)=logax(a 0,a=1)(对数函数)f(x)=0(常函数)f(xy)=f(x)f(y)f(x)=xa(幂函数函数)f(x)=0,f(x)=1(常函数)f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),g(x)=cosxf(x)=sinx(正弦函数)f(x)=0(常函数)(二)针对易错辨析函数性质理解函数的定义、熟练地进行运算是学习抽象函数的基础.学生在函数的学习中常常因为概念理解不清而出现错误,比如容易将函数 f(x+1)是奇函数错误地翻译成 f(x+1)=f(x+1),此时教师应提醒学生抓住函数“对应”的本质,设 g(x)=f(x+1),若 g(x)为奇函数,则 g(x)=g(x),也即 f(x+1)=f(x+1).学生也容易因为对充要条件理解不到位而出现运算错误,比如“函数 f(x)满足性质 f(x+y)+f(x y)=2f(x)f(y),则f(0)=1”是一个错误的命题.但学生在令 x=y=0 后得到 2f(0)=2f(0)f(0),很容易将两边的 f(0)约去而得到f(0)=1.同时学生还容易因为联想到函数 f(x)=cosx 而认为 f(0)=1 是正确的.此时教师应该指出 f(x)=0 也能满足本题的条件,但 f(0)=0.(三)抽象迭代归纳函数性质学习抽象函数要善于归纳函数性质,将相关知识点进行梳理才能形成系统的知识框架.教师在函数性质教学时应该有意识地引导学生对性质进行推广,理解周期性的多种表现形式,洞悉对称性和周期性之间的联系等.例如对于周期性,有如表 2 的推广.表 2关系周期关系周期f(x+T)=f(x)Tf(x+T)=f(x)2Tf(x+a)=f(x+b)|a b|f(x+T)=1f(x)2Tf(x+T)=1f(x)2Tf(x+T)=1 f(x)1+f(x)2Tf(x+T)=1+f(x)1 f(x)4Tf(x+2a)=f(x+a)f(x)6af(x)关于 x=a 对称,f(x)关于 x=b 对称2|a b|f(x)关于 x=a 对称,f(x)是偶函数2|a|f(x)关于(a,0)对称,f(x)关于(b,0)对称2|a b|f(x)关于(a,0)对称,f(x)是奇函数2|a|f(x)关于 x=a 对称,f(x)关于(b,0)对称4|a b|f(x)关于(a,0)对称,f(x)是偶函数4|a|12中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)对 2023 年新高考 I 卷数学试卷第 11 题的探究与思考佛山市顺德区乐从中学(528315)戴海燕摘要 一直以来,抽象函数问题是高考的热点难点,高中阶段的抽象函数是对教材中的几个具体的基本初等函数的对应概括,同时,部分抽象函数具有数学史背景.本文通过对2023 年新高考 卷第 11 题的剖析,探讨柯西方程在解决一类抽象问题中的应用价值,挖掘研究高中抽象函数问题的有效路径.关键词 抽象函数;柯西方程;运算法则1 真题的解答与反思1.1 真题呈现题目(2023 年高考全国 卷第 11 题)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则().A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0 为 f(x)的极小值点解 令 x=y=0,得 f(0)=0,故 A 正确.令 x=y=1,得 f(1)=0,故 B 正确.令 x=y=1,得 f(1)=0,令y=1,得 f(x)=f(x),又 f(x)定义域为 R,故 C 正确.对于选项 D 的研究可以有以下两个参考思路.思路 1.不妨设 f(x)=0,显然符合题设条件,此时 f(x)无极值,D 错误.思路 2.设函数f(x)=x2ln|x|,x=00,x=0=x2lnx,x 0,0,x=0,x2ln(x),x 0,当 x (1,0)(0,1)时,易知 f(x)0=f(0),所以 x=0不是 f(x)极小值点,D 错误.1.2 解题反思对于选项 D,从公平性的角度考虑,作为一道多项选择题,不会出现四个选项都正确的情况,本题中选项 A,B,C 已均为正确选项,则 D 一定是错误选项.对上述思路 1 的争议在于,2019 年人教 A 版选择性必修第二册没有明确常数函数有无极值点,而根据 2021 年人教数学 B 类微积分选修课程用书及一些大学数学分析教材对极值点的定义,x=0 既是常数函数 f(x)=0 的极大值点也是其极小值点1.作为倒数第 2 题的多项选择题,应更侧重考查学生的综合能力,f(x)=0 这个特例对问题的研究显然是没有触及核心的,f(x)=x2ln|x|,x=0,0,x=0比 f(x)=0 具有更丰富的性质.那么,方程 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)的解函数f(x)=x2ln|x|,x=0,0,x=0是如何设计出来的呢?该类函数方程背后有什么样的“源与流”?学生应具备什么样的数学积累和数学素养?本文尝试对这几个困惑作一些粗浅的探究.2 函数模型的构造2.1 运算视角发现可加性当 x2y2=0 时,对已知等式两边同时除以 x2y2,得f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2.令 g(x)=f(x)x2,则有 g(xy)=g(x)+g(y).通过运算发现这个“积的函数值等于函数值的和”的特征,有助于“发现该函数是对数型函数”这一目标的(四)借助图象理解函数性质抽象函数问题通常较为灵活,教师要引导学生在同类型问题的比较中总结和发现规律,要注重方法的运用和思路的拓展,可以积累一些解题技巧,比如赋值法、特殊函数举例法、抽象性质推导法等.这些方法共同都指向了研究函数的两条路径,即代数法和图象法.通过函数图象,可以清晰地看到函数的几何特征和数量特征,比如函数是否过定点、是否有周期规律、是否具有对称性质、在不同区间的单调性又是如何.当函数的性质在数与形的结合中生动直观地展现在眼前了,抽象函数也不再抽象.参考文献1 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020年修订)M.北京:人民教育出版社,2020.2 季峰.多解思维链接高考变式拓展 J.中学数学,2023(9):71-72.3 胡潇,李昌成.研究 2022 年全国高考抽象函数问题 J.数理化解题研究,2022(31):61-63.