资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，，如果∠A=，，那么线段AC的长可表示为（ ）．
A．； B．； C．； D．．
4．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴的正半轴交于点C．现有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下面四个实验中，实验结果概率最小的是( )
A．如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率
B．如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率
C．如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率
D．有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率
6．在中，，垂足为D，则下列比值中不等于的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y＝(x﹣4)2+2图象的顶点坐标是( )
A．(﹣4，2) B．(4，﹣2) C．(4，2) D．(﹣4，﹣2)
9．在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
10．如图，将一副三角板如图放置，如果，那么点到的距离为( )
A． B． C． D．
11．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____．
15．已知∽，若周长比为4：9，则_____________．
16．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n=_____．
17．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，正方形的面积为______，延长交轴于点，作正方形，……按这样的规律进行下去，正方形的面积为______.
18．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．
20．（8分）如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
21．（8分）如图，为外接圆的直径，点是线段延长线上一点，点在圆上且满足，连接，，，交于点.
（1）求证：.
（2）过点作，垂足为，，，求证：.
22．（10分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定甲打第一场，再从其余3位同学中随机选取1位，则恰好选中乙同学的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
23．（10分）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为多少？
24．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；
（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；
（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．
25．（12分）若，且3a+2b﹣4c=9，求a+b﹣c的值是多少？
26．用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（1）未知数的最高次数是1；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax1＋bx＋c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：A.,是分式方程,
B.,正确,
C.,是二元二次方程,
D.,是关于y的一元二次方程,
故选B
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是1．
2、C
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，
其中小于的3个，
∴从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为：
故选：C．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3、B
【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．
4、B
【分析】由抛物线的开口方向，判断a与0的关系；由对称轴与y轴的位置关系，判断ab与0的关系；由抛物线与y轴的交点，判断c与0的关系，进而判断abc与0的关系，据此可判断①．由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，再结合图象x＝﹣2时，y＞0，即可得4a﹣2b+c与0的关系，据此可判断②．根据图象得对称轴为x＝﹣＞﹣1，即可得2a﹣b与0的关系，据此可判断③．由x＝1时，y＝a+b+c，再结合2a﹣b与0的关系，即可得3a+c与0的关系，据此可判断④．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，
故③错误；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴0＝a+b+c，
又∵2a﹣b＜0，即b＞2a，
∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0，
故④错误．
综上所述，①②正确，即有2个结论正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象位置与系数的关系．熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点等性质，并充分运用数形结合是解题关键．
5、C
【分析】根据概率的求解方法分别求出各概率的大小，即可判断.
【详解】A. 如（1）图，在一次实验中，老师共做了400次掷图钉游戏，并记录了游戏的结果绘制了下面的折线统计图，估计出的钉尖朝上的概率大概为0.4；
B. 如（2）图，是一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域的概率为≈0.33；
C. 如（3）图，有一个小球在的地板上自由滚动，地板上的每个格都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率为
D. 有7张卡片，分别标有数字1，2，3，4，6，8，9，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张，抽出标有数字“大于6”的卡片的概率≈0.29.
故选C
【点睛】
此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率的计算.
6、D
【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．
【详解】在Rt△ABC中，sinA＝，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝，
故选：D．
【点睛】
此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
7、A
【分析】根据平行四边形得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】四边形ABCD为平行四边形
故选A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
8、C
【分析】利用二次函数顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵y＝(x﹣4)2+2，
∴顶点坐标为(4，2)，
故答案为C．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式,掌握顶点式各参数的含义是解答本题的关键.
9、A
【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围．
【详解】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，
即可得k﹣1＞0，
解得k＞1．
故选A．
【点评】
本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
10、B
【分析】作EF⊥BC于F，设EF＝x，根据三角函数分别表示出BF,CF，根据BD∥EF得到△BCD∽△FCE，得到,代入即可求出x．
【详解】如图，作EF⊥BC于F，设EF＝x，
又∠ABC=45°，∠DCB=30°，
则BF=EF÷tan45°=x,FC=EF÷tan30°=x
∵BD∥EF
∴△BCD∽△FCE，
∴,即
解得x=，x=0舍去
故EF＝，选B．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定及解直角三角形的应用．
11、A
【分析】根据绕点按逆时针方向旋转后得到，可得，然后根据可以求出的度数．
【详解】∵绕点按逆时针方向旋转后得到
∴
又∵
∴
【点睛】
本题考查的是对于旋转角的理解，能利用定义从图形中准确的找出旋转角是关键．
12、C
【分析】画树状图（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说），
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6，
所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=．
故选：C．
【点睛】
本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可,即.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5.
【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE==5.
考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．
14、 ．
【解析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：由∠C=90°，若sinA=，
得cosB=sinA=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
15、4：1
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】∵△ABC∽△DEF，
∴．
故答案为：4:1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比是解题的关键．
16、-1
【分析】根据根与系数的关系得出-2+4=-m，-2×4=n，再求出m+n的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，
∴-2+4=-m，-2×4=n，
解得：m=-2，n=-8，
∴m+n=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出-2+4=-m，-2×4=n是解此题的关键．
17、11.25
【分析】推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，再求出AB，BA1，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2019个正方形的边长，求出面积即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴，
∵AB=AD= ，
∴BA1=，
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，
第2个正方形A1B1C1C的面积()2=11.25
同理第3个正方形的边长是=（）2，
第4个正方形的边长是（）3，，
第2019个正方形的边长是（）2018，
面积是[（）2018]2=5×（）2018×2=
故答案为：(1)11.25；(2)
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．
18、a≤且a≠1．
【分析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．
【详解】由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，
解得a≤，
又a-1≠0，
∴a≤且a≠1.
故答案为a≤且a≠1.
点睛：本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、△GAD或△ECH或△GFH，证△GAD∽△DBE．见解析.
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形．
【详解】解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似，任选一对即可．
如选△GAD证明如下：
证明：∵△ABC与△EFD均为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°．
又∵∠BDG=∠A+∠AGD，
即∠BDE+60°=∠AGD+60°，
∴∠BDE=∠AGD．
∴△DBE∽△GAD．
点睛：等量关系证明两对应角相等是关键，考查了三角形的性质及相似三角形的判定．
20、（1）A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）；
（2）S△ABC=1．
【解析】试题分析：（1）根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组，然后解方程组即可得到A、B两点的坐标；
（2）先利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标，然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算．
试题解析：（1）根据题意得，解方程组得或，
所以A点坐标为（﹣1，3），B点坐标为（3，﹣1）；
（2）把y=0代入y=﹣x+2得﹣x+2=0，解得x=2，
所以D点坐标为（2，0），
因为C、D两点关于y轴对称，
所以C点坐标为（﹣2，0），
所以S△ABC=S△ACD+S△BCD=×（2+2）×3+×（2+2）×1=1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
21、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；
（2）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM＝PE，得出△ODM≌△PDE即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）证明：连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
设圆半径为，在中，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，又为中点，
∴，，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴.
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，全等三角形的判定和学生，解本题的关键是构造全等三角形，难点是找OM＝PE．
22、（1）；（2）
【分析】（1）确定甲打第一场，再从乙、丙、丁3位同学中随机选取1位，根据概率的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据树状图的性质分析，即可完成求解．
【详解】（1）确定甲打第一场
∴从其余3位同学中随机选取1位，选中乙同学的概率为
故答案为：；
（2）树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有甲、乙两位同学的有2种结果
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：．
【点睛】
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率定义和树状图的性质，从而完成求解．
23、S△DFE：S△BFA=9：1
【解析】先证明△DFE∽△BFA，再求出DE：AB的值，根据两个相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质以及判定，掌握相似三角形的判定以及两个相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
24、（1）详见解析；（2）2秒；（3）2秒或秒或秒．
【分析】（1）由题意通过计算发现EQ＝FQ＝6，由此即可证明；
（2）根据题意利用三角形的面积建立方程即可得出结论；
（3）由题意分点E在Q的左侧以及点E在Q的右侧这两种情况，分别进行分析即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：若运动时间t＝秒，则
BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°
∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，
∴四边形CDFQ也是矩形，
∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），
∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），
∴EQ＝QF＝6（cm），
又∵FQ⊥BC，
∴△EQF是等腰直角三角形；
（2）由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，
在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，
∴PQ＝t，
∵△EPC的面积为3cm2，
∴S△EPC＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，
∴t＝2秒，
即t的值为2秒；
（3）解：分两种情况：
Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．
①∠PEQ=∠CAD时，△EQP∽△ADC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵△EQP∽△ADC，
∴∠CAD=∠QEP，
∴∠ACB=∠QEP，
∴EQ=CQ，
∴CE=2CQ，
由（1）知，CQ=t，CE=8-2t，
∴8-2t=2t，
∴t=2秒；
②∠PEQ=∠ACD时，△EPQ∽△CAD，
∴，
∵FQ⊥BC，
∴FQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴，
解得：；
Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．
∵0＜t＜4，
∴点E不能与点C重合，
∴只存在△EPQ∽△CAD，
可得，即，
解得：；
综上所述，t的值为2秒或秒或秒时，△EPQ与△ADC相似．
【点睛】
本题是相似形综合题，主要考查矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
25、﹣1．
【分析】设k，利用比例性质得到a=3k，b=5k，c=7k，所以9k+10k﹣28k=9，求出k后得到a、b、c的值，然后计算代数式的值．
【详解】设k，则a=3k，b=5k，c=7k．
∵3a+2b﹣4c=9，
∴9k+10k﹣28k=9，
解得：k=﹣1，
∴a=﹣3，b=﹣5，c=﹣7，
∴a+b﹣c=﹣3﹣5﹣(﹣7)=﹣1．
【点睛】
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算．
26、当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【分析】根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18﹣x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解．
【详解】解：如图甲：设矩形的面积为S，
则S＝8×（18﹣8）＝2．
所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为2；
如图乙：设垂直于墙的一边长为xm，则另一边为（18﹣1x﹣8）+8＝（18﹣x）m．
所以S＝x（18﹣x）＝﹣x1+18x＝﹣（x﹣9）1+81
因为﹣1＜0，
当x＝9时，S有最大值为81，
所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，难度一般，关键在于找到等量关系列出方程求解，另外注意配方法求最大值在实际中的应用
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