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与轴对称相关的线段之和最短问题
监利县第一初级中学 刘光杰
QQ 1519819521
一．问题的引入：
在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题

在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。
二．数学模型：
1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小

为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”

4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的
周长最小。

为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”
5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”
三.两边之和大于第三边型
(一)直线类
1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M
则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小
如右图，在直角△AB'E中，
AE = AC+CE = 10+30 = 40
EB' = 30
所以：AB' = 50
总费用为：50×3 = 150万

2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值

(1)AC = ，CE =
则AC+CE = +
(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小
连接AE，交BD于点C，则AE就是AC+CE的最小值
最小值是10
(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值
在直角△AEF中,AF = 5 EF = 12
根据勾股定理 AE = 13

3．求代数式（0≤x≤4）的最小值
如右图，AE的长就是这个代数式的最小值

在直角△AEF中
AF = 3 EF = 4
则AE = 5
所以，这个代数式的最小值是5

(二)角类
4．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.
 解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，
连结P1P2分别交OA、OB于C、D，
则C、D就是建加油站的位置.
若取异于C、D两点的点，
则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.
点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

5．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，
交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，
则OP = OP1 = OP2 = 10
且∠P1OP2 = 90°
由勾股定理得P1P2 = 10

(三)三角形类
6．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为
即在AC上作一点P，使PB+PE最小
作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E = PB'+PE = PB+PE
B'E的长就是PB+PE的最小值
在直角△B'EF中，EF = 1，B'F = 3
根据勾股定理，B'E =

7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小
作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。
在直角△DBC'中
DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=

8．等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值
分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC = B’N+MN+MC’ = B’C’， BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值
∵∠BAC’ = ∠BAC，∠CAB’ = ∠CAB
∴∠B’AC’ = 60°
∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB
∴AC’ = AB’
∴△AB’C’是等边三角形
∴B’C’ = 20

9．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值

因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = = = 3
在直角△BHE中，BE = = = 2
(四)正方形类
10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。
即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小
故作点D关于AC的对称点B，连接BM，
交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ
线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值
在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，
则ＢＭ＝１０
故DN＋ＭＮ的最小值是１０

11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小
点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值
BE = AB = 2

12．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
即在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小
因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点
DQ = PD+PQ = PB+PQ
故DQ的长就是PB+PQ的最小值
在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2
根据勾股定理，得，DQ =

13．如图，四边形ABCD是正方形， AB = 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值
在直角△ABE中，求得AE的长为5
(五)矩形类
14．如图，若四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；
作点C关于BD的对称点C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值
直角△BCD中，CH = 错误！未定义书签。
直角△BCH中，BH = 8
△BCC'的面积为：BH×CH = 160
所以 C'E×BC = 2×160 则CE' = 16

(六)菱形类
15．如图，若四边形ABCD是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值
在等腰△EAB中，求得AE的长为5

(七)直角梯形类
16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）
A、 B、 C、 D、3

作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P
则A'D = PA'+PD = PA+PD
A'D的长就是PA+PD的最小值
S△APD = 4
在直角△ABP中，AB = 4，BP = 1
根据勾股定理，得AP =
所以AP上的高为：2×=

(八)圆类
17．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小
作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值
连接OA'，OB，则∠A'OB=90°，
OA' = OB = 4
根据勾股定理，A'B = 4

18．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(    )

A  2   B     C  1   D  2
即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小
作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，
则点P就是所要作的点
A'B的长就是PA+PB的最小值
连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角形
所以 A'B =

(九)一次函数类
19．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小
设直线A'B的解析式为y=kx+b，则
-2=-k+b
2=4k+b
解得：k = (4/5) b = - (6/5)
所以：y = (4/5)x-(6/5)
当x = 1时，y = -(2/5)
故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小

20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
(1)由题意得：
0 = 2x+b
4 = b
解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x+4
(2)
作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P
则C'D = C'P+PD = PC+PD
C'D就是PC+PD的最小值
连接CD，则CD = 2，CC' = 2
在直角△C'CD中，根据勾股定理 C'D = 2
求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)
所以，有
0 = -k+b
2 = k+b
解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1
当x = 0时，y =1，则P(0，1)

21．如图，一次函数 y = 与反比例函数y = 交于点A，AM⊥x轴于点M，S△OAM = 1
(1)求k的值，
(2)点B为双曲线y = 上不与A重合的一点，且B(1，n)，在x轴上求一点P，使PA+PB最小
(1)由S△OAM = 1知，k = 2
(2)作点A关于x轴的对称点A’，连接A’B，交x轴于点P，连接PA，则PA+PB最小。
用待定系数法求直线A’B的解析式为y = - 3x + 5，
因为点P在x轴上，所以设 y = 0，即0 = - 3x + 5，
解得 x =
所以P( ，0)

22．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
(1)点B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B'(3，5)、C'(5，-2)
(2)坐标平面内任一点P(a，b)关于直线l的对称点P'的坐标为(b，a)
(3)作点E关于直线l的对称点E'，连接DE'，交直线l于点Q
则QE+QD的值最小
设直线DE'的解析式为：y = kx+b，因为D(1，-3)、E'(-4,-1)，则
-3 = k+b
-1 = -4k+b
解得：k = - ，b = -
所以 y = - x -
当x = y时，有x = y = -
则Q点的坐标为(- ，- )

(十)二次函数类
23．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）
(1)B(1，)
(2)
(3)因为点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，
交对称轴于点C，则△BOC的周长最小
，当x=-1时，y =
所以C(-1，)

24．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为 (1，- )，交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0，- )．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．
判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，
若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)
作点B关于AC的对称点G，连接DG，交AC于点F，则△FBD的周长最小
因为CF∥BD，CG = ，所以F()
25．如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
(1) y =
 (3)作点C关于x轴的对称点C’，连接C’D，交x轴于点M，则MC+MD的值最小，求出直线C’D的解析式，即可得到M点的坐标

方法点拨：此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建泵站问题”。

26．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；
(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A；
①证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；
②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。
(2)
连接BC，交直线l于点D，则DA+DC = DB+DC = BC，
BC的长就是AD+DC的最小值
BC：y = -x + 3
则直线BC与直线x = 1的交点D(1，2)，

27．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
(1) y = x2 – 4x - 5
(2)BC：y = x - 5
P(2，-3)

28．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；
(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，
在直角△ACO中 OA = 1，AC = 2
根据勾股定理，得 OC =
故C(，0)
设直线BC的解析式为y = kx+b，则
3 = b
0 = +b
解得 k = - ，b = 3
(2)因为抛物线关于y轴对称，所以设抛物线的解析式为y = ax2+c，则
1 = c
-2 = 9a+c
解得 a = - ， c = 1
在直角△ACO中 AC= 2 ，OA = 1，则 ∠ACO = 30°
在直角△BCO中 OC = ，OB = 3，则∠BCO = 60°
所以CA是∠BCO的角平分线
即直线BC和x轴关于直线AC对称
因为点P关于直线AC的对称点在ｘ轴上
故点P应在直线BC和抛物线上，则有方程组
y = -+ 3
y = - + 1
解得 x1 = y1= 0 x2 =2 y2 = -3
所以 P(，0)，或(2，-3)
(3)当点M在y轴上运动时，PM+CM没有最大值，只有最小值，所以
求PM+CM的取值范围，就是要求PM+CM的最小值
当点P与点C重合时，即Ｐ（，０）
点M在原点，PM+CM的值最小，PM+CM = 2
所以 PM+CM ≥ 2
当点P(2，-3)时
作点C关于y 轴的对称点E，过点P作x轴的垂线，垂足为F
在直角△EFP中，EF = 3，PF = 3
根据勾股定理，得EP = 6
所以PM+CM的最小值是6，则 PM+CM ≥ 6

29．如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，0)、C(0，2)，D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN = 90°？若存在，请直接写出点的坐标．

(1)△OCP≌△ODP
(2)过点B作∠AOC的平分线的垂线于点P，点P即为所求过点P作PM⊥BC于点M，则 PM = = 1
所以点P的纵坐标为3，又因为点P在∠AOC的平分线上，
则P(3，3)
因为抛物线过原点，故设 y = ax2 + bx
又抛物线经过点P(3，3)，D(2，0)
所以解得 a = 1，b = -2
则抛物线的解析式为 y = x2 – 2x
(3)点D关于∠AOC的平分线的对称点是点C，连接CE交OF于点P，则△PDE的周长最小
抛物线的解析式为 y = x2 – 2x的顶点E(1，-1)，C(0，2)
设直线CE的解析式为y = kx+b，则
解得 k = -3，b = 2
直线CE的解析式为y = -3x+2
点P的坐标满足解得 x = ,y =
所以P(，)
△PDE的周长即是CE + DE = +
(4)存在这样的点P，使∠CPN = 90°，坐标是(，)或(2，2)

30．已知：抛物线y = ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x = -1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(-3，0)、C(0，-2)
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．
试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
(1)由题意得 解得 a =，b = ，c = - 2
∴抛物线的解析式为 y =

(2)点B关于对称轴的对称点是点A，连接AC交对称轴于点P，则△PBC的周长最小
设直线AC的解析式为 y = kx +b，因为A(-3，0)，C(0，-2)，则
解得 k = ，b = -2
所以直线AC的解析式为 y = x – 2
把x = -1代入得y = ，所以P(-1，)
(3)S存在最大值
∵DE∥PC，∴，即
OE = 3 - ，AE = OA–OE =
方法一，连接OP
S = S四边形PDOE – S△OED = S△POE + S△POD – S△OED
= + -
= =
所以，当m = 1时，S最大 =
方法二，
S = S△OAC – S△AEP – S△OED – S△PCD
= =

(十一)建桥选址类
31．如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

作法：设a、b的距离为r。
①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'；
②连接AB'，交a于C；
③过C作CDb于D；
④连接AC、BD。
证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，
∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD
∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B
在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B'
同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B
而AC'＋C'B'>A B'
∴AC＋CD＋DB最短。
本题是研究AC＋CD＋DB最短时的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以问题集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能衔接，可将BD平移B1C处，则AC＋DB可转化为AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，显然，A、C、B'三点要在同一条直线上。

32．如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段)
1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q'；
2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P；
3)在直线L上截取线段PQ=P'Q..
则此时AP+PQ+BQ最小.
略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形.
下面只要说明AP+BQ<AP'+BQ' 即可.
点A与A'关于直线L对称，则AP=A'P,AP'=A'P'.
故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';
AP'+BQ'=A'P'+B'P'.
显然,A'B'<A'P'+B'P'；(三角形三边关系)
即AP+BQ<AP'+BQ'.

33．如图，护城河在CC’处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD’，EE’，设护城河是东西——南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD’，EE’的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？

如图，作BB’⊥a，AA’ ⊥b，且BB’ = 4，AA’ = 4，连接A’B’，交河岸于点E’，D’，分别过点E’、D’架设桥梁DD’，EE’，则ADD’E’EB是最短路线。
因为四边形ADD’A’、四边形BEE’B’都是平行四边形，所以BE = B’E’，AD = A’D’，因为A’，B’之间线段最短，所以ADD’E’EB是最短路线，又BF = 64，AF = 84，所以B’F = 60，A’F = 80，在直角三角形A’B’F中，由勾股定理得，A’B’ = 100，所以最短路线为108米

34．如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y = ax2上．
(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
(2)　平移抛物线y = ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
(1)直线AP的解析式为：y = - x +
则Q的坐标为（，0）

(2)
①解法一：CQ = |- 2 - | =
则抛物线 y = x2向左移动个单位时，A’C+B’C最短
抛物线的解析式为：y = （x+）2
解法二：将抛物线 y = x2向左移动m个单位，则A’( - 4-m，8)，B’(2-m，2)，点A’关于x轴的对称点是A’’(-4-m，-8)，
直线A’’B’的解析式为：y = x + m -
要使A’C+B’C最短，则点C应在直线A’’B’上，将点C(-2，0)的坐标代入到直线A’’B’的解析式，得m =
则抛物线 y = x2向左移动个单位时，A’C+B’C最短
抛物线的解析式为：y = （x+）2
(2) ②
抛物线向左或向右平移时，使四边形A′B′CD的周长最短，因为A’B’ + CD 是定值，只要使A’D + B’C最短即可
当抛物线向右移动时，因为A’D > AD，B’C > BC，所以A’D + B’C > AD + BC，则在不存在一个向右的位置，使四边形A′B′CD的周长最短
当抛物线向左移动时，设A’(-4-a，8)，B’(2-a，2)，因为CD = 2，则将点B’向左平移2个单位得到点B’’(-a，2).
点A’关于x轴的对称点是A’’(-4-a，-8)，
直线A’’B’’的解析式为：y = x + m + 2
要使A’D + B’’D最短，点D应在直线A’’B’’上
将点D(-4，0)的坐标代入到直线A’’B’’的解析式，得m =
故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y = （x+）2
提示：
① 方法一，A′关于x轴对称点A〞，要使A′C+CB′最短，点C应在直线A〞B′上；
方法二，由（1）知，此时事实上，点Q移到点C位置，求CQ=14／5，即抛物线左移14／5单位；
②设抛物线左移b个单位，则A＇（-4-b，8）、B＇（2-b，2）。∵CD=2，∴B＇左移2个单位得到B″（-b，2）位置，要使A′D+C B＇最短，只要A′D+DB″最短。则只有点D在直线
A″B″上。
(十二)立体图形
35．桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
析：展开图如图所示，作A点关于杯口的对称点A’。则BA’==15厘米

36．一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？

展开图如右图所示，作点B关于CD的对称点B’，连接AB’，交CD于点P，则蚂蚁爬行路线A→P→B为最短，且AP+PB = AB+PB’，
在直角△AEB’中，AE = CD = 12，EB’ = ED + DB’ = AC + BD = 12 + 8 = 20
由勾股定理知，AB’ = 25
所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm

四.两点之间线段最短型
37．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．
（1）求、，并比较它们的大小；
（2）请你说明的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。
第（3）问是“三折线”转“直”问题 。
再思考-------设计路线要根据需要设计，是P处分别往A、B两处送呢，还是可以先送到A接着送到B。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需考虑一个方案路线，P→A→B。

(1)在图(1)中
过点A作AC⊥BQ于点C，则BC = BQ-CQ = 40-10= 30，AB= 40，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC = 40，所以PQ = 40
在Rt△BPQ中，根据勾股定理，得PB = 40
所以S1= PA+PB = 10+40
在图(2)中
S1 = A'B = PA+PB = = = 10
(2)如图(2)
在△EA'B中，有EB+EA'>A'B
因为S1= EB+EA'，S2= A'B
所以S1> S2

(3)如图(3)
分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A'，B'，连接A'B'，交x轴、y轴
于点P、Q，则四边形PABQ的周长最小
构造如图
在Rt△A'B'C中，B'C = 30+30+40 = 100，
A'C = 10 +40 =50
所以A'B' = =50

38．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

(2)
①连接AC，交BD于点M，则AM+CM的值最小
②连接CE交BD于点M，则AM+BM+CM的值最小
∵AM=EN，BM=NM，
∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC
根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短

(3)
过点E作CB的延长线的垂线，垂足为F
设正方形ABCD的边长为2x
则在直角△BEF中，∠EBF=30°，所以，EF=x，根据勾股定理：BF=
在直角△CEF中，根据勾股定理： CE2 = EF2 + FC2
得方程：
解得：x =
所以：2x =

分析：本题在最短矩离这一问题中，利用了数形结合的思想，综合考查学生几何、代数知识的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：认知——论证——应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计由简单的三角形全等的证明让学生得出边之间的相等关系，这里隐藏着由旋转角60°得出的等边三角形，从而得出BM=MN；第二小问设计的是一个探究过程，让学生综合学习过的基本数学知识进行探索，看学生对“两点之间，线段最短”的掌握，要求学生具备转化能力，建模能力等；第三小问的设计主要是将所探究的结论进行运用，拓展，体现了数形结合的思想理念。整个过程体现了特殊问题中的一般规律，是数学知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模型。
五.垂线段最短型
39．如图，在锐角△ABC中，AB = ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小值
在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4

40．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N = MB'+MN = MB+MN
B'N的长就是MB+MN的最小值
则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。所以AN = 1
在直角△