北师大数学七年级下册第一章乘法公式(基础).doc

乘法公式（基础）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】

要点一、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
要点二、完全平方公式
完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点四、补充公式
；；
；.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．
(1)； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.
【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．
(2) ＝－＝．
(3) ＝ － ＝．
(4) ＝－ ＝．
(5) ＝－＝．
【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．
举一反三：
【变式】计算：（1）； （2）；
（3）．
【答案】
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99
(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．
【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．
举一反三：
【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
【答案】
解：（1）1232﹣124×122
=1232﹣（123+1）（123﹣1）
=1232﹣（1232﹣1）
=1232﹣1232+1
=1；
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）
=（4a2﹣b2）（4a2+b2）
=（4a2）2﹣（b2）2
=16a4﹣b4．
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.
【答案与解析】
解：(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化．
4、（2015春•吉安校级期中）图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．
（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为　 　．
（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；
（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．

【答案与解析】
解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；
（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；
方法②：（m+n）2﹣4mn；
（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
∵a+b=7，ab=5，
∴（a﹣b）2=72﹣4×5
=49﹣20
=29．
【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．
5、已知，＝12．求下列各式的值：
(1) ；(2) ．
【答案与解析】
解：(1)∵ ＝－＝－3＝－3×12＝13．
(2)∵ ＝－4＝－4×12＝1.
【总结升华】由乘方公式常见的变形：①－＝4；②＝－2＝＋2．解答本题关键是不求出的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．
举一反三：
【变式】已知，，求和的值．
【答案】
解：由，得； ①
由，得． ②
① ＋②得，∴ ．
① －②得，∴ ．
【巩固练习】
一.选择题
1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
2．若＝6，＝5，则等于( )．
A.11 B.15 C.30 D.60
3．下列计算正确的是( )．
A.＝ B. ＝
C. D.( )()＝
4．下列多项式不是完全平方式的是( )．
A. B.
C. D.
5．（2015春•重庆校级期中）已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（　　）
A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20
6．下列等式不能恒成立的是( )．
A. B.
C. D.
二.填空题
7．若是一个完全平方式，则＝______．
8. 若＝,则M ＝______．
9. 若＝3，＝1，则＝_______.
10.（2015春•陕西校级期末）（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）=　 　．
11. ___________.
12.若，则代数式的值为________.
三.解答题
13.（2015春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．
（1）69×71； （2）992．
14.先化简，再求值：，其中．
15.已知：，且求的值.

【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】A中和符号相反，和符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.
2. 【答案】C；
【解析】＝6×5＝30.
3. 【答案】C；
【解析】＝；＝；
()()＝.
4. 【答案】A；
【解析】；；.
5. 【答案】D；
【解析】解：∵关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，
∴﹣m=±20，即m=±20．
故选：D．
6. 【答案】D；
【解析】.
二.填空题
7. 【答案】±4；
【解析】，所以.
8. 【答案】；
【解析】＝.
9. 【答案】7；
【解析】，.
10.【答案】1﹣x8；
【解析】解：（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）
=（1﹣x2）（1+x2）（1+x4）
=（1﹣x4）（1+x4）
=1﹣x8，
故答案为：1﹣x8
11.【答案】；
【解析】.
12.【答案】6；
【解析】因为，所以.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；
（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．
14.【解析】
解：

当.
15.【解析】
解：∵，且
∴，∴，
∵
∴
∵即
∴.