二次根式定义及性质.doc

(完整版)二次根式定义及性质
二次根式定义及性质

教学内容：
1.学习目标：理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:,，，并利用它们进行计算和化简．

2.重点：；，及其运用．

3。难点：利用，，解决具体问题.

知识点一：二次根式的概念
　　一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

知识点二：二次根式的性质
　　1.；
　　2。；
　　3。；
　　4。 积的算术平方根的性质：；
　　5。 商的算术平方根的性质：.

知识点三:代数式
　　形如5，a，a+b,ab，，x3,这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression）。

经典例题透析
类型一：二次根式的概念
　　例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:
　　　　　　、、、(x＞0）、、、、、（x≥0，y≥0）．
　　思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0．
　　解：二次根式有:、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0);
　　　　不是二次根式的有：、、、．

　　例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？
　　思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x—1≥0,才能有意义．
　　解:由3x—1≥0,得：x≥
　　　　当x≥时，在实数范围内有意义．
　　总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

　　举一反三
　　【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
　　(1）； (2)；
　　解：(1）由≥0，解得：x取任意实数
　　　　　　∴ 当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义。
　　　　（2）由x-1≥0，且x-1≠0,解得:x＞1
　　　　　 ∴ 当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

【变式2】当x是多少时,+在实数范围内有意义?
　　思路点拨：要使+在实数范围内有意义,
　　　　　　　 必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．
　　解：依题意，得
　　 　　由①得：x≥—
　　 　　由②得：x≠—1
　　　　 当x≥-且x≠—1时，+在实数范围内有意义．

类型二：二次根式的性质
　　例1、计算：
　　（1） 　　　　　　　(2) 　　　　(3) 　　　　　　(4)
　　(5)（b≥0)　　　　(6）
　　思路点拨：我们可以直接利用（a≥0）的结论解题．
　　解:
　　(1） 　 　　　　（2)=；　　　　　　(3）；
　　(4)=；　(5);
　　(6)．

　　举一反三
　　【变式1】计算：
　　(1）；　　　（2）；
　　（3)； 　　　　(4)。
　　思路点拨：(1）因为x≥0,所以x+1＞0;　　　 (2）a2≥0；
　　　　　　　 (3）a2+2a+1=(a+1)2≥0；　　　　　(4)4x2—12x+9=（2x)2-2·2x·3+32=（2x-3)2≥0．
　　　　　　　 所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．
　　解：（1）因为x≥0，所以x+1＞0
　　　　　　；
　　　　(2）∵a2≥0，∴；
　　　　（3）∵a2+2a+1=(a+1)2
　　　　　 又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；
　　　　(4）∵4x2—12x+9=(2x）2-2·2x·3+32=(2x-3)2
　　　　　 又∵（2x-3）2≥0
　　　　　 ∴4x2—12x+9≥0,∴=4x2—12x+9.

　　例2、化简:
　　(1); (2)； (3); (4）。
　　思路点拨：因为（1)9=32，（2)(-4）2=42，(3)25=52，（4）（—3）2=32，所以都可运用去化简．
　　解：(1）==3； 　(2）==4；
　　　　(3）==5；　(4)==3。

　　例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，并根据这一性质回答下列问题．
　　（1)若=a，则a可以是什么数？
　　(2)若=-a,则a可以是什么数？
　　（3）＞a，则a可以是什么数？
　　思路点拨:
　　∵=a(a≥0)，
　　∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( ）2”中的数是正数，
　　因为，当a≤0时,=，那么—a≥0．
　　(1)根据结论求条件;(2）根据第二个填空的分析，逆向思想;（3）根据(1）、(2）可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢?
　　解：(1）因为，所以a≥0；
　　　　（2）因为，所以a≤0;
　　　　（3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，
　　　　　 要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.

类型三：二次根式性质的应用
　　例1、当x=—4时,求二次根式的值。
　　思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同。
　　解：将x=-4代入二次根式,得=.

　　例2、(1)已知y=++5,求的值．
　　　　　　（2)若+=0，求的值．
　　解：(1)由可得，,
　　　　(2)

　　例3、在实数范围内分解因式：
　　(1）x2—5; (2)x3—2x；
　　解:(1）原式
　　　　　　　。
　　　 （2）原式
　　　　　　　.
学习成果测评
基础达标
　　一、选择题
　　1.下列式子中，不是二次根式的是( ）
　　A． 　　　B． 　　　C．　　　 D．

　　2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )
　　A．5 　　　B． 　　　C． 　　　D．以上皆不对

　　3.(福建省福州市）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
　　A．x＞0 　　　B．x≥0 　　　C．x ≠ 0　　　 D．x≥0且x ≠ 1

　　4．的值是( )
　　A．0 　　　B． 　　　C．4　　　 D．以上都不对

　　5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
　　A． 　　　B．
　　C． 　　　D．

　　6.(辽宁省大连市） 如图，数轴上点N表示的数可能是（　）
　　A．　　　　　　B．
　　C． 　　　　　　D．

　二、填空题
　　1.若，则 x = ____________。

　　2.若有意义，则的取值范围是____________.

　　3．—=________．

　　4。=____________.

　　5.=____________。

　　6.若,则____________.

　　7.若，则____________;若，则____________.

　　8.化简:=__________。

　　9。 计算：（1)=_______;
　　　　　　 (2)=________；
　　　　　　 （3) =________。

　　10。(内蒙古鄂尔多斯市）如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有_______个．

　　三、解答题
　　1。 求下列二次根式中字母a的取值范围：
　　（1）， (2)； （3).

　　2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少?

能力提升
　　一、选择题
　　1。使式子有意义的未知数x有( )个
　　A．0　　　 B．1　　　 C．2 　　　D．无数

　　2。（山西省临汾市) 若，则与3的大小关系是( )
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．

　　3.下列计算正确的是( ）
　　A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．

　　4.（福建省厦门市) 下列四个结论中,正确的是（ )
　　A。 　　　B. 　　　C。 　　　D。

　　二、填空题
　　1。若,则____________。

　　2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

　　3.已知实数在数轴上的对应点如图所示，则____________。

　　三、解答题
　　1.当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

　　2.若+有意义,求的值.

　　3。（北京市海淀区) 已知实数x，y满足，求代数式的值。

　　4.已知，求x+y的值.

综合探究
　　1。(福建省南安市) 观察分析下列数据,寻找规律：0,，，3,2,，3,……那么第10个数据应是____________.

　　2.（江苏省苏州市)等式中的括号应填入____________.

　　3．先化简再求值:当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下：
　　 　甲的解答为：原式=a+=a+(1—a)=1；
　　　 乙的解答为：原式=a+=a+(a—1）=2a-1=17．
　　两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

　　4. 若时，试化简。

　　5．在实数范围内分解下列因式：
　　（1); (2).

二次根式定义及性质测试题
一、复习
1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？

3、求下列各数的平方根： 4、求下列各数的正平方根：

（1）4； （2）0.16； （3）. （1）225； (2）0.0001； （3）。
二、二次根式的意义
1. 二次根式的意义
代数式______________叫做二次根式，读作______________，其中__________是被开方数. 通常把形如_________________的式子也叫做二次根式。

2．二次根式何时有意义
二次根式有意义的条件是___________________________。

3. 例题
例题1 下列各式是二次根式吗?
、、、 、、.

例题2 设x是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义?
（1）； （2）; （3）； (4）.

4．练习（一)
设x是实数,当x 满足什么条件时,下列各式有意义？
（1); （2)； （3）.
三、二次根式的性质
性质1：______________________； 性质2：________________________________；

性质3：______________________; 性质4：________________________________.

例题3 求下列二次根式的值：
（1); （2），其中.

例题4 化简二次根式
(1）;（2)；（3）；

（4)；（5）;（6）

例题5 设a、b、c分别是三角形三边的长，化简：

练习(二）：1、化简下列二次根式
（1)； （2)； (3）；

（4）； （5）； (6）6

2、选择题
（1)、实数a、b在数轴上对应的位置如图，则（ ）
·
·
·
·
a
b
0
1
A、b-a B、2-a—b C、a—b D、2+a-b
（2）、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
（3）、如果,那么x的取值范围是（ ）
A、1≤x≤2 B、1＜x≤2 C、x≥2 D、x＞2

最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式符合的两个条件：
（1）_________________________________________________；
（2）_________________________________________________。

例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式：
(1）；（2)；（3）；（4)

例题7 将下列二次根式化成最简二次根式:
(1）;（2）；(3）

2、练习（三）
（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：

（2)找出下列二次根式中的非最简二次根式,并把它们化成最简二次根式：

（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：

3、同类二次根式
几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

例题9 合并下列各式中的同类二次根式：
（1）； (2）

4、练习（四）
(1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：
A. B.

C。

（2）合并下列各式中的同类二次根式：
A. B。

13
成功在励志 成才要得法