北师大数学七年级下册第二章《相交线与平行线.doc

相交线与平行线全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】1 熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、两条直线的位置关系1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行.要点诠释：（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“”表示.2.对顶角、补角、余角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.如果两个角的和是180，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角类似地，如果两个角的和是90，那么这两个角互为余角简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角（2）性质：同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等对顶角相等3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足垂直用符号“”表示，如下图（2）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线段最短（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离要点二、平行线的判定与性质1平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直3两条平行线间的距离如图，直线ABCD，EFAB于E，EFCD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、用尺规作线段和角1.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.2.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1. (1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0(2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角? 【答案与解析】解： (1)邻补角是DOA与AOC，AOE与EOB，BOC与COA，COE与DOE，DOA与DOB，DOB与BOC；对顶角是AOD与COB，AOC与DOB.(2)邻补角是ACB与ACD，ECD与DCA，DCE与ECB，ECB与ACB；对顶角是ACB与DCE，BCE与ACD【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.2.（2015春桃园县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且AOM=CON=90若OC平分AOM，求AOD的度数若1=BOC，求AOC和MOD【答案与解析】解：AOM=CON=90，OC平分AOM，1=AOC=45，AOD=180AOC=18045=135；AOM=90，BOM=18090=90，1=BOC，1=BOM=30，AOC=9030=60，MOD=18030=150【总计升华】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能根据角平分线定义和已知求出各个角的度数举一反三：【变式】（2015秋辛集市期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，COE=90，OF平分AOE，COF=28，求BOD的度数【答案】 解：由角的和差，得EOF=COECOF=9028=62由角平分线的性质，得AOF=EOF=62由角的和差，得AOC=AOFCOF=6228=34由对顶角相等，得BOD=AOC=34类型二、平行线的性质与判定3.如图所示，ABCD，1B，2D，试说明BEDE【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系【答案与解析】 解：过E点作EFAB， 因为ABCD(已知)， 所以EFCD 所以4D(两直线平行，内错角相等) 又因为D2(已知)， 所以42(等量代换) 同理，由EFAB，1B，可得31 因为1+2+3+4180(平角定义)， 所以1+23+490， 即BED90故BEDE【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的举一反三：【变式1】已知直线ABCD，当点E在直线AB与CD之间时，有BEDABE+CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是( ).ABEDABE+CDE或BEDABE-CDE BBEDABE-CDE CBEDCDE-ABE或BEDABE-CDE DBEDCDE-ABE【答案】C （提示：过点E作EFAB）【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则123456 .【答案】9004.如图，已知CDEF，12ABC，求证：ABGF.【答案与解析】证明：如图，过点C做CKFG，并延长GF、CD交于点H， CDEF （已知）， CHG1(两直线平行，同位角相等）.又 CKFG， CHG2BCK180（(两直线平行，同旁内角互补）. 12BCK180（等量代换）. 12ABC（已知）， ABCBCK180（等量代换）. CKAB（同旁内角互补，两直线平行）. ABGF（平行的传递性）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.类型三、用尺规作线段和角5. ABEDC已知：如图，AB/CD，BC/DE，B70，（1）求D的度数.（2）用尺规在图上作一个，使=DB（不写作法，保留痕迹）.【思路点拨】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；（2）根据平行线的性质即可求解【答案与解析】解：（1）AB/CD，BC/DE， CB70，D180C18070110. （2）作法如图：【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角的差，以及平行线的性质定理，正确掌握基本作图是关键类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角EFB30，你能说出EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以ADBC，可得DEFEFG30，又因为折后重合部分相等，所以GEFDEF30，所以DEG2DEF60，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以EGC180DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为ADBC（已知），所以DEFEFG30（两直线平行，内错角相等）.因为GEFDEF30（对折后重合部分相等），所以DEG2DEF60.所以EGC180DEG18060120（两直线平行，同旁内角互补）.【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把个长方形纸片对折两次，然后剪下个角为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）A60 B30 C45 D90【答案】C相交线与平行线全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1(济南)已知，如图所示，ABCD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则1与2的关系一定成立的是( ). A相等 B互余 C互补 D互为对顶角2一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .A第一次向左拐30，第二次向右拐30.B第一次向右拐50，第二次向左拐130.C第一次向左拐50，第二次向左拐130.D第一次向左拐50，第二次向右拐130.3（2016邯山区一模）如图，AB、CD、EF、MN均为直线，2=3=70，GPC=80，GH平分MGB，则1=（）A35 B40 C45D504两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）.A同位角 B同旁内角 C内错角 D. 同位角或内错角5. 如图所示，bc，ab，1130，则2（ ） A30 B. 40 C. 50 D. 60 6. 如图，已知AC，如果要判断ABCD，则需要补充的条件是（ ） AABDCEF BCEDADBABCDE CCDBCEF DABD+CED180(第5题) (第6题) (第7题)7.如图，则AEB（ ） A B C D 8. 如图所示，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若EFB32，则下列结论不正确的有（ ）ABCDEFGA. B. AEC148 C. BGE64 D. BFD116二、填空题9.（2015丹东）如图，1=2=40，MN平分EMB，则3= 10. (宁波外校一模)如图所示，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A、B两岛的视角ACB等于_ 11. (吉安)如图所示，ABCD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是BEN和MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是 12如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若A125，D107，则打碎部分的两个角的度数分别为 .13. 如图所示，已知ABCD，BAE3ECF，ECF28，则E的度数 14. 已知，如图12，CD，则A F（填“”“”“”）15如图所示，直线AD、BE、CF相交于一点O，BOC的同位角有_，OED的同旁内角有_，ABO的内错角有_，由OEDBOC得_，由OEDABO得_，由ABDE，CFDE可得AB_CF16. 如图，ABCD，则、之间的关系为 ABCD三、解答题17如图所示，直线AB、MN分别与直线PQ相交于O、S，射线OGPQ，且OG将BOQ分成1:5两部分，PSN比它的同位角的2倍小60，求PSN的度数18. 已知，如图ABEF，ABCDEF,试判断BC和DE的位置关系，并说明理由19.（2015秋黄岛区期末）如图，已知CFAB于F，EDAB于D，1=2，求证：FGBC20.河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短.确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G.在AG上取AEFG，连接EB，EB交MN于D.在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置试说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B； 【解析】因为ABCD，所以1+290，因此1与2的关系是互为余角2. 【答案】A； 【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.3. 【答案】D； 【解析】2=3=70，ABCD，BGP=GPC，GPC=80，BGP=80，BGM=180BGP=100，GH平分MGB，1=BGM=50，故选D4. 【答案】D； 【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.5. 【答案】B； 【解析】反向延长射线a交c于点M，则290（180130）40.6.【答案】B；7.【答案】B； 【解析】，EAB752550.8.【答案】B. 二、填空题9. 【答案】110； 【解析】2=MEN，1=2=40，1=MEN，ABCD，3+BMN=180，MN平分EMB，BMN=，3=18070=11010.【答案】90；【解析】过点C作CDAE，由AEBF，知CDAEBF，则有ACDEAC50，BCDCBF40，从而有ACBACD十BCD50+409011.【答案】垂直； 【解析】 解：EGFG，理由如下： ABCD， BEN+MFD180 EG和FG分别是BEN和MFD的平分线， GEN+GFM(BEN+MFD)18090 EGF180-GEN-GFM90 EGFG12【答案】55，73； 【解析】如图，将原图补全，根据平行线的性质可得答案.13.【答案】56；【解析】过点F作FGEC，交AC于G， ECFCFG， ABCD， BAEAFC 又 BAE3ECF，ECF28， BAE32884 CFG28，AFC84 AFGAFC-CFG56 又 FGEC， AFGE E5614.【答案】；【解析】平行线的判定与性质及对顶角的性质的应用15.【答案】AFO、OED，EOD、EOC、OBC、EDO、EDC，COB、DEB、DOB， OC、DE， DE、AB，；【解析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的识别和平行线的判定和性质16.【答案】+-=180；【解析】通过做平行线或构造三角形得解三、解答题17.【解析】 解：因为OGPQ(已知)， 所以GOQ90(垂直定义)， 因为BOG:GOQ1:5(已知)， 所以BOG18，所以BOQ108 因为POB+BOQ180(补角定义)， 所以POB180-BOQ180-10872 因为PSN2POB-60(已知)， 所以PSN272-6084 点拨：此题的关键是找出要求的PSN与题中的各已知量的关系18.【解析】解：如图，连接BE，因为ABEF，所以ABEBEF（两直线平行，内错角相等）又因为ABCDEF，所以ABEABCBEFDEF，即CBEBED所以BCDE（内错角相等，两直线平行）19.【解析】证明：CFAB，EDAB，DEFC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），1=BCF（两直线平行，同位角相等）；又2=1（已知），BCF=2（等量代换），FGBC（内错角相等，两直线平行）20.【解析】解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：.而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短.