《圆周角定理》练习题(A).docx

《圆周角定理》练习题(A)
《圆周角定理》练习题(A)

编辑整理：

尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《圆周角定理》练习题(A)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为《圆周角定理》练习题(A)的全部内容。

第36页（共36页）

《圆周角定理》练习题
一．选择题（共16小题)
1．如图,A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（　　）
A．152° B．76° C．38° D．14°
2．如图,⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°,则∠B的度数为（　　)
A．30° B．35° C．40° D．45°

第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
5．如图，已知在⊙O中,点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°,则∠ACB等于（　　）A．130° B．140° C．145° D．150°

第4题图 第5题图 第6题图
6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为） A．40° B．50° C．60° D．70°
8．如图,AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　)
A．55° B．60° C．65° D．70°

第7题图 第8题图 第9题图

9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（　　）
A．25° B．30° C．35° D．50°
10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（　　)
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2
C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
11．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是(　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°

第10题图 第11题图 第12题图
12．如图，在⊙O中,OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为(　　)
A．15° B．20° C．25° D．50°
13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（　　）
A．42° B．84° C．42°或138° D．84°或96°
14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°,则∠CBA的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°

第10题图 第11题图 第12题图
16．如图,AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（　　）
A．30° B．50° C．60° D．70°

二．填空题（共8小题)
17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°,则∠EOD等于　　．

第17题图 第18题图 第19题图
18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°,点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点,则∠C=　　°．
19．在⊙O中，弦AB=2cm,∠ACB=30°,则⊙O的直径为　　cm．
20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是　　,圆周角是　　．

第20题图 第21题图 第22题图
21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为　　cm．
22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时,同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择　　种射门方式．
三．解答题(共16小题)
25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．

26．如图,已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M,点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．

27、如图,△ABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．
求证:HD=GD．

28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
（1）求∠EBC的度数;
（2）求证：BD=CD．

29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．

30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
(1）求证：AE=CE；．

31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证:BE=CM．
(2）求证：AB﹣AC=2BE．

32．如图，OA是⊙0的半径,以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证:AD=BD．

33．如图,已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．

34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上,CD是高，D是垂足,CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．

35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．

36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE,AD，BE的延长线交于点C,求证：AC=AB．

37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点,EC⊥CD,交BD于点F．问：AD与BF相等吗?为什么？

38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦,且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F,求证:∠FCD=∠ACE．

39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径,作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．

40．如图,△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D,连接BD,CD，判断△DBC的形状，并说明理由．

41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？

42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？

43．如图，OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D,求证：D是AB的中点．

44．如图，在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F,E点．
求证：（1)F是BC的中点；
（2）∠A=∠GEF．

45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H,求证:CH=CP，AP=BH．

《圆周角定理》2222222222
参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）
1．（2012•呼伦贝尔）如图,A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°,则∠BAC的度数是（　　）

A．152° B．76° C．38° D．14°
【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，
又∵∠BOC=76°,
∴∠A=76°×=38°．
故选C．

2．（2015•眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°,则∠B的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解:∵OA=OC，∠ACO=45°,
∴∠OAC=45°，
∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴∠B=∠AOC=45°．
故选D．

3．(2010秋•海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中,圆周角有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，
∠2顶点不在圆周上，
∠4的一边不和圆相交，
故图中圆周角有∠1和∠3两个．
故选B．

4．（2015•珠海)如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°,则∠BOD的度数是(　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴=，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选:D．

5．(1997•陕西）如图,已知在⊙O中，点A,B，C均在圆上，∠AOB=80°,则∠ACB等于（　　）

A．130° B．140° C．145° D．150°
【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB
∵∠AOB=80°
∴∠E=∠AOB=40°
∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．
故选：B．

6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°,则∠MAP等于（　　)

A．50° B．40° C．30° D．20°
【解答】解:连接OP,
可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，
∵MN为直径，
∴∠MOP+∠NBP=180°，
∴∠MAP+∠NBP=90°，
∵∠PBN=50°，
∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．
故选B．

7．(2007•太原）如图,CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点,若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵∠ABD=20°
∴∠C=∠ABD=20°
∵CD是⊙O的直径
∴∠CAD=90°
∴∠ADC=90°﹣20°=70°．
故选D．

8．(2013•苏州)如图,AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°,则∠DAB等于（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【解答】解：连结BD，如图,
∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°,
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故选C．

9．(2009•枣庄)如图，AB是⊙O的直径,C，D为圆上两点，∠AOC=130°,则∠D等于（　　）

A．25° B．30° C．35° D．50°
【解答】解:∵∠AOC=130°,
∴∠BOC=50°，
∴∠D=∠BOC=25°．故选A．

10．（2013秋•沙洋县校级月考）如图,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是(　　）

A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2
【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，
根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4,∠2＞∠6，
∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，
故选B．

11．（2012秋•天津期末）如图,AB是半圆O的直径，∠BAC=60°,D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：连接BC,
∵AB是半圆的直径
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=60°,
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°,
∴∠D=∠ABC=30°．
故选A．

12．（2009•塘沽区二模)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（　　)

A．15° B．20° C．25° D．50°
【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴，
∴∠ADB=∠AOC=25°．
故选C．

13．（2012秋•宜兴市校级期中)在⊙O中,点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是(　　）
A．42° B．84° C．42°或138° D．84°或96°
【解答】解:如图，∵∠AOB=84°，
∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，
∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．
∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．
故选C．

14．(2011•南岸区一模）如图所示,在⊙O中，AB是⊙O的直径,∠ACB的角平分线CD交⊙O于D,则∠ABD的度数等于（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：连接AD，
∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°．
故选C．

15．（2015秋•合肥校级期末)已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°,则∠CBA的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=∠CDB=40°，
∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．
故选B．

16．（2013•万州区校级模拟)如图,AB是圆的直径,AB⊥CD，∠BAD=30°,则∠AEC的度数等于（　　）

A．30° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：∵∠BAD=30°，
∴=60°，
∵AB是圆的直径，AB⊥CD,
∴==60°，
∴=180°﹣60°=120°，
∴∠AEC==×120°=60°．
故选C．

二．填空题（共8小题）
17．(2016•大冶市模拟)如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于　40°　．

【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，
∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，
∴∠DOE=40°,
答案为40°．

18．（2015•历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点,∠ABC=50°，则∠DAB的度数是　65°　．

【解答】解：连结BD,如图，
∵点D是 的中点,即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°﹣25°=65°．
故答案为65°．

19．（2013秋•滨湖区校级期末)如图,点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点,则∠C=　130　°．

【解答】解：在优弧AB上取点D,连结AD、BD，如图，
∴∠D=∠AOB=×100°=50°，
∵∠D+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣50°=130°．
故答案为130．

20．(2008秋•苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时,同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式:第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择　第二种　种射门方式较为合理．

【解答】解:连接OC．
根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B,
根据三角形的外角的性质,得∠PCQ＞∠A，
则∠B＞∠A．
故答案为第二种．

21．(2015•黄岛区校级模拟）在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为　4　cm．

【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2cm,
∴⊙O的直径=4cm．
故答案为：4．

22．（2014春•海盐县校级期末)如图,⊙O中弦AB等于半径R,则这条弦所对的圆心角是　60°　，圆周角是　30°或150°　．

【解答】解：连结OA、OB,∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，
∵弦AB等于半径R，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°,
∴∠APB=∠AOB=30°,
∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，
即这条弦所对的圆心角是60°,圆周角是30°或150°．
故答案为60°；是30°或150°．

23．（2012•义乌市模拟）如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E，则DE的长为　2　cm．

【解答】
解：连接AD,
∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角,
∴∠DEC=∠B，
又等腰△ABC，BC为底边,
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC,
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴BD=CD=BC，又BC=4cm，
∴DE=2cm．
故答案为：2

24．(2012秋•哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时,同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择　第二　种射门方式．

【解答】解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；
则∠PCQ＞∠A；
由圆周角定理知：∠PCQ=∠B;
所以∠B＞∠A；
因此选择第二种射门方式更好．
故答案为:第二．

三．解答题（共16小题）
25．(2009•沈阳模拟)如图，△ABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．
求证：HD=GD．

【解答】证明：∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE，
∴∠C+∠DAC=90°，∠AHE+∠DAC=90°,
∴∠C=∠AHE，
∵∠AHE=∠BHG=∠C,
∴∠G=∠BHG，
∴BH=BG，
又∵AD⊥BC，
∴HD=DG．

26．（2013秋•虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状,并说明你的理由．

【解答】解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
又∵∠BPC=∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形．

27．(2013秋•耒阳市校级期末）已知:如图,AB为⊙O的直径,AB=AC，BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E．∠BAC=40°
(1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．

【解答】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠BAC=40°，
∴∠C=（180°﹣40°）=70°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°，
∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；
证明：连结AD,如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC，
而AB=AC,
∴BD=DC．

28．（2014秋•高密市期中）如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．

【解答】解：如图,∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．
∴AB===10（cm）．
∵AC=6cm，BC=8cm，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD,则=，
∴AD=BD，
∴BD=AB=5cm．
综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．

29．（2013秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．

【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，
∵CD为直径，
∴∠CBD=90°,
∵∠D=∠A=30°，
∴CD=2BC=2×3=6,
∴⊙O的半径为3cm．

30．(2010秋•瑞安市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
（1)求证:AE=CE；
（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．

【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，
∴∠B=∠CAE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
即∠ACE+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE …(6分）

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CGA=90°，
又∵∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠CGA=∠BCD，
∵AG=10，
∴CE=EG=AE=5,
∵ED：AD=3:4,
∴AD=4，DE=3，
∴AC=…(10分）．

31．(2015秋•扬中市期中)如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D,DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM．
（2)求证：AB﹣AC=2BE．

【解答】证明：（1)连接BD，DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∴BD=CD，
∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，
在Rt△DEB和Rt△DMC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），
∴BE=CM．

（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，
∵∠M=∠DEA=90°，
在Rt△DEA和Rt△DMA中

∴Rt△DEA≌Rt△DMA(HL)，
∴AE=AM，
∴AB﹣AC，
=AE+BE﹣AC，
=AM+BE﹣AC，
=AC+CM+BE﹣AC,
=BE+CM，
=2BE．

32．（2013•宁夏模拟）如图,OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．

【解答】证明：连结OD，如图，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD．

33．（2011秋•宁波期中）如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C,DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．

【解答】解：连接OM
∵OD=OM,
∴∠ODM=∠OMD，
∵DM平分∠ODC，
∴∠ODM=∠CDM，
∴∠CDM=∠OMD，
∴CD∥OM，
∵CD⊥AB，
∴OM⊥AB，
∴弧AM=弧BM，
即点M为劣弧AB的中点．

34．(2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．

【解答】解：连接AE,
∵CE为直径,
∴∠EAC=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠AEC，
∵CD是高,D是垂足，
∴∠BCD=90°﹣∠B,
∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等)，
∴∠ACE=∠BCD，
∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，
∴∠ACD=∠BCE．

35．已知：如图,AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．

【解答】证明:∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°,
∴∠E+∠BAE=90°，
∵AF⊥BC于D,
∴∠FAC+∠ACB=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠FAC，
∴弧BE=弧CF，
∴BE=CF．

36．（2015秋•哈尔滨校级期中)已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE,AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．

【解答】证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°,
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵弦BE=DE，
∴=，
∴∠DAE=∠BAE,
∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE,
∴∠B=∠C，
∴AC=AB．

37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点,E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？

【解答】解:AD和BF相等．理由：如图,

连接AC、BC，
∵OC⊥AB，
∴∠BOC=90°
∴∠BDC=∠BAC=45°
∵EC⊥CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形，
∴DC=FC，AC=BC，
∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠DCA=∠FCB
在△ACD和△BCF中，
｛，∴△ACD≌△BCF
∴DA=BF．

38．如图,AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F,求证：∠FCD=∠ACE．

【解答】证明：连接AD，AE，
∵AB是直径．AB⊥DE，
∴AB平分DE,弧ACE=弧AD,
∴∠ACD=∠ADE,
∵A、C、E、D四点共圆，
∴∠FCE=∠ADE，
∴∠FCE=∠ACD，
∴∠FCE+∠DCE=∠DAC+∠ECD,
∴∠FCD=∠ACE．

39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,作CE⊥AD,垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．

【解答】解：
延长CE交⊙O于M，
∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，
∴弧AC=弧AM，
∴∠ACF=∠ABC（在同圆中,等弧所对的圆周角相等）．

40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D,连接BD，CD,判断△DBC的形状，并说明理由．

【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：
∵AD为△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴△DBC为等腰三角形．

一．解答题（共6小题）
1．如图,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F,∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？

【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下:
连接AD,如图,
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠AGD=∠ADC,
∵∠FGC=∠ADC,
∴∠FGC=∠AGD

2．如图,AB是圆O的直径,C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E,AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等?为什么？

【解答】解：AF=FG，
理由是：连接AD，
∵AB是直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D为弧AC中点,
∴∠DAC=∠ABD，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AF=DF，∠FAE=∠DAC，
∴DF=FG，
∴AF=FG．

3．如图,AB为⊙O的直径,以OA为直径作⊙C，AD为⊙O的弦，交⊙C于E，试问，当D点在⊙O上运动时（不与A重合）,AE与ED的长度有何关系？证明你的结论．

【解答】解:AE=ED．
理由：连接OE，
∵AO是⊙C的直径，
∴∠OEA=90°，
∴OE⊥AD，
∵OE过圆O的圆心O，
∴AE=ED．

4．如图,OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证:D是AB的中点．

【解答】证明:连接OD，
∵OA为⊙C的直径，
∴∠ODA=90°，即OD⊥AB，
∴D是AB的中点．

5．（2007•鄂尔多斯）如图,在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．
求证:（1）F是BC的中点；
(2）∠A=∠GEF．

【解答】证明一：
(1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=DC=AB，（2分）
∵DC是⊙O的直径，
∴DF⊥BC，（4分)
∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）

（2）∵D,F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，（6分)
∴∠A=∠BDF，（7分）
∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理)，（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分)

证明二：
(1)连接DF，DE，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）
∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
∴EF=CD，DF=EC．（2分）
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴EF=CD=BD=AB．（3分）
∴△DBF≌△EFC．（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点．(5分)

（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）
∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC)，
∴∠A=∠FEC．（7分）
∵∠FEG=∠BDF(同弧所对的圆周角相等 ），（8分）
∴∠A=∠GEF．(9分）
（此题证法较多,大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．)

6．（2000•兰州）如图,圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP,AP=BH．

【解答】证明：(1)在△DHC与△DPC中，
∵∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，DH⊥BH，DC为公共边，
∴△DHC≌△DPC，
∴CH=CP．

（2）连接DB，由圆周角定理得，
∠DAC=∠DBH,
∵△DHC≌△DPC，
∴DH=DP，
∵DP⊥AC，DH⊥BH,
∴∠DHB=∠DPC=90°，
∴△DAP≌△DBH，
∴AP=BH．