资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（）
A. B.
C. D.
2．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
3．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A. B.
C. D.
4．若，为第四象限角，则的值为（）
A. B.
C. D.
5．平行于同一平面的两条直线的位置关系是
A.平行 B.相交或异面
C.平行或相交 D.平行、相交或异面
6．函数的图像的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
7．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（ ）
A.﹣3 B.﹣1
C.1 D.3
8．已知函数对任意实数都满足，若，则
A.-1 B.0
C.1 D.2
9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）
A. B.-
C.2 D.
10．已知，则的最小值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．_____
12．计算__________
13．已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______
14．，，则_________
15．已知，函数，若，则______，此时的最小值是______.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上中线所在的直线方程为
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标．
17．已知函数，.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
18．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求的值.
19．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；
（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.
20．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.
（1）估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；
（2）从课外阅读时间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；
（3）国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.
21．（1）设，求与的夹角；
（2） 设且与的夹角为，求的值.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据余弦函数的定义直接进行求解即可.
【详解】因为点是角α的终边与单位圆的交点，
所以，
故选：B
2、B
【解析】由分段函数解析式及指数运算求函数值即可.
【详解】由题设，，
所以.
故选：B.
3、D
【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
考点：三角函数图像与性质
4、D
【解析】直接利用平方关系即可得解.
【详解】解：因为，为第四象限角，
所以.
故选：D.
5、D
【解析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系
【详解】解：若，且
则与可能平行，也可能相交，也有可能异面
故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面
故选
【点睛】本题考查的知识点是空间线线关系及线面关系，熟练掌握空间线面平行的位置关系及线线关系的分类及定义是详解本题的关键，属于基础题
6、D
【解析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.
【详解】根据
，
是减函数，是增函数.
在上单调递减，在上单调递增
故选：D.
【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7、B
【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B
8、A
【解析】由题意首先确定函数的周期性，然后结合所给的关系式确定的值即可.
【详解】由可得，
据此可得：，即函数是周期为2的函数，
且，据此可知.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9、A
【解析】如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角
【详解】解：如图所示，
分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
10、C
【解析】，根据结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
因为，又，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
即的最小值是7.
故选：C
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】利用三角函数公式化简,即可求出结果.
【详解】，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查运用三角函数公式化简求值，倍角公式的应用，考查运算求解能力.
12、5
【解析】化简，故答案为.
13、或或
【解析】∵函数（且）只有一个零点，
∴
∴
当时，方程有唯一根2，适合题意
当时，或
显然符合题意的零点
∴当时，
当时，，即
综上：实数的取值范围为或或
故答案为或或
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
14、
【解析】将平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.
【详解】
，
，
，
，
，
所以，
所以.
故答案为：
15、 ①. ②.
【解析】直接将代入解析式即可求的值，进而可得的解析式，再分段求最小值即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当时，对称轴为，开口向上，
此时在单调递增，，
当时，，此时时，最小值，
所以最小值为，
故答案为：；.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）
【解析】(1)由,知两条直线的斜率乘积为-1,进而由点斜式求直线即可;
(2) 设，则，代入方程求解即可.
试题解析：
（1）∵,且直线的斜率为，
∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即
（2）设，则，
∴，解得，∴
17、（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）根据二次函数图象的性质确定参数a的取值区间；
（2）确定方程的根或，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.
【详解】（1）因为函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线
由二次函数图象可知，的单调增区间为
因为在上单调递增，所以
所以，所以实数的取值区间是 ；
（2）由得：
方程的根为或
①当时，，不等式的解集是
②当时，，不等式的解集是
③当时，，不等式的解集是
综上，①当时，不等式的解集是
②当时，不等式的解集是
③当时，不等式的解集是
18、（1）（2）
【解析】（1）由奇函数定义求；
（2）代入后结合对数恒等式计算
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以恒成立，
可得.
（2）由（1）可得.
所以.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于基础题
19、（1）70；（2）0.5.
【解析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.
【详解】（1）依题意，，，，
由得，所以.
因为，所以，又，所以.
所以，
所以.
即时点P距离地面的高度为70m.
（2）由（1）知.
令，即，
从而，
∴.
∵，
∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.
【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题
20、（1）720人
（2）
（3）需要增加，理由见解析
【解析】（1）由分层抽样的特点可分别求得抽取的初中生、高中生人数，由频率分布直方图的性质可知初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的频率，然后由频数样本容量频率可分别得初中生、高中生课外阅读时间在，小时内的样本学生数，最后将两者相加即可
（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，由频数样本容量频率组距频率可分别得初中生、高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数，然后用列举法表示出随机抽取3人的所有可能结果以及事件的结果，从而得
（3）同一组中的数据用该组区间中点值作为代表来计算样本中的所有初中生平均每天阅读时间，并与30小时比较大小，若小于30小时，则需要增加，否则不需要增加
【小问1详解】
由分层抽样知，抽取的初中生有人，高中生有人
初中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数为人
高中生中，课外阅读时间在，小时内的频率为:
，学生人数约有人，
全校学生中课外阅读时间在，小时内学生总人数为人
【小问2详解】
记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少有2个初中生”为事件，
初中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人，
高中生中，阅读时间不足10个小时的学生人数为人
记这3名初中生为，，，这2名高中生为，，
则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共有10种，
即，，，，，，，，，，
而事件结果有7种，它们是：，，，，，，，
至少抽到2名初中生的概率为
【小问3详解】
样本中的所有初中生平均每天阅读时间为:
（小时），而（小时），
，该校需要增加初中学生课外阅读时间
21、（1）；（2）61.
【解析】（1）由已知中12，9，，代入平面向量的夹角公式，即可求出θ的余弦值，结合0°≤θ≤180°，即可得到答案
（2）利用数量积运算法则即可得出；
【详解】（1）∵12，9，，
∴cosθ
又∵0°≤θ≤180°
则θ＝135°
（2）∵，，且与夹角为120°，
∴6
∴42﹣（﹣6）﹣3×32＝61
【点睛】本题考查了向量的数量积运算法则及其性质、夹角公式，属于基础题
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