初一数学培训100题.doc

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初一培训100题
1。甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的，乙每月比甲多开支120元,三年后负债700元,求甲乙两人每年收入多少?
答案:7240元。

2．某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分,不答得1分,答错倒扣1分．证明:不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．
　答案:　 我们证明每一个学生的得分都是偶数．
　　设某个学生答对了a道题,答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答．于是此人的得分是
5a+（40-a—b)—b=4a-2b+40,
　　这是一个偶数．　　所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．

3。证明:质数P除以30所得的余数一定不是合数
答案：反证：假设一定是合数，所得的余数可能为29,28，27,……，1，因为其中的余数有合数,余数*30一定为合数，与已知条件P是质数矛盾。

4。若两个整数，，使能被9整除，证明:和能被3整除。
答案：反证：XY都不能被3整除，则9不整除X的平方，且9不整除Y的平方，那么9不整除X*Y，即9不整除，与已知条件矛盾。

5.如图所示．在四边形ABCD的面积为9，且对角线AC，BD的中点为M,N,MN的延长线与AB边交于P点．求△PCD的面积为多少？
答案:9/2

6。已知：，求的值.
答案：0

7．小明用25元钱买50个水果招待五位朋友．水果有苹果、香蕉和桔子三种，每个的价格分别为8角分、3角、2角．小明希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望？
答案:可以。如分成1，2，3,4，5

8．解方程：，其中。
答案：
9．求的展开式中各项系数之和.
答案：

10．满足的自然数x 共有几个？这里表示不超过x的最大整数.例如,
答案：0.1.2。3。4.5。6.7。8。9。10。…20.…30。…33.

11．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．
答案：2，89，89

12．从1到200的自然数中,有多少个数同时出现1和5?
答案：15， 105，150，51，115，125，……195,151，（14个）

13．从1,2,3，50这50个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种。
答案：两个偶数，两个奇数

14．求能整除的条件。
答案：

15．设a,b是自然数，且满足关系式
（11111+a)（11111—b）=123456789．
　　求证：a—b是4的倍数．
　　答案： 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件
11111（a—b）=ab+2468，①
　　ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a-b）是4的倍数，故a-b是4的倍数。

16．若两个三角形有一个角对应相等,夹此角的两边乘积之比是 ，求这两个三角形的面积之比。
答案：1：3

17．已知除多项式所得的余式是，试求a,b的值.
答案：a=2，b=-2

18．边长为整数，周长为13的三角形有多少个？
答案:5个（3，4,6/4，4，5/2，5，6/3,5,5/1，6，6）

19．设a，b,c为实数，且，求代数式的值。
答案：—2a—3c

20．设，试求的值。
答案:

21. 从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
答案： 将符合要求的自然数分为以下三类:
　　（1）一位数，有1，2，4,5,6，7，8，9共8个．
　　（2）二位数，在十位上出现的数字有1,2，4，5，6,7，8，98种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．
　　(3)三位数，在百位上出现的数字有1,2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2,4，5，6,7，8，9九种情形，故三位数有
　　2×9×9=162个．
　　因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有
　　8+72+162=242个．
22． 求正整数1400的正因数的个数．
答案： 因为任何一个正整数的任何一个正因数（除1外）都是这个数的一些质因数的积，因此,我们先把1400分解成质因数的连乘积
1400=23527
　　所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到（有的可重复）．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：
　　（1)取23的正因数是20，21，22，33，共3+1种;
　　(2）取52的正因数是50，51，52，共2+1种；
　　(3）取7的正因数是70,71，共1+1种．
　　所以1400的正因数个数为
(3+1)×(2+1）×（1+1)=24．

23。 若｜x｜=3,｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
　　解 因为｜x—y｜≥0,所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3,｜y|=2可知,x＜0，即x=—3．
　　（1)当y=2时，x+y=—1;
　　（2）当y=-2时，x+y=—5．
所以x+y的值为-1或—5．

24．若a，b，c为整数,且|a—b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+|a-b｜+｜b—c｜的值．
　答案：a，b，c均为整数，则a—b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c—a｜99为两个非负整数，和为1,所以只能是
　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a|99=1， ①
　　或
　　　　　｜a-b｜19=1且|c-a｜99=0． ②
　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c|=｜c—a｜=1;由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c|=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b—c｜=1且｜a-b｜+｜c—a｜=1，
　　所以
｜c-a|+｜a-b｜+|b-c｜=2．

25．解方程
答案：分3种情况讨论:（1）
(2）
（3）

26．解方程组
答案：

27．解不等式>3
答案:分3种情况讨论；（1）
（2）
（3)

28．求除以的商式和余式。
答案:商式为,余式为5x-1

29．如图所示，BE平分，
求证：BC//AE。
答案:易证，略

30．如图所示，在△ABC中，DC//EF，，求证：DG//BC
答案：易证,略

31．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D，求证:
答案：提示：

32。求不定方程的整数解。
答案：

33．男女同学各8人跳集体舞，如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴，问各有多少种不同情况？
答案：种

34．由1,2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中,有多少个大于35214?
答案:15个

35．甲火车长112米，乙火车长96米，若相向而行,相遇后经过2秒(s)两车错过，若同向而行相遇后经8秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
答案：甲37米/秒,乙31米/秒

36． 1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表所示，现在小张有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案,哪种方案获利最多？

答案: （1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为
20000（1+0。0522）5≈25794(元）．
　　（2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为
20000（1+0.0558×2)·（1+0.0522）3≈25898(元）．
　　（3）先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为
20000（1+0。0558×2）2·(1+0.0552）≈26003(元)．
　　（4）先存一个3年期，再转存一个2年期,则5年后的本利和为
20000(1＋0.0621×3）·（1+0。0558×2）≈26374（元）．
　　(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为
20000(1+0.0621×3）·（1+0。0522)2≈26268（元）．
　　(6）存一个5年期，则到期后本利和为
20000（1+0。0666×5）≈26660（元）．
显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

37．小明的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小明5岁上小学前一年，就开始到银行存了一笔钱,设上大学学费每年为4500元，四年大学共需18000元，设银行在此期间存款利率不变，为了使小明到18岁时上大学本利和能有18000元，他们开始到银行存入了多少钱？（设1年、3年、5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22％,6。21％和6。66％）
答案:10130元

38．如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

其中有y（x）表示稿费为x元应缴纳的税额，那么若小明取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到3280元,问这笔稿费是多少元？
答案:3694元

39．图中有多少个三角形?
答案:6+5+4+3+2+1=21个

40．图中有多少个三角形?
答案：35个

41．平面上4个圆最多能把平面分成多少个部分？
答案:14个部分

42．三角形ABC内部有999个点，以定点A，B，C和这999个点为定点能把原三角形分割成多少个小三角形？
答案:2*999+1=1999个小三角形

43．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9,10,11厘米的细木条各一条,它们的数量足够多,从中适当选取几根木条作为三条边，围成三角形，问最多能围成几种不同的三角形？构成直角三角形的长度为多少？
答案：有3种。分别是锐角、直角、钝角三角形。
构成直角三角形的长度有3，4，5；6,8，10。

44．计算：
答案：-56

45．计算：
答案：

46．在数1，2，3，…，1998前添符号“+"和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“—”，不会改变和的奇偶性．在1,2，3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“—”之后,所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
　　现考虑在自然数n，n+1,n+2，n+3之间添加符号“+"或“-”，显然
n-（n+1)—(n+2）+(n+3）=0．
　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号，即
(1—2-3+4）+(5—6-7+8)+…+(1993—1994—1995+1996)-1997+1998=1．
　　所以，所求最小非负数是1．

47．计算：的值.
答案：

48．的值。
答案:

49．
答案：原式=(2—1）（2+1)（22+1）（24+1）（28+1)×(216+1)（232+1）
　　 　　　=（22-1）(22+1）（24+1）(28+1)（216+1）×（232+1)
　　　　　 =(24—1)（24+1）(28+1)(216+1)(232+1)=……
　　　　 　=(232-1）（232+1）
　　　　　 =264—1．
50．：的值。
答案:设 ①
　　所以 ②
②—①得
　　　　　　 　所以：
51．
答案：由于

　　所以

52．组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们总分和平均分。

答案：平均分80。9分，总分1618分

53．设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简｜b-a｜+｜a+c|+|c-b|．

可知,a＞0,b＜0，c＜0，且有｜c|＞｜a｜＞|b|＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0,a＋c＜0，c-b＜0．
　　再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b,|a+c|=-（a+c），｜c-b|=b-c．
　　于是有
　　原式=(a—b）-(a+c）+（b—c）=a—b-a—c+b—c=-2c．
54．若abc≠0,则的最大值与最小值。
答案：最大值3，最小值-3

55．若与互为相反数,求
答案：—602

56．化简：
答案：分3种情况,(1)
(2)
(3）

57．已知,求y的最大值。
答案：最大值为8

58．设a﹤b﹤c﹤d，求的最小值。
答案：设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D,X,则|x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x—b｜，｜x—c｜，｜x—d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x—a｜，｜x-b|,｜x-c|，|x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B,C,D的排列应如图所示：

所以当X在B，C之间时，距离和最小,这个最小值为AD+BC,即(d—a)+(c—b）．

59．不相等的有理数a,b，c在数轴上的对应点分别为A，B,C，如果，那么B点应为 ( B )．
　　(1)在A，C点的右边；
　　(2）在A,C点的左边；
　　（3）在A，C点之间;
（4）以上三种情况都有可能．
60．，其中。
答案:-12

61．已知，求代数式的值
答案:由已知,xy=2（x+y），代入所求代数式中，消去xy,然后化简．所以

62．已知m，x，y满足条件：（1)；（2）与是同类项，求代数式的值。
答案：因为(x—5）2,｜m|都是非负数，所以由(1）有

　　由（2）得y+1=3，所以y=2．
　　下面先化简所求代数式，然后再代入求值．

　　　　=x2y+5m2x+10xy2
　　　　=52×2+0+10×5×22=250

63．若x:y：z=3：5:8，且，那么的值是多少?
答案:10

62．一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长是，求这个三角形的面积。
答案：

63．已知p，q，r都是5的倍数,r>q〉p,且r=p+10，试求的值.
答案：不妨设p=5k1，q=5k2，r=5k3，由题意可知，k1,k2，k3都是整数．因为r＞q＞p,所以k3＞k2＞k1．又因为
r=p+10，
　　所以 5k3=5k1+10,
k3=k1+2， ①
　　所以 k1+2＞k2＞k1,
　　所以 k2=k1+1． ②
　　将①，②代入所求的代数式得

64．若使为可约分数，则自然数n的最小值应是多少?
设分子：n-13=ak1,①
　分母:5n+6=ak2．②
　其中k1，k2为自然数．
　由①得n=13+ak1,将之代入②得5（13+ak1)+6=ak2,
　　 即　71+5ak1=ak2，
　　所以　a（k2-5k1）=71．
　　由于71是质数,且a＞1，所以a＝71，所以n=k1·71+13．
　　 故n最小为84．

65．设有n个数,它们的值只能是0，1,2三个数中的一个,如果，试用和表示
答案：设在x1，x2，…，xn这几个数中取值为0的有s个,取值为1的有t个，取值为2的有r个，则s+t+r=n,0≤t≤n，0≤s≤n，0≤r≤n,由此得
f1=t+2r,f2=t+4r．
　　所以=(2k—1）f2-（2k-1—2)f1．

66． 从两个重量分别为12千克（kg）和8千克，且含铝的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铝的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？
答案：设所切下的合金的重量为x千克,重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q（p≠q)，于是有

整理得 　　　　　　　5（q—p）x=24（q—p）．
　因为p≠q,所以q-p≠0，因此x=4。8，即所切下的合金重4。8千克．

67．设，求证：
答案:提示将代入方程右边即可。

68．如图所示，。求的值。
答案:0

69．如图所示，AE//BD,∠1=4∠2，∠2=,求∠C。
答案：45°

70．将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．
答案：2到6厘米

71．若一个角的余角与这个角的补角之比是3∶8，求这个角的邻补角．
答案：144°

72．若时钟由11点30分走到1点50分,问时针、分针各转过多大的角度？
答案：时针转过60°,分针转过90°

73．互补的两角之差是32°，求其中一个角的余角．
答案:16°
74．如图所示,OB平分∠AOC，且∠2：∠3:∠4=3：4：2，求∠2，∠3，∠4.
答案：∠2=90°,∠3=120°，∠4=20°

75．已知：，则

76．如果,那么=

77．解方程：
答案：

78．已知方程组有正解数,那么正整数a的值为 0，1，3 .

79．轮船在静水中的速度是每小时3千米,水流速度为每小时千米，AB两码头间相距18千米,则轮船在AB两码头间往返一趟的平均速度为每小时多少千米？
答案：约为3.22千米/小时

80．已知x＜0，-1＜y＜0，将，, 中最小的数是 x

81．若，那么?
答案：

82．,则= -45

83．计算: -9。99

84．计算： 8

85．当a= 1或-5 时，关于x的方程是一元一次方程。
86．不等式的解集是 x>7或x<3

87．有一堆稻谷共有8510000000粒稻谷，试用科学记数法表示稻谷数是 粒。

88．有一只小猫在如图的方砖上走来走去，最终停在黑色方砖上的概率是 B
A、 B、 C、 D、

89．已知：如图，∠EAD=∠DCF,要得到AD//BC，则需要的条件。（填一个你认为正确的条件即可）

90．已知x是有理数，则代数式的最小值是 26

91．的值为 1 .

92．= X-1
93．多项式的次数是 8 ，此多项式的最高次项的系数是 —7 ，按字母a的降幂排列是.
94．如果是完全平方式，则a= 。

95．电影院的位子，第一排有a个座位，后面每一排都比前面一排多4个座位,则第n排作为数是。

96．如果,那么= -1 。

97．小宋带了5角钱去买皮筋和铅笔，皮筋每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块皮筋和几支铅笔?
　　答案: 设小宋买了x块皮筋,y支铅笔，于是根据题意得方程
3x+11y=50．
　　因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此,小宋买铅笔的支数只能是0，1,2，3，4支,即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．

　　若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；
　　若y=4，则x=2，符合题意．
　　所以，这个方程有两组正整数解，即

也就是说,5角钱刚好能买2块皮筋与4支铅笔,或者13块皮筋与1支铅笔．

98 。求11x+15y=7的整数解．
　　将方程变形得

　　因为x是整数,所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=—1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为

99．解关于x的方程(mx—n)（m+n)=0．
答案: 把原方程化为
m2x+mnx-mn-n2=0，
整理得 m（m+n）x=n(m+n）．

当m+n≠0，且m=0时，方程无解；
　　当m+n=0时,方程的解为一切实数．

100．k为何正数时，方程k2x—k2=2kx-5k的解是正数？
　　来确定：
　　(1）若b=0时，方程的解是零;反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．
　　(2）若ab＞0时，则方程的解是正数;反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．
　　(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数,则ab＜0成立．
　　答案：按未知数x整理方程得
(k2—2k）x=k2—5k．
　　要使方程的解为正数,需要
(k2—2k）(k2-5k)＞0．
　　看不等式的左端
（k2—2k）（k2—5k）=k2（k—2）（k—5）．
　　因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．