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(完整版)2019年中考数学专题拓展讲练2019年中考数学专题拓展讲练专题六 动态问题一、专题概述1动态问题一般是指动态几何问题,它是以几何知识和图形为背景，研究几何图形(点、直线、三角形、四边形等）在运动变化中存在的函数关系或规律的一种题型。2解题策略：动中觅静；动静互化；以静制动；化动为静.3具体做法：全方位考察运动中的变量和图形之间的位置关系；运用分类讨论思想，画出发生变化的各个时刻的图形，变“动”为“静”；在各类“静态图形”中，综合运用相关知识求解.二、考点分析考点一、动点问题【例1】（2018吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=2 cm，ADB=30P，Q两点分别从A，B同时出发,点P沿折线ABBC运动,在AB上的速度是2 cm/s，在BC上的速度是 cm/s;点Q在BD上以2 cm/s的速度向终点D运动，过点P作PNAD，垂足为点N连接PQ，以PQ，PN为邻边作平行四边形PQMN设运动的时间为x（s），平行四边形PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）(1）当PQAB时,x= ；(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;（3)直线AM将矩形ABCD的面积分成13两部分时，直接写出x的值【解析】（1）当PQAB时，BQ=2PB,2x=2(22x）,x=s故答案为s(2）如图1中，当0x时，重叠部分是四边形PQMNy=2xx=2x2如图中,当x1时，重叠部分是四边形PQENy=(2x+2x）x=x2+x。如图3中,当1x2时,重叠部分是四边形PNEQy=（2x+2）x2（x1)=x23x+4；综上所述, （3）如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件则有:tanEAB=tanQPB，解得x=如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件 此时tanDEA=tanQPB,，解得x=，综上所述，当x= s或 时，直线AM将矩形ABCD的面积分成13部分考点二、 动线问题【例2】（2018黄冈）如图,在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C在第一象限，C=120，边长OA=8，点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边ABBCCO以每秒2个单位长的速度作匀速运动。过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动.(1）当t=2时，求线段PQ的长；（2)求t为何值时,点P与N重合；（3）设APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围. （3）当0t4时，PN=OA=8，且PNOA，PM=t，SAPN=8t=4t；当4t时，PN=8-3(t-4)=20-3t，SAPN=4(20-3t）=406t；当t8时，PN=3（t4）-8=3t20，SAPN=4（3t20)= 6t -4;8t12时，ON=24-2t，N到OM距离为12-t， N到CP距离为4-(12-t）= t8，CP=t4，BP=12-t，SAPN=S菱形OABCSAON- SCPN SAPB=328（12-t) （t-4）（t-8）（12-t)4= - t2+12t56综上，S与t的函数关系式为：【名师点睛】本题考查四边形综合题、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题. 考点三、动图问题【例3】（2018天津）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点,点，点。以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，,的对应点分别为,，.（1）如图,当点落在边上时，求点的坐标；（2）如图，当点落在线段上时，与交于点.求证；求点的坐标。（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围(直接写出结果即可）。在中，有， .。点的坐标为。（2）由四边形是矩形，得。又点在线段上，得.由（1）知，又，。由,得.又在矩形中，。.设，则，.在中,有，。解得。点的坐标为。（3).三、考点集训1（2018新疆自治区）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是A B1 C D22（2018江西）在菱形ABCD中,ABC=60，点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 ；(2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）;（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE,若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积3（2018衡阳）如图,在ABC中,C=90，AC=BC=4 cm，动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时,点P、Q同时停止运动，设运动时间为t(s)（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在,请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式参考答案1【答案】B【解析】如图，作点M关于AC的对称点M，连接MN交AC于P,此时MP+NP有最小值，最小值为MN的长菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，M是AD的中点，又N是BC边上的中点，AMBN,AM=BN,四边形ABNM是平行四边形,MN=AB=1，MP+NP=MN=1，即MP+NP的最小值为1,故选：B【名师点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质,熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键2【解析】(1)如图1中，结论：PB=EC,CEAD理由:连接AC四边形ABCD是菱形，ABC=60，延长CE交AD于H，CAH=60，CAH+ACH=90，AHC=90,即CEAD故答案为PB=EC，CEAD（2）结论仍然成立理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H四边形ABCD是菱形,ABC=60，ABC，ACD都是等边三角形,ABD=CBD=30，APE是等边三角形,AB=AC，AP=AE，BAC=PAE=60,BAPCAE，BP=CE，ABP=ACE=30,CAH=60，CAH+ACH=90,AHC=90,即CEAD选图3,连接AC交BD于O，设CE交AD于H四边形ABCD是菱形,ABC=60，ABC，ACD都是等边三角形，ABD=CBD=30，APE是等边三角形，AB=AC，AP=AE，BAC=PAE=60，BAPCAE，BP=CE，BAP=ACE=30，CAH=60，CAH+ACH=90，AHC=90，即CEAD （3）连接AC交BD于O,设CE交AD于H由(2）可知ECAD,CE=BP,在菱形ABCD中，ADBC，ECBC，BC=AB=，BE=，在BCE中，,BP=CE=8，AC与BD是菱形的对角线,ABD=ABC=30，ACBD，BD=2BO=2ABcos30=6，OA=AB=,DP=BPBD=86=2,OP=OD+DP=5，在AOP中,AP=，S四边形ADPE=SADP+SAEP=2+（2）2=8【名师点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题3【解析】（1）如图1中，连接BP在ACB中，AC=BC=4，C=90，AB=4.点B在线段PQ的垂直平分线上，BP=BQ，AQ=t，CP=t，BQ=4t，PB2=42+t2,（4t）2=16+t2,解得t=84或8+4（舍弃）,t=（84）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上(2）由题意，得。如图2中,当PQ=QA时,易知APQ是等腰直角三角形，AQP=90则有PA=AQ，4t=t，解得t=如图3中，当AP=PQ时，易知APQ是等腰直角三角形，APQ=90则有:AQ=AP，t=（4t),解得t=2，综上所述：t= s或2 s时，APQ是以PQ为腰的等腰三角形(3）如图4中，连接QC，作QEAC于E,作QFBC于F则QE=AE，QF=EC，可得QE+QF=AE+EC=AC=4S=SQNC+SPCQ=CNQF+PCQE=t（QE+QF)=2t（0t4）【名师点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题