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常用的数量关系式1、每份数份数总数 总数每份数份数 总数份数每份数 2、1倍数倍数几倍数 几倍数1倍数倍数 几倍数倍数1倍数 3、速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 4、单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 5、工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量工作时间工作效率 6、总数总份数平均数7、相遇问题 相遇路程速度和相遇时间 相遇时间相遇路程速度和 速度和相遇路程相遇时间 8、利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 利息本金利率时间税后利息本金利率时间(15%) 折扣现价原价 原价现价折扣 现价原价折扣 应纳税额各种收入税率9、加数加数和 一个加数和另一个加数被减数减数差 减数被减数差 被减数差减数 因数因数积 一个因数积另一个因数 被除数除数商 除数被除数商 被除数商除数 小学数学图形计算公式1、正方形 （C：周长 S：面积 a：边长 ）周长边长4 C=4a 面积=边长边长 S=aa=a22、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长 ）周长=(长+宽)2 C=2(a+b) 面积=长宽 S=ab 3、三角形 （s：面积 a：底 h：高） 面积=底高2 s=ah2 高=面积2底 底=面积2高 4、平行四边形 （s：面积 a：底 h：高）面积=底高 s=ah 5、梯形 （s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)高2 s=(a+b) h2 高=面积2（上底+下底）6、圆形 （S：面积 C：周长 d=直径 r=半径） 周长=直径=2半径 C=d=2r r=c2面积=半径半径 s=r27、正方体 （V:体积 a:棱长 ） 棱长和=棱长12 C=12a表面积=棱长棱长6 S表=aa6=6a2 体积=棱长棱长棱长 V=aaa=a38、长方体 （V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高） 棱长和=（长+宽+高）4 C=（a+b+h）4表面积= (长宽+长高+宽高)2 S=2(ab+ah+bh) 体积=长宽高 V=abh h=vab9、长方体、正方体体积=底面积高 V=sh h=vs s=vh9、圆柱体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长） 侧面积=底面周长高 s侧=ch c=d=2r表面积=侧面积+底面积2 s表=s侧+s底2 s底=r2 体积=底面积高 V=sh h=vs s=vh10、圆锥体 （v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径） 体积=底面积高3 V=sh3 h=3vs s=3vh 常用单位换算长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 质量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 1年=12月 大月(31天)有:1、3、5、7、8、10、12月 小月(30天)的有:4、6、9、11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 基本概念第一章 数和数的运算一 概念（一）整数1、 整数的意义 自然数和0都是整数。 2、 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、如果26=12，12是2和6的倍数，2和6是12的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 （本单元研究的数指非0自然数）一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，如：202、480、304。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数，如：5、30、405。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，如：12、108、204。 是2的倍数的数叫做偶数。 不是2的倍数的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按是否是2 的倍数可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1既不是质数也不是合数。非0自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 如把28分解质因数 ：28=227几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。 公约数只有1的两个数，叫做互质数。成互质数关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍数有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。 如果两个数成倍数关系，那么小数就是这两个数的最大公约数，大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数最大公约数是1，最小公倍数就是它们的乘积。一般关系用短除法。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 （二）小数1 小数的意义 把整数1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最大计数单位“十分之一”和整数部分的最小计数单位“一”之间的进率也是10。 2小数的分类 纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 的循环节是“ 54 ” 。 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 0.5656 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。（三）分数1 分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2 分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 3 约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （四）百分数1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。 二 方法（一）数的读法和写法 1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 （四位一级：分个级、万级、亿级） 2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 8. 百分数的写法：在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 （二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成以亿做单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 4. 大小比较 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。 （三）数的互化1. 小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：分子除以分母。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 （四）数的整除1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。 4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。 （五） 约分和通分约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。三 性质（一）商不变性质 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。 （二）小数的基本性质 小数的基本性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍 2. 小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0补足位。 （四）分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 （五）分数与除法的关系 1. 被除数除数= 被除数/除数 2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母。 四 运算的意义1整数、小数、分数加法的意义相同：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 加数+加数=和 一个加数=和另一个加数 2整数、小数、分数减法的意义相同：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 加法和减法互为逆运算。 被减数减数差 减数被减数差 被减数差减数3整数、小数、分数乘法的意义：整数：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多少。 在乘法里，0和任何数相乘都得0。 乘积是1的两个数叫做互为倒数。因数 因数=积 一个因数=积另一个因数 4 整数、小数、分数除法的意义相同：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 被除数除数=商 除数=被除数商 被除数=商除数 （四）运算定律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即ab=ba。 4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(ab)c=a(bc) 。5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)c=ac+bc 。 6. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。7除法的性质：abc=a(bc)（五）运算法则 1. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 2. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 3. 除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 4. 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 5. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 6. 异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 7. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 8. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 （六） 运算顺序 1. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。 2. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 五 应用（一）整数和小数的应用 1.复合应用题 （1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。 （2）常见的数量关系： 总价= 单价数量 路程= 速度时间 工作总量=工作时间工效效率 总产量=单产量数量 2.典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：总数总份数=平均数。 （2） 归一问题： 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法求总数。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法求份数 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。数量关系式：单一量份数=总数量（正归一） 总数量单一量=份数（反归一） 例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 （ 477 4 31 ） =45 （天） （3）归总问题：先求出总数，再求单一量或份数。 例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 6 4=1200 （米） （4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。 解题规律：（和差）2 = 大数 大数差=小数 （和差）2=小数 和小数= 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 12 ） 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 87=7 （人） （5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。 解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和倍数和=标准数 标准数倍数=另一个数 例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 列式为（ 115-7 ）（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 5+7=97 （辆） （6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差（倍数1 ）= 标准数 标准数倍数=另一个数。 例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）（ 3-1 ） =17 （米）乙绳剩下的长度， 17 3=51 （米）甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）剪去的长度。 （7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。 解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程=速度和时间。 同时相向而行：相遇时间=速度和时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差时间。 例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追及路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 （ 16-9 ） =4 （小时） （8）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1 棵树=总路程株距+1 株距=总路程（棵树-1） 总路程=株距（棵树-1） 沿周长植树 棵树=总路程株距 株距=总路程棵树 总路程=株距棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。 分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 （ 301-1 ）（ 201-1 ） =75 （米）（9）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。 解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。 例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）（ 4-1 ） =12 （年） （10）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。 解题规律：（总腿数鸡腿数总头数）一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数-2总头数）2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数=（4总头数-总腿数）2 兔的头数=总头数-鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？ 兔子只数 （ 170-2 50 ） 2 =35 （只） 鸡的只数 50-35=15 （只） - （二）分数和百分数的应用 1分数乘法应用题： 求一个数的几（百）分之几是多少，用乘法。 单位“1”的量问题所对应的分率分率的对应量2 分数除法应用题： 求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几），用除法。 一个数另一个数分率求一个数比另一个数多（少）百分之几，用除法。 多（少）的数量单位“1”的量多（少）百分之几已知一个数的几分之几（或百分之几 )是多少 ,求这个数。 已知数量它所对应的分率单位“1”的量。 3 百分率 发芽率=发芽种子数/试验种子数100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100% 4 工程问题： 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 数量关系式： 工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 工作总量工作效率和=合作时间 6 纳税 缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ）的比率叫做税率。 * 利息 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。 利息=本金利率时间 第二章 度量衡一 长度 长度常用单位 * 千米(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 单位之间的换算 * 1千米 1000 米 1米 10分米100厘米* 1分米 10 厘米 * 1厘米 10 毫米 二 面积 （一）什么是面积 面积，就是物体所占平面的大小。 （二）常用的面积单位 * 平方千米 * 平方米 * 平方分米 * 平方厘米 * 平方毫米（三）面积单位的换算 * 1平方米 100 平方分米 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方厘米 100 平方毫米 * 1平方千米 100 公顷 * 1公倾 10000 平方米三 体积和容积 （一）什么是体积、容积 体积，就是物体所占空间的大小。 容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 （二）常用单位 1 体积单位 * 立方米 * 立方分米 * 立方厘米 2 容积单位 * 升 * 毫升 （三）单位换算 1 体积单位 * 1立方米=1000立方分米 * 1立方分米=1000立方厘米 2 容积单位 * 1升=1000毫升 * 1升=1立方分米 * 1毫升=1立方厘米 四 质量 1.常用单位 * 吨 t * 千克 kg * 克 g 2.常用换算 * 1吨=1000千克 * 1千克=1000克 五 时间 1.常用单位 世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒 2.单位换算 * 1世纪=100年 * 1年=365天 平年 * 1年=366天 闰年 * 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天 * 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天 * 平年2月有28天 闰年2月有29天 * 1天= 24小时 * 1小时=60分=3600秒 * 1分=60秒 六 货币 单位换算 * 1元=10角 * 1角=10分 第三章 代数初步知识一、用字母表示数 1 用字母表示数的意义和作用 * 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。 2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 （1）常见的数量关系 路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系： s=vt v=st t=sv 总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系: a=bc b=ac c=ab （2）运算定律和性质 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc) 乘法分配律：（a+b)c=ac+bc 减法的性质：a-(b+c) =a-b-c （3）用字母表示几何形体的公式 长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。 c=2(a+b) s=ab 正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。 c=4a s=a 平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。 s=ah 三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。 s=ah/2 梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示。 s= (a+b) h/2 圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。 c=d=2r s= r 长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。 s=2(ab+ah+bh) v=abh v=sh 正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示， 体积用v表示. s=6a v=a 圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示. s侧=ch s表=s侧+2s底 v=sh 圆锥的高用h表示，底面积用s表示， 体积用v表示. v=sh/3 3 用字母表示数的写法 二、简易方程 （一）方程和方程的解 1方程：含有未知数的等式叫做方程。 注意：方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。 方程一定是等式，等式不一定是方程。2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 三、解方程 解方程，求方程的解的过程叫做解方程。 四、列方程解应用题1 列方程解应用题的意义 * 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。 2 列方程解答应用题的步骤 * 弄清题意，确定未知数并用x表示； * 找出题中的数量之间的相等关系； * 列方程，解方程； * 检查或验算，写出答案。 五 比和比例 1比的意义和性质 （