资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )
A．y=-3 B．y=+3 C．y= D．y=
2．抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
3．在同一个直角坐标系中，一次函数y=ax+c，与二次函数y=ax2+bx+c图像大致为（ ）
A． B． C． D．
4．的值等于( )
A． B． C． D．
5．如图，在中，．以为直径作半圆，交于点，交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上的点处，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，已知，把沿轴负方向向左平移到的位置，此时在同一双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( )
A． B． C． D．
9．下列各坐标表示的点在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，∠C90°．若AB3，BC1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．a4•a＝a4 B．a6÷a3＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（ab）3＝a3b
12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m．测得斜坡的斜面坡度为i＝1：（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_____．
14．已知三角形的两边分别是3和4，第三边的数值是方程x2﹣9x+14＝0的根，则这个三角形的周长为_____．
15．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限．△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为________
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；⑤b2＞4ac；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确的说法有_____（写出正确说法的序号）
17．在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为_______千米.
18．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
20．（8分）计算:．
21．（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大．并求出最大利润．
22．（10分）（l）计算：；
（2）解方程.
23．（10分）2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，，∠ABD＝105°，求AD的长．
24．（10分）用配方法解方程：
25．（12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.
（1）求的值；
（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
26．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）在扇统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为_____；根据这次统计数据了解到最受学生欢迎的沟通方式是______．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.
【详解】∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.
2、D
【解析】把y=x2+2x﹣3配方变成顶点式，求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.
【详解】∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∵a=1＞0，
∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣1．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数最值的求法：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键.
3、D
【分析】先分析一次函数，得到a、c的取值范围后，对照二次函数的相关性质是否一致，可得答案．
【详解】解：依次分析选项可得：
A、分析一次函数y=ax+c可得，a＞0，c＞0，二次函数y=ax2+bx+c开口应向上；与图不符．
B、分析一次函数y=ax+c可得，a＜0，c＞0，二次函数y=ax2+bx+c开口应向下，在y轴上与一次函数交于同一点；与图不符．
C、分析一次函数y=ax+c可得，a＜0，c＜0，二次函数y=ax2+bx+c开口应向下；与图不符．
D、一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+bx+c常数项相同，在y轴上应交于同一点；分析一次函数y=ax+c可得a＜0，二次函数y=ax2+bx+c开口向下；符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的系数与图象的关系，有一定难度，注意分析简单的函数，得到信息后对照复杂的函数．
4、D
【分析】根据特殊角的三角函数即得．
【详解】
故选：D．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数，解题关键是熟悉，及的正弦、余弦和正切值．
5、A
【分析】连接BE、AD，根据直径得出∠BEA=∠ADB=90°，求出∠ABE、∠DAB、∠DAC的度数，根据圆周角定理求出即可．
【详解】解：连接BE、AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABD=∠C=70°.∠BAC=2∠BAD
∴.∠BAC=2∠BAD=2 （90°-70°）=40°，
∵∠BAC+=90°
∴=50°．
故选A.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，准确作出辅助线是解题的关键.
6、D
【分析】
由旋转的性质可得AB'=AB，∠BAB'=50°，由等腰三角形的性质可得∠AB'B=∠ABB'=65°．
【详解】
解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB′C′，
∴AB'=AB，∠BAB'=50°，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
7、C
【分析】作CN⊥x轴于点N，根据证明，求得点C的坐标；设△ABC沿x轴的负方向平移c个单位，用c表示出和，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式．
【详解】作CN⊥轴于点N，
∵A(2，0)、B(0，1)．
∴AO=2，OB=1，
∵，
∴，
在和中，
∴ ，
∴，
又∵点C在第一象限，
∴C(3，2)；
设△ABC沿轴的负方向平移c个单位，
则，则 ，
又点和在该比例函数图象上，
把点和的坐标分别代入，
得，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质．
8、D
【解析】试题分析：正弦的定义：正弦
由题意得，故选D.
考点：锐角三角函数的定义
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正弦的定义，即可完成.
9、B
【解析】根据反比例函数的性质，分别代入A、B、C、D点，横坐标与纵坐标的积为4即可.
【详解】A、（-1）×4= -4，故错误.
B、1×4= 4，故正确.
C、1×-4= -4，故错误.
D、2×（-2）= -4，故错误.
故选B.
【点睛】
本题考查反比例函数图像上点的坐标特征.
10、A
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，
∴sinA=.
故选A.
11、C
【分析】根据幂的运算法则即可判断.
【详解】A、a4•a＝a5，故此选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
C、（a3）2＝a6，正确；
D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.
12、B
【解析】试题解析：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误，不合题意；
B. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不合题意；
D. 无法确定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不合题意.
故选B.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、4米．
【分析】首先根据斜面坡度为i＝1：求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度，再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离．
【详解】由题意水平距离为6米，铅垂高度2米，
∴斜坡上相邻两树间的坡面距离＝（m），
故答案为：4米．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则．
14、1．
【分析】求出方程的解，再看看是否符合三角形三边关系定理即可解答．
【详解】∵x2﹣1x+14＝0，
∴（x﹣2）（x﹣7）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣7＝0，
解得x＝2或x＝7，
当x＝2时，三角形的周长为2+3+4＝1；
当x＝7时，3+4＝7，不能构成三角形；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查解一元二次方程和三角形三边关系定理的应用，解题的关键是确定三角形的第三边．
15、 (4+)
【分析】根据题意先作B3E⊥x轴于E，观察图象可知为三次一个循环，求点M的运动路径，进而分析求得翻滚10次后AB中点M经过的路径长．
【详解】解：如图作B3E⊥x轴于E，
可知OE=5，B3E=，
观察图象可知为三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：
，
则翻滚10次后AB中点M经过的路径长为：
.
故答案为：(4+).
【点睛】
本题考查规律题，解题的关键是灵活运用弧长公式、等边三角形的性质等知识解决问题.
16、②④⑤⑥
【分析】① 利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴在y轴的右侧得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，即可判断；
②利用0＜﹣＜1得到b＜﹣2a，则可对其进行判断；
③利用x＝﹣1时y的正负可对a﹣b+c进行判断；
④利用a+c＞b＞0可对其进行判断；
⑤根据抛物线与x轴交点的个数即可判断；
⑥根据二次函数的图象和性质即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴0＜﹣＜1，
∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以③错误；
∴a+c＞b，
而b＞0，
∴a+c＞0，所以④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以⑤正确；
∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以⑥正确．
故答案为：②④⑤⑥．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并数形结合是解题的关键．
17、1
【解析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．
【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两地的实际距离为2.6×1000000＝100000（cm）＝1（千米）．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
18、4千米．
【分析】根据题意在图中作出直角三角形，由题中给出的方向角和距离，先求出的长，再根据等腰三角形的性质即可求得.
【详解】过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝8×＝4（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD＝4（千米），
∴BC＝，BD＝4（千米）．
故答案为：4千米．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值和利用三角函数解三角形，属基础题.
三、解答题（共78分）
19、（1）m=9,a=1；（2）抛物线的表达式为y=x2，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【分析】（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，从而确定A点坐标，再把A点坐标代入线y=ax2可计算出m；
（2）由（1）易得抛物线的表达式为y=x2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
【详解】解：（1）把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，以及二次函数的图形的特点，熟练掌握待定系数法和函数特点是解答此题的关键．
20、2﹣1
【分析】首先计算乘方、开方、特殊三角函数值，再计算乘法，最后实数的加减法即可．
【详解】
．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、二次根式、特殊三角函数值等知识点，熟记各运算法则和特殊三角函数值是解题关键．
21、他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．
【分析】日利润=销售量×每件利润．每件利润为(x-8)元，销售量为100-10（x-10），据此得关系式．
【详解】解：由题意得，
y=（x-8）[100-10（x-10）]=-10（x-14）2+360（10≤a＜20），
∵a=-10＜0
∴当x=14时，y有最大值360
答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用．
22、（1）；（2）
【分析】（1）原式利用平方差公式和单项式乘以多项式把括号展开，再合并同类项即可得到答案；
（2）方程变形后分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
【详解】（1），
=
=；
（2）
∴，
解得，.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握解题方法是解题的关键，同时还考查了实数和混合运算.
23、2()km
【分析】作BE⊥AD于点E，根据∠CAB=30°，∠ABD=105°，可以求得∠ABE和∠DBE的度数以及BE、DE的长，进而求得AE的长，然后可求得AD的长．
【详解】作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠ABD=105°，
∴∠EBD=45°，
∴∠EDB=45°，
∵，
∴BE=DE=2km，
∴AE=，
∴AD=AE+DE=+2=2()km
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24、x1=+1，x2=+1
【分析】先把方程进行整理，然后利用配方法进行解方程，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴x1=+1，x2=+1.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法进行解一元二次方程.
25、（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.
【分析】（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；
（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；
（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.
【详解】解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴，
∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴
∴将点代入函数表达式得：，∴；
（2）设，
①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴；
②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴；
（3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°，
由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在；
②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在.
综上所述，不存在满足条件的点，使∽.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.
26、（1）108°，微信；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数，根据总人数及所占百分比即可求出使用短信的人数，总人数减去除微信之外的四种方式的人数即可得到使用微信的人数．
（2）根据短信与微信的人数即可补全条形统计图．
（3）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【详解】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%＝100人
喜欢用QQ沟通所占比例为：，
∴“QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，
喜欢用短信的人数为：100×5%＝5（人）
喜欢用微信的人数为：100−20−5−30−5＝40（人），
∴最受学生欢迎的沟通方式是：微信，
故答案为：108°，微信；
（2）补全条形图如下：
（3）列出树状图，如图所示
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：．
【点睛】
本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型．
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