一道集训队试题及相关问题.pdf

下面给出题的解答.从而,f(n,x)+g(n,1-x)=1.有(kx/+/k(1-x)/=1.与式个矛盾由于x是无理数，易得对任意正整数k，命题与解题2023年第4期一道集训队试题及相关问题王惠萍赵斌？2周毅博（1.安徽省芜湖市中江小学，2 410 0 02.浙江省诸暨市海亮高级中学，3118 0 0)摘要：从一道集训队试题出发探讨对于任意一个无理数x，其前若干个正整数倍的小数部分的取值情况.由题目出发，引出一系列与小数部分有关的存在性问题，并给出有关此类证明存在性问题的解决和处理方法。关键词：无理数；小数部分；稠密性中图分类号：0 12 2文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 4-0 0 15-0 3引用格式：王惠萍，赵斌，周毅博.一道集训队试题及相关问题J.中等数学，2 0 2 3（4)：15-17.2023年中国国家集训队选拔考试中有这样一道题：题1是否存在正无理数，使得至多存在有限个正整数n，满足对任意整数1kn，都有kxn+1注：1=x-x，x 表示不超过实数x的最大整数为方便起见，在本文中对任意无理数x及正整数n，定义符号：f(n,x)=minlixf,(2xl,.,inxht,g(n,x)=max 1/x/,(2xb,.,inx.解不存在这样的正无理数x.为此只需证明：对任意无理数x（这里x是正数的条件是不需要的），都存在无限多1个正整数n，满足f(n,)n+1由熟知结论inx在区间0,1)上的稠密性及/nx0,知nx/关于n不能取到最小值.故存在无限多个正整数n，使得f(n,x)f(n+1,x),即(kx/(n+1)x(k=1,2,.,n).1从而，kxn+1反证法。假设上式不成立,则存在k(1kn)满足1i(n+1)x/kx/n+1=(n+1)/kx/kx/.至此完成了证明。做完此题笔者不禁想起了多年前和韩京俊老师讨论过的一道题：题2 对于任意无理数x，是否一定存在无穷多个正整数n,使得(nxl？若结论成n立，请给出证明；若结论不成立，请给出反例。这两道题看起来有点关系，但关系似乎收稿日期：2 0 2 3-0 6-0 2作者简介：王惠萍（198 9一），女，安徽巢湖人，二级教师，主要从事数学教学与数学教育研究.存在无穷多个正整数至此已经证明n+1显然等号取不到，故f(n，x)n+1结合引理有f(n,x)16中等数学也不太明确（笔者曾以为这两个问题没有强弱之分）.但现在用题1来解决这道题.证明如下更强的命题.题3对于任意无理数x，一定存在无穷多个正整数n，使得inxn+1证明在完成证明之前引人一个引理，该引理本质就是Dirichlet的一个小加强.引理给定有理数及正整数n，则存在正整数k(In1k/n+1n+1证明反证法。若引理结论不成立,则对任意k(1k1nn)有/kxlEn+1n+1将该区间等分成n-1个,即1n-11+17n(n+In+1)1-1n+1“n+1由抽屉原理可得,存在 jn及l(111+1n-1),使得lix/、1 j x/En+1n+11故ljx/-lixn+111 jx-ix-jx+ix I n+11(j-i)xn+1n+1即得矛盾，从而反证假设不成立，故引理得证.由引理知1或g(n,x)nf(n,x)n+1n+1而由题1得，对于任意无理数x，存在无穷多个正整数几，使得1f(n,1-x)n+1将替换成1-x，使用题1的结论，即ng(n,x)等号显然取不到，故n+1ng(n,x)n+11n,使得f(n,x)n+1这离要证的题3只差一小步了.可以用反证法.若只有有限多个正整数n使得/nx1设其为nn,.n,.再取n足够大,n+111保证：minin,xl,且f(n,x)即存n+11itn+1在正整数k(1kn),使得11(hx/n+1k+1于是,kEIn,n2,n,l.1从而，与满足nx0，一定存在无穷多个正整数几，使得1(nxn+C当然关于题2，也可以思考这样的一个问题，系数1是否是最佳的？于是提出如下问题：题5丝给定正实数1.证明：存在实数x，使得对于任意正整数n，都有nxn+2k).2023年第4期证明引理给定正整数k，则当dE(1,2,2k-1时,方程(k2+2k)u?-=d无整数解(u,u).证明采用反证法.若有解,则易知一定有正整数解.记(uo,o)为满足u最小的方程那组正整数解.注意到，-d=(u+/k?+2kuo)(vo-/k?+2kuo)=(0+/k2+2kuo)(k+1-/k2+2h).(-/k2+2huo)(h+1+/k2+2h)=(k+1)o-(k2+2k)uo+/k2+2k.(k+1)uo-vo)(k+1)vo-(k2+2k)uo-/k?+2k(k+1)uo-Vo)=(k+1)o-(k2+2 k)u)(k2+2 k)(k+1)uo-vo)2.于是,(I(k+1)uo-Vo 1,1(k+1)o-(k2 u。l)也是方程的一组正整数解.若(k+1)uo-v0,则(k+1)ugvo.故 d=(k2+2k)ug-%g(b+2h)ug(k+1 u20.又由u.的最小性知(k+1)uo-vouo=kuovo.则 2 hid=(b2+2h)u/g-t%(k2+2k)u-hug=2hug2k,矛盾.从而，方程无解.引理得证.取8,x=Vk?+2h，并记k+1nVk?+2k=l.由引理知n(k+2k)-2k.又inVk?+2k/=nVk?+2k-ln(k2+2k)-22knVa+2k+l2n/k2+2kn(k+1)n题5得证.题5看解答，可能会有读者觉得是简单题.事实上思维过程并不容易.可能需要对如V2n/1V3n/(nEN)这类2/2nV3n结论有足够深的理解才能联想到题中的引理，从而顺利完成题5的证明.最后，关于题1可以提出相关问题，比如：题6 是否存在正无理数，使得至多存在有限个正整数n,满足对任意整数1kn，都有1ka/!?n解这样的是存在的解这样的x是存在的。令ag=1,a=2,a2=3,an+2=(an+Ian-1.ao)-a,(nl,nE N).易知：（1)a o,a2,两两互素（使用数学归纳法即可）；(2)a,I(ana+I+an-I)(nl,n E N).81记x=a;ai+1i=0则对任意正整数m3,设a,mp+1.注意到，10王光明，余文娟，廖晶，王兆云.高效率数学学习高中生的元认知特征及其教学意义J.教育科学研究，2017(4):46-53,61.11王光明.高效数学教学行为的特征.数学教育学报,2 0 11(1):35-38.12王光明，王迎.高效与低效数学课堂导人的案例比较J.教学与管理,2 0 11(1)：49-51.13Schoenfeld,A.H.Reflections on problem solvingtheory and practiceJ.Mathematics Enthusiast,2013(10):9-34.14第2 1届中国女子数学奥林匹克J.中等数学，2 0 2 3(3):4046.15第19届中国东南地区数学奥林匹克J.中等数学，2023(1):43-55.16唐绍友.论数学抽象素养的培养途径J.数学通报，2021(10):33-37.172022年全国中学生数学奥林匹克（决赛）J.中等数学,2 0 2 3(2):34-40.18 波利亚著,刘景麟，曹之江译.数学的发现（第一卷)M.呼和浩特：内蒙古人民出版社，197 9：311-315.k-1110pak=pakPi=0a;i+1i=ka;i+1Pak+1-1k-11这与pak9是整数矛盾，即a.;+1)Pi=0得x为无理数.从而构造出满足条件的无理数.关于这个问题我们开始是没有解决的，以上做法来自2 0 2 3年中国国家集训队队员、上海市上海中学的王淳稷同学.另外浙江大学的王枫教授还指出，满足题目条件的x是零测集.