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九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是（ ）
A．－5 B．－ C． D．5
2．若二次函数y＝x2＋4x－1配方后为y＝(x＋h)2＋k，则h、k的值分别为（ ）
A．2，5 B．4，－5 C．2，－5 D．－2，－5
3．二次函数y＝x2＋2x－5有（ ）
A．最大值－5 B．最小值－5 C．最大值－6 D．最小值－6
4．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
5．如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S△ABC＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
y
B
1
2
A
C
O
x
C
A
y
x
B
A1
B1
O
C
A
B
S2
S1
第4题图
第5题图
第6题图
6．如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B1的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A．－(a－1) B．－a C．－(a＋1) D．－(a＋3)
7．若当x＞1时二次函数y＝－x2＋2bx＋c的值随x值的增大而减小，则b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
8．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BD＝2BE，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－
9．如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象过点A(m，2)和CD边上的点E(n，)，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0，－2)，则点F的坐标是（ ）
A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0)
第9题图
G
O
y
B
F
C
A
D
E
x
A
B
C
D
E
F
P
B
E
C
M
F
D
A
第8题图
第10题图
10．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于E、F两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（ ）
O
O
O
O
x
x
x
x
y
y
y
y
1
2
1
2
1
2
1
2
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－3，0)且对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝ ．
12．如图，一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝的图象交于A(1，4)、B(4，1)两点．若使y1＞y2，则x的取值范围是 ．
A
B
G
G
O
F
C
D
A1
F1
B1
y
第13题图
第12题图
第14题图
x
O
A
B
O
y
A1
B1
A2
l
x
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝－x－1，双曲线y＝．在l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…．记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2014＝ ．
14．如图，以点O为支点的杠杆，在A端始终用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速缓慢地拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．在下列结论中，正确的是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)．
①△OB1C∽△OA1D；②OA•OC＝OB•OD；③OC•G＝OD•F1；④F＝F1．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(注：网格线的交点称为格点)．
(1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画出一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
A
B
C
第15题图
16．已知反比例函数y＝的图象与二次函数y＝ax2＋x－1的图象相交于点(2，2)．
(1)求a和k的值；
(2)判断反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点并说明理由．
A
B
C
D
E
F
第17题图
y
x
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于点A(－1，0)、B，对称轴与
x轴交于点D，过顶点C作CE⊥y轴于点E，连接BE交CD于点F．
(1)求该抛物线的解析式及顶点C的坐标；
(2)求△CEF与△DBF的面积之比．
第18题图
A
B
C
D
E
F
G
H
18．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H．已知BD＝12，EF＝8，求：
(1)的值；(2)线段GH的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
A
O
x
M
y
第19题图
19．反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，过点A(1，0)作x轴
的垂线，交反比例函数y＝的图象于点M，△AOM的面积为3．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设点B的坐标为(t，0)，其中t＞1．若以AB为一边的正方形有
一个顶点在反比例函数y＝的图象上，求t的值．
20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天)
1≤x＜50
50≤x≤90
售价(元/件)
x＋40
90
每天销量(件)
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
六、（本题满分12分）
O
x/min
y/℃
40
1000
第21题图
21．某研究所将一种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA＝kx＋b、yB＝(x－60)2＋m(部分图象如图所示)，当x＝40时，两组材料的温度相同．
(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式；
(2)当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
(3)在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？
七、（本题满分12分）
D
C
E
F
G
M
A
B
第22题图
22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝，且DM交AC于F，ME交BC于G．
(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)连接FG，如果＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．
八、（本题满分14分）
23．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边AC、BC上(图2、图3备用)．
(1)设AC＝3，BC＝4，当△CEF与△ABC相似时，求AD的长；
(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
A
B
C
E
F
图1
A
B
C
图2
A
B
C
图3
九年级数学参考答案 2014.11
A
B
C
A1
A2
C2
C1
B1
B2
1～5：ACDBC 6～10：DDACC
11．0 12．x＜0或1＜x＜4 13．2 14．①②③④
15．解：如图(注：相似三角形的画法不唯一)．…每画对一个得4分．
16．解：(1)∵函数y＝ax2＋x－1与y＝的图象交于点(2，2)，
∴2＝4a＋2－1，2＝．∴a＝，k＝4．………3分
(2)反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点．………4分
由(1)知，二次函数和反比例函数分别是y＝x2＋x－1和y＝．
∵y＝x2＋x－1＝(x＋2)2－2，
∴二次函数图象的顶点是(－2，－2)．………6分
在反比例函数中，当x＝－2时，y＝＝－2，
∴反比例函数的图象过二次函数图象的顶点．………8分
17．解：(1)根据题意，得 －(－1)2＋2×(－1)＋c＝0，即c＝3．
∴y＝－x2＋2x＋3．
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点C(1，4)．………4分
(2)∵A(－1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点B(3，0)．
∴CE＝1，BD＝2．
∵CE∥BD，∴△CEF∽△BDF．
∴S△CEF∶S△BDF＝(CE∶BD)2＝(1∶2)2＝1∶4．………8分
18．解：(1)∵EF∥BD，∴＝．………2分
∵BD＝12，EF＝8，∴＝，＝．………3分
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．
∴＝．………4分
(2)∵DF∥AB，∴＝＝，＝．………6分
∵EF∥BD，∴＝＝，GH＝EF＝6．………8分
19．解：(1)设点M的坐标为(m，n)(其中m、n＞0)，则k＝mn，S△AOM＝mn＝k＝3．
∴k＝6，反比例函数解析式为y＝．………3分
(2)若以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函y＝的图象上，则
D点与M点重合，即AB＝AM．
把x＝1代入y＝，得 y＝6．
∴点M坐标为(1，6)．
∴AB＝AM＝6．
∴t＝1＋6＝7．………6分
若以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y＝的图象上，则
AB＝BC＝t－1，点C坐标为(t，t－1)．
∴t(t－1)＝6，解得 t1＝3，t2＝－2(舍去)．………9分
∴t的值为3或7．………10分
20．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；
当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000．
∴y＝………5分
(2)当1≤x＜50时，二次函数的图象开口下、对称轴为x＝45，
∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；
当50≤x≤90时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，y最大＝6000．………9分
∴综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．…10分
21．解：(1)∵抛物线yB＝(x－60)2＋m经过点(0，1000)，
∴1000＝(0－60)2＋m，解得 m＝100． ∴yB＝(x－60)2＋100．………2分
当x＝40时，yB＝×(40－60)2＋100，解得 yB＝200．
∵直线yA＝kx＋b，经过点(0，1000)与(40，200)，则
解得 ∴yA＝－20x＋1000．………5分
(2)当A组材料的温度降至120℃时，有
120＝－20x＋1000，解得 x＝44．
当x＝44，yB＝(44－60)2＋100＝164(℃)，即B组材料的温度是164℃．…8分
(3)当0＜x＜40时，
yA－yB＝－20x＋1000－(x－60)2－100＝－x2＋10x＝－(x－20)2＋100．
∴当x＝20时，两组材料温差最大为100℃．………12分
22．解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．……2分
以下证明△AMF∽△BGM．
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM．…………………………6分
(2)当α＝45°时，AC⊥BC且AC＝BC．
由勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2＝(4)2．∴AC＝BC＝4．…………7分
∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2．
又∵AMF∽△BGM，∴＝，BG＝＝＝．……9分
∴CG＝4－＝，CF＝4－3＝1．
∴FG＝＝．…………12分
23．解：(1)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5．…2分
如图1A
D
B
C
E
F
图1
A
D
B
F
E
C
图2
A
D
B
C
E
F
H
图3
，若△CEF∽△CBA，则∠CEF＝∠B．
由折叠性质可知：CD⊥EF，则∠CEF＋∠ECD＝90°，
又∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD．
同理：∠B＝∠FCD，CD＝BD．
∴AD＝AB＝2.5．………6分
如图2，若△CFE∽△CBA，则∠CEF＝∠B．
∴EF∥BC．
由折叠性质可知：CD⊥EF，则CD⊥AB．
∴△ACD∽△ABC．
∴＝，AD＝＝＝1.8．………10分
∴符合条件的AD的长为1.8或2.5．
(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由：
如图3，连接CD交EF于点H．
∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB＝AB．
∴∠DCB＝∠B．
由折叠性质可知：CD⊥EF，则∠CHF＝∠DHF＝90°．
∴∠DCB＋∠CFE＝90°．
∵∠B＋∠A＝90°，∴∠CFE＝∠A．
又∵∠C＝∠C，∴△CEF∽△CBA．………14分
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