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(完整版)2019年中考数学专题拓展讲练
2019年中考数学专题拓展讲练
专题六 动态问题
一、专题概述
1．动态问题一般是指动态几何问题,它是以几何知识和图形为背景，研究几何图形(点、直线、三角形、四边形等）在运动变化中存在的函数关系或规律的一种题型。
2．解题策略：①动中觅静；②动静互化；③以静制动；④化动为静.
3．具体做法：全方位考察运动中的变量和图形之间的位置关系；运用分类讨论思想，画出发生变化的各个时刻的图形，变“动”为“静”；在各类“静态图形”中，综合运用相关知识求解.
二、考点分析
考点一、动点问题
【例1】（2018•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=2 cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发,点P沿折线AB﹣BC运动,在AB上的速度是2 cm/s，在BC上的速度是 cm/s;点Q在BD上以2 cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作平行四边形PQMN．设运动的时间为x（s），平行四边形PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）
(1）当PQ⊥AB时,x=　 　；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;
（3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分时，直接写出x的值．

【解析】（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB,
∴2x=2(2﹣2x）,
∴x=s．
故答案为s．
(2）①如图1中，当0≤x≤时，重叠部分是四边形PQMN．

y=2x×x=2x2．
②如图②中,当≤x<1时，重叠部分是四边形PQEN．

y=(2﹣x+2x）×x=x2+x。
③如图3中,当1≤x≤2时,重叠部分是四边形PNEQ．

y=（2﹣x+2）×[x﹣2（x﹣1)]=x2﹣3x+4；
综上所述, ．
（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．

则有:tan∠EAB=tan∠QPB，
∴，
解得x=．
②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．

此时tan∠DEA=tan∠QPB,
∴，
解得x=，
综上所述，当x= s或 时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1∶3部分．
考点二、 动线问题
【例2】（2018·黄冈）如图,在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，∠C=120°，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB—BC—CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动。过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动.
(1）当t=2时，求线段PQ的长；
（2)求t为何值时,点P与N重合；
（3）设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围.

（3）①当0≤t≤4时，PN=OA=8，且PN∥OA，PM=t，
S△APN=·8·t=4t；

②当4＜t≤时，PN=8-3(t-4)=20-3t，
S△APN=×4×(20-3t）=40—6t；
③当＜t≤8时，PN=3（t—4）-8=3t—20，
S△APN=×4×（3t—20)= 6t -4;
④8＜t≤12时，ON=24-2t，N到OM距离为12-t，
N到CP距离为4-(12-t）= t—8，CP=t—4，BP=12-t，
S△APN=S菱形OABC—S△AON- S△CPN— S△APB
=32—×8×（12-t)— （t-4）（t-8）—（12-t)×4
= - t2+12t—56
综上，S与t的函数关系式为：
【名师点睛】本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
考点三、动图问题
【例3】（2018·天津）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点,点，点。以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，,的对应点分别为,，.

（1）如图①,当点落在边上时，求点的坐标；
（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标。
（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围(直接写出结果即可）。

在中，有，
∴ .
∴。
∴点的坐标为。

（2）①由四边形是矩形，得。
又点在线段上，得.
由（1）知，，又，，
∴。
②由,得.
又在矩形中，，
∴。∴。∴.
设，则，.
在中,有，
∴。解得。∴。
∴点的坐标为。

（3).
三、考点集训
1．（2018·新疆自治区）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是

A． B．1 C． D．2
2．（2018•江西）在菱形ABCD中,∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是　 　,CE与AD的位置关系是　 　；
(2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）;
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE,若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．

3．（2018•衡阳）如图,在ABC中,∠C=90°，AC=BC=4 cm，动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时,点P、Q同时停止运动，设运动时间为t(s)．
（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
(2)是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在,请说明理由；
（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．

参考答案

1．【答案】B
【解析】如图，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P,此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN,AM′=BN,
∴四边形ABNM′是平行四边形,
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1,
故选：B．

【名师点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质,熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
2．【解析】(1)如图1中，结论：PB=EC,CE⊥AD．
理由:连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

延长CE交AD于H，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°,即CE⊥AD．
故答案为PB=EC，CE⊥AD．
（2）结论仍然成立．

理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°，
∵△APE是等边三角形,
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°,
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°,
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°,
∴∠AHC=90°,即CE⊥AD．
选图3,连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∵△APE是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．
（3）连接AC交BD于O,设CE交AD于H．

由(2）可知EC⊥AD,CE=BP,
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴EC⊥BC，
∵BC=AB=，BE=，
在BCE中，,
∴BP=CE=8，
∵AC与BD是菱形的对角线,
∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，
∴BD=2BO=2AB•cos30°=6，
∴OA=AB=,DP=BP﹣BD=8﹣6=2,
∴OP=OD+DP=5，
在AOP中,AP=，
∴S四边形ADPE=S△ADP+S△AEP=×2×+×（2）2=8．
【名师点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．
3．【解析】（1）如图1中，连接BP．

在ACB中，∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB=4.
∵点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴BP=BQ，
∵AQ=t，CP=t，
∴BQ=4﹣t，PB2=42+t2,
∴（4﹣t）2=16+t2,
解得t=8﹣4或8+4（舍弃）,
∴t=（8﹣4）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
(2）由题意，得。
①如图2中,当PQ=QA时,易知APQ是等腰直角三角形，∠AQP=90°．

则有PA=AQ，
∴4﹣t=•t，
解得t=．
②如图3中，当AP=PQ时，易知APQ是等腰直角三角形，∠APQ=90°．

则有:AQ=AP，
∴t=（4﹣t),
解得t=2，
综上所述：t= s或2 s时，APQ是以PQ为腰的等腰三角形．
(3）如图4中，连接QC，作QE⊥AC于E,作QF⊥BC于F．则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．

∵S=S△QNC+S△PCQ=•CN•QF+•PC•QE=t（QE+QF)=2t（0＜t＜4）．
【名师点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．