北师大数学七年级下册第二章平行线的判定(基础).doc

平行线的判定（基础）知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握平行线的画法；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法

用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1．下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．
举一反三：
【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是 .
【答案】平行
类型二、平行线的判定
2.（2015秋•龙岗区期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．

【思路点拨】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．
【答案与解析】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD=90°，
∴∠1+∠D=90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠2，
又已知∠C=∠1，
∴∠C=∠2，
∴AB∥CD．
【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．
举一反三：
【变式1】（2016•郑州一模）如图，能判定EC∥AB的条件是（　　）

A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE
【答案】D.
提示：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；
C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；
D、正确．

【变式2】已知，如图，BE平分ÐABC，CF平分ÐBCD，Ð1＝Ð2，求证：AB//CD．

【答案】∵ Ð1＝Ð2
∴ 2Ð1＝2Ð2 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）
3.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．

【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．
【答案与解析】
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．
4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三：
【变式】已知，如图，EF^EG，GM^EG，Ð1＝Ð2，AB与CD平行吗？请说明理由．

【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：

∵ EF^EG，GM^EG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．

平行线的判定（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列关于作图的语句正确的是 （ ）.
A．画直线AB=10厘米.
B．画射线OB=10厘米.
C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线.
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.
2．下列判断正确的个数是 ( ).
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是 ( ).
A．平行的性质
B．等量代换
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．以上都不对
4．下列说法中不正确的是 ( ).
A．同位角相等，两直线平行.
B．内错角相等，两直线平行.
C．同旁内角相等，两直线平行.
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.
5．如图所示，给出了过直线外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是 ( ).

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上都不对
6．（2015•福州）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（　　）
A．B．C． D
二、填空题
7.两条射线或线段平行，是指 .
8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．

9．（2015春•伊宁市校级月考）如图，
（1）要证AD∥BC，只需∠B=　 　，根据是　 　；
（2）要证AB∥CD，只需∠3=　 ，根据是　 　．

10．如图，已知若∠1+∠2=180°，则∠3+∠4= ，AB CD．

11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．
12. 已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．
三、解答题
13.（2015春•南平期末）已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，试说明：BE∥CF．
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴　 　=　 　=90°（　 　）
∵∠1=∠2（已知）
∴　 　=　 　（等式性质）
∴BE∥CF（　 　）

14．（黄石)已知如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，那么CD与AB平行吗?写出推理过程．

15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．

【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
2.【答案】A；
【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．

3．【答案】C；
【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．
4. 【答案】C；
【解析】同旁内角互补，两直线平行.
5. 【答案】A；
【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．
6. 【答案】B；
【解析】如图所示：

∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B
二、填空题
7. 【答案】射线或线段所在的直线平行；
8．【答案】平行；
【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.
9．【答案】∠1，同位角相等，两直线平行；∠2，内错角相等，两直线平行．
10.【答案】180°，∥ ；
【解析】∠1＝∠3，∠2＝4，可得：∠3+∠4＝∠1+∠2＝180°.
11.【答案】平行；
【解析】平行公理的推论
12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
【解析】这是平行公理的具体内容.
三、解答题
13.【解析】
解：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义），
∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠4（等式性质），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠ABC；∠BCD；90°；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行．

14．【解析】
解：CD∥AB．理由如下：
∵ BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，
∴ ∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵ ∠ABC＝∠ADC，
∴ ∠3＝∠2．
又∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠1．
∴ CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．
15. 【解析】
解： ∠4＝100°．理由如下：
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，
∴ ∠1＝∠2．
∴ AB∥CD．
又∵ ∠3＝∠4＝100°，
∴ CD∥EF．
∴ AB∥EF．