资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线的对称轴为
A． B． C． D．
2．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015 B．2017 C．2019 D．2022
3．下列计算中，结果是的是
A． B． C． D．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
5．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（2，6） C．（3，6） D．（3，4）
6．如图，⊙是的外接圆，，则的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转42°得到Rt△A'B'C'，点A在边B'C上，则∠B'的大小为（ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
8．某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数量为（ ）
A．150 B．100 C．50 D．200
9．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（ ）
A．35° B．70° C．110° D．140°
10．估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
11．计算的值为( )
A．1 B．
C． D．
12．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
二、填空题（每题4分，共24分）
13．点A(﹣2，y1)，B(0，y2)，C(，y3)是二次函数y＝ax2﹣ax（a是常数，且a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_____（用“＜”连接）．
14．如图，点、、、在射线上，点、、、在射线上，且，.若和的面积分别为和，则图中三个阴影三角形面积之和为___________.
15．点A（﹣1，1）关于原点对称的点的坐标是_____．
16．如图，点是反比例函数的图象上一点，直线过点与轴交于点，与轴交于点.过点做轴于点，连接，若的面积为，则的面积为_______．
17．已知，=________．
18．不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
20．（8分）问题背景：如图1，在中，，，，四边形是正方形，求图中阴影部分的面积．
（1）发现：如图，小芳发现，只要将绕点逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案）
（2）应用：如图，在四边形中，，，于点，若四边形的面积为，试求出的长；
（3）拓展：如图，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交，于，两点，连接，请直接写出线段，，之间的数量关系．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
22．（10分）为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查学生的人数为 ．
（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数．
（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，DE平分∠CDF．求证：AB=AC．
24．（10分）（2015德阳）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．
（1）求面料和里料的单价；
（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．
①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润=销售价﹣布料成本﹣固定费用）
②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．
25．（12分）2018年12月1日，贵阳地铁一号线正式开通，标志着贵阳中心城区正式步入地铁时代，为市民的出行带来了便捷，如图是贵阳地铁一号线路图(部分)，菁菁与琪琪随机从这几个站购票出发.
（1）菁菁正好选择沙冲路站出发的概率为
（2）用列表或画树状图的方法，求菁菁与琪琪出发的站恰好相邻的概率.
26．已知：如图，四边形的对角线、相交于点，.
（1）求证：；
（2）设的面积为，，求证：S四边形ABCD.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．
【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，
∴对称轴是直线x=0，即为y轴．
故选：B．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．
2、A
【分析】将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝2，再整体代入计算可得．
【详解】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，
则a﹣b＝2，
∴原式＝2019﹣2（a﹣b）
＝2019﹣2×2
＝2019﹣4
＝2015
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．
3、D
【解析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.
【详解】解：
A、a2+a4≠a6，不符合；
B、a2•a3=a5，不符合；
C、a12÷a2=a10，不符合；
D、(a2)3=a6，符合.
故选D.
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.
4、B
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5、C
【解析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】由题意得，点A与点C是对应点，
△AOB与△COD的相似比是3，
∴点A的坐标为（1×3，2×3），即（3，6），
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．
6、C
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】连接OB，
∵OC＝OB，∠BCO＝20 ，
∴∠OBC＝20 ，
∴∠BOC＝180 −20 −20 ＝140 ，
∴∠A＝140 ×＝70 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
7、B
【分析】先根据旋转的性质得出∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝42°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′＝90°﹣∠ACA′＝48°．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转42°得到Rt△A′B′C′，
∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝42°，
∴∠B′＝90°﹣∠ACA′＝48°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知旋转的性质．
8、A
【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，
设有草鱼x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝150，
故选：A．
【点睛】
本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量．
9、D
【分析】根据圆周角定理问题可解．
【详解】解：∵∠ABC所对的弧是，
∠AOC所对的弧是，
∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选D．
【点睛】
本题考查圆周角定理，解答关键是掌握圆周角和同弧所对的圆心角的数量关系．
10、B
【解析】分析：直接利用2＜＜3，进而得出答案．
详解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
11、B
【解析】逆用同底数幂的乘法和积的乘方将式子变形，再运用平方差公式计算即可.
【详解】解：
故选B.
【点睛】
本题考查二次根式的运算，高次幂因式相乘往往是先设法将底数化为积为1或0的形式，然后再灵活选用幂的运算法则进行化简求值.
12、C
【解析】分析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、y1＜y3＜y1
【分析】求出抛物线的对称轴，求出C关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【详解】y=ax1﹣ax(a是常数，且a＜0)，
对称轴是直线x，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x，
即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
C点关于直线x=1的对称点是(1，y3)．
∵﹣1＜1，
∴y1＜y3＜y1．
故答案为：y1＜y3＜y1．
【点睛】
本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
14、
【分析】由已知可证，从而得到，利用和等高，可求出，同理求出另外两个三角形的面积，则阴影部分的面积可求.
【详解】∵，.
∴
∴
∵和的面积分别为和
∴
∵和等高
∴
∴
同理可得
∴阴影部分的面积为
故答案为42
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及所求三角形与已知三角形之间的关系是解题的关键.
15、（1，﹣1）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点A（﹣1，1）关于原点对称的点的坐标是：（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
16、
【分析】先由△BOC的面积得出①，再判断出△BOC∽△ADC，得出②，联立①②求出，即可得出结论．
【详解】设点A的坐标为，
∴，
∵直线过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，
∴，
∴，，
∵△BOC的面积是3，
∴，
∴，
∴①
∵AD⊥x轴，
∴OB∥AD，
∴△BOC∽△ADC，
∴，
∴，
∴②，
联立①②解得，(舍)或，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出是解本题的关键．
17、
【分析】先去分母，然后移项合并，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法.
18、
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
三、解答题（共78分）
19、（1），y＝x﹣1；（2）；（3）x＞2或﹣1＜x＜0
【解析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，再讲B坐标代入反比例解析式中求出a的值，确定出B的坐标，将A与B坐标代入一次函数求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于一次函数，令y=0求出x的值，确定出C的坐标，即OC的长，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可；
（3）在图象上找出一次函数值大于反比例函数值时x的范围即可．
【详解】（1）把A（2，1）代入y＝，得：m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（﹣1，n）代入y＝，得：n＝﹣2，即B（﹣1，﹣2），
将点A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）在一次函数y＝x﹣1中，令y＝0，得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
则S△AOB＝×1×1+×1×2＝；
（3）由图象可知，当x＞2或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20、（1）30；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意根据全等三角形的性质以及运用等量代换得出，进而得出的面积即阴影部分的面积；
（2）由题意把绕点旋转到处，使与重合，利用全等三角形的性质进行等量代换得出，进而进行分析即可；
（3）根据题意延长AC到G，使CG=BE，并构造全等三角形，运用全等三角形的判定和性质进行分析即可 ．
【详解】解：（1）∵绕点逆时针旋转一定的角度到达，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴等量代换可知，
∵，，
∴阴影部分的面积即的面积为：.
（2）如图，把绕点旋转到处，使与重合，可得.
，
，
即，、、三点共线.
又，四个角都为，
四边形是正方形，易得.
，即.
（3）线段BE、CF、EF之间的数量关系为：EF=BE+CF.
理由：如图，延长AC到G，使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG，
在△DBE和△DCG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF，
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．
【点睛】
本题考查四边形的综合问题，根据题意熟练掌握全等三角形的判定与性质以及四边形的性质，综合运用数形结合思维分析是解题的关键.
21、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
22、（1）40；（2）见解析，18°；（3）获得三等奖的有210人．
【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查学生人数；
（2）根据统计图中的数据和（1）中的结果可以将统计图中所缺的数据补充完整并计算出扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出获得三等奖的人数．
【详解】解：（1）本次抽样调查学生的人数为：8÷20%＝40，
故答案为：40；
（2）A所占的百分比为：×100%＝5%，
D所占的百分比为：×100%＝50%，
C所占的百分比为：1﹣5%﹣20%﹣50%＝25%，
获得三等奖的人数为：40×25%＝10，
补全的统计图如图所示，
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是360°×5%＝18°；
（3）840×25%＝210（人），
答：获得三等奖的有210人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23、见解析
【解析】试题分析：先根据角平分线的性质得出∠CDE=∠EDF，再由对顶角相等得出∠EDF=∠ADB，∠CDE=∠ADB．根据圆内接四边形的性质得出∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，进而可得出结论．
证明：∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE=∠EDF．
∵∠EDF=∠ADB，
∴∠CDE=∠ADB．
∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
考点：圆周角定理．
24、（1）面料的单价为3元/米，里料的单价为2元/米；（2）①5；②5%．
【分析】(1)、设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据成本为1元列出一元一次方程，从而得出答案；
(2)、设打折数为m，根据利润不低于4元列出不等式，从而得出m的值；
(3)、设vip客户享受的降价率为x，根据题意列出分式方程，从而得出答案
【详解】解：(1)、设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米．
根据题意得：0.5x+1.2（2x+10）=1．解得：x=2．2x+10=2×2+10=3．
答：面料的单价为3元/米，里料的单价为2元/米．
(2)、设打折数为m．
根据题意得：13×﹣1﹣14≥4．解得：m≥5．∴m的最小值为5．
答：m的最小值为5．
(3)、13×0.5=12元．
设vip客户享受的降价率为x．
根据题意得：，解得：x=0.05
经检验x=0.05是原方程的解．
答；vip客户享受的降价率为5%．
【点睛】
本题考查(1)、分式方程的应用；(2)、一元一次方程的应用；(3)、不等式的应用，正确理解题目中的等量关系是解题关键
25、（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式，即可求解；
（2）记火车站为A，沙冲路为B，望城坡为C，新村为D，然后采用列表法列出所有可能的情况，找出满足条件的情况，即可得出其概率.
【详解】（1）P（选择沙冲路站出发）=；
（2）记火车站为A，沙冲路为B，望城坡为C，新村为D
列表如下：
由图可知共有16种等可能情况，满足条件的情况是6种
P（菁菁与琪琪出发的站恰好相邻）=
【点睛】
此题主要考查概率的求解，熟练掌握，即可解题.
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由S△AOD=S△BOC易得S△ADB=S△ACB，根据三角形面积公式得到点D和点C到AB的距离相等，则CD∥AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；
（2）利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）∵S△AOD=S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB，即S△ADB=S△ACB，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA，
∴ ；
（2）∵△DOC∽△BOA
∴ ＝k，2=k2，
∴DO=kOB，CO=kAO，S△COD=k2S，
∴S△AOD=kS△OAB=kS，S△COB=kS△OAB=kS，
∴S四边形ABCD=S+kS+kS+k2S=（k+1）2S．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，证明△DOC∽△BOA是解题的关键．
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