北师大数学七年级下册第一章乘法公式(提高).doc

乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式； ；.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(21)()( )()()()1【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现21与21，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（21），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】 解：原式(21)(21)( )()()()() 1 ()( )( )()()()1 11【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力举一反三：【变式1】计算： (1)(2)()( )( )( )【答案】解：(1)原式(3)(3)()()() (2)原式()( )( )( ) ()( )( )()( )【变式2】（2015内江）（1）填空：（ab）（a+b）= ；（ab）（a2+ab+b2）= ；（ab）（a3+a2b+ab2+b3）= （2）猜想：（ab）（an1+an2b+abn2+bn1）= （其中n为正整数，且n2）（3）利用（2）猜想的结论计算：2928+27+2322+2【答案】解：（1）（ab）（a+b）=a2b2；（ab）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2a2bab2b3=a3b3；（ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3a3ba2b2ab3b4=a4b4；故答案为：a2b2，a3b3，a4b4；（2）由（1）的规律可得：原式=anbn，故答案为：anbn；（3）2928+27+2322+2=（21）（28+26+24+22+2）=3422、（2014春牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？【答案与解析】解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，根据题意得，（x+3）2x2=63，由平方差公式得，（x+3+x）（x+3x）=63，解得，x=9；原绿地的面积为：99=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b）（ab）=a2b2，熟练应用平方差公式可简化计算举一反三：【变式】解不等式组： 【答案】解： 由得，由得， 不等式组的解集为类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）；（2）【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”【答案与解析】解：（1）原式（2）原式【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)【答案】 解：(1) () () (2) 2(1)2(1) (3)(4) 4、已知ABC的三边长、满足，试判断ABC的形状【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系【答案与解析】 解： ， ，即即 ，即， ABC为等边三角形【总结升华】式子体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论举一反三：【变式】多项式的最小值是_.【答案】4； 提示：，所以最小值为4.【巩固练习】一.选择题1下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( ) A.4个B.3个C.2个D.1个2. 若是完全平方式，则值是（ ）A. B. C. D. 13.下面计算正确的是( )A.原式(7)7()B.原式(7)7() C.原式(7)(7) D.原式(7)(7)4(3)(9)(3)的计算结果是( )A.81B.81C. 81D.815下列式子不能成立的有( )个 A.1B.2C.3D.46（2015春开江县期末）计算2015220142016的结果是（）A2 B1 C0 D1二.填空题7多项式是一个完全平方式，则_8. 已知，则的结果是_.9. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则_.10.（2015春深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A的末位数字是 11对于任意的正整数，能整除代数式的最小正整数是_.12. 如果63，那么的值为_.三.解答题13.计算下列各值. 14.（2015春成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=2202，12=4222，20=6242，因此4、12、20都是这种“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；（2）试说明神秘数能被4整除；（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由15. 已知：求的值.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B； 【解析】，可用平方差公式.2. 【答案】B； 【解析】，所以1.3. 【答案】C；4. 【答案】C；【解析】(3)(9)(3).5. 【答案】B； 【解析】，不成立.6. 【答案】D； 【解析】解：原式=20152（20151）（2015+1）=20152（201521）=2015220152+1=1，故选D.二.填空题7. 【答案】16； 【解析】，16.8. 【答案】23； 【解析】.9. 【答案】3；【解析】，1，4.10.【答案】6； 【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（221）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（241）（24+1）（28+1）+1，=（281）（28+1）+1，=（2161）（216+1）+1，=2321+1，因为232的末位数字是6，所以原式末位数字是6故答案为：611.【答案】10； 【解析】利用平方差公式化简得10，故能被10整除.12.【答案】4；【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式14.【解析】解：（1）是，理由如下：28=8262，2012=50425022，28是“神秘数”；2012是“神秘数”；（2）“神秘数”是4的倍数理由如下：（2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k）（2k+22k）=2（4k+2）=4（2k+1），“神秘数”是4的倍数；（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k1，则（2k+1）2（2k1）2=8k，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数15.【解析】解：.