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北师大版本八年级数学上一次函数知识点总结

一、函数

1. 变量的定义：在某一变化过程中，我们称 数值发生变化 的量为变量。注：变量还分为自变量和因变量。

2. 常量的定义：在某一变化过程中，有些量的 数值始终不变 ，我们称它们为常量。

3. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中， 如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x?的每一个确定的值，

y 都有唯一确定 的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数 ，y 的值称为 函数值．

4. 函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法） ；（ 2）列表法；（3）图象法．a、用数学式子表示函数的方法叫做 表达式法（解析式法） 。

b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做 列表法。

c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做 图像法。

5. 求函数的自变量取值范围 的方法．

（ 1）要使函数的表达式有意义： a、整式（多项式和单项式）时为 全体实数 ；b、分式时，让分母≠ 0；c、含二次根号时，让 被开方数≠ 0 。

（ 2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于 0 的条件。

6. 求函数值方法： 把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．

7. 描点法画函数图象的一般步骤如下 ：

Step1 ：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ；

Step2 ：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

Step3 ：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） ．

8. 判断 y 是不是 x 的函数的题型

A、给出解析式让你判断：可给 x 值来求 y 的值，若 y 的值唯一确定，则 y 是 x 的函数；否则不是。B、给出图像让你判断：过 x 轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥ 2）时， y 不是 x 的函数；否则 y 是 x 的函数。

二、正比例函数

1. 正比例函数 的定义：一般地，形如 y=kx（ k 是常数， k≠0）的函数，叫做 正比例函数， ?其中 k 叫做比例系数 。注意点 a、自变量 x 的次数是 一次幂，且只含有 x 的一次项； b、比例系数 k ≠0；c、不含有常数项 ，只有 x 一次幂的单项而已。

2. 正比例函数图像： 一般地，正比例函数的 y=kx（ k 是常数， k≠ 0）的图象是一条 经过原点 的直线，?我们称它为 直线 y=kx．

当 k>0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限（ 正奇），从左向右 上升，即随着 x 的增大 y 也增大 。

当 k<0 时，直线 y=kx 经过第二、四象限（ 负偶），从左向右 下降，即随着 x 的增大 y 反而减小 。

k>0，撇一三象限
Y Y
从左到右上升

Y随 x 的增大而增大

K<0，捺二四象限 X

从左到右下降
X
Y 随 x 的增大而减小

画正比例函数的最简单方法：

1

（1）先选取两点，通常选出 （ 0， 0）与点（ 1， k）；（2）在坐标平面内描出点（ 0，0）与点（ 1，k）；（3）过点（ 0，0）与点（ 1，k）做一条直线．

这条直线就是正比例函数 y=kx（ k≠ 0）的图象。

三、一次函数

1. 一次函数 的定义：一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数， k≠0）的函数，叫做 一次函数，当 b=0 时，

y=kx+b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 注意点 a、自变量 x 的次数是 一次幂，且只含有 x 的一次项； b、比例系数 k≠0；c、常数项 可有可无。

2. 一次函数 y=kx+b 的图象 是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b，它可以看作由直线 y=kx 平移│ b│ 个单位长度而得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）．

3. 系数 k 的意义： k 表征直线的 倾斜程度 ，k 值相同的直线相互 平行，k 不同的直线相交 。

系数 b 的意义： b 是直线与 y 轴交点 的纵坐标。

当 k>0 时，直线 y=kx+b 从左向右 上升，即随着 x 的增大 y 也增大 。

当 k<0 时，直线 y=kx+b 从左向右 下降，即随着 x 的增大 y 反而减小 。直线 y=kx+b 与 y 轴的交点是点 （0，b）

与 x 轴的交点是点 （ - b ，0）
k
4. 一次函数图像和解析式的系数之间的关系

k>0，撇
k>0，撇

b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方
b<0，与 y 轴交点在 x 轴下方

一二三象限

一三四象限

从左到右上升
从左到右上升

Y 随 x 的增大而增大
Y 随 x 的增大而增大

K<0，捺
K<0，捺
b<0，与 y 轴交点在 x 轴下方
b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方
二三四象限
一二四象限
从左到右下降
从左到右下降

Y 随 x 的增大而减小

Y 随 x 的增大而减小

5. 画一次函数图像的最简单方法：
（1）先选取两点，通常选出点 （0，b）与点（- b ，0）；
k

（2）在坐标平面内描出点（ 0，0）与点（ 1，k）；
b
（3）过点（0，b）与点（- ，0）做一条直线．

这条直线就是正比例函数 y=kx（k≠0）的图象．

6. 待定系数法确定一次函数解析式： 根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。步骤：

a、写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，?因此叫做待定系数） ．

2

b、把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即 x、y 的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组． （有几个待定系数，就要有几个方程）

c、解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式．

7. 解析式与图像上点相互求解的题型
○1 求解析式： 解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作 x、y 值代入解析式组成含有 k、

b 两个未知数的方程组，求出 k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。
○2 求直线上点坐标 ：解析式已知， 但点坐标只知道横纵坐标中得一个， 将其代入解析式求出令一个坐

标值即可。

四、一次函数与一元一次方程

由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数， a≠0）?的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值 y=0 时， ?求相应的自变量 x 的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与 x?轴交点 的横坐标的值 ．

五、一次函数与一元一次不等式

由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0（a，b 为常数， a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值 y 大（小）于 0 时，求自变量 x 相应的取值范围 ．
用一次函数图象来解 首先找到直线中满足 y>(<)0 的部分，然后判断这部分线的 x 的取值范围。

六、一次函数与二元一次方程（组）

1.
解二元一次方程组
3x
5y
8 可以看作求两个一次函数
y=- 3 x+ 8
与 y=2x-1
图象的交点坐标。

2x
y
1
5 5

2.
求两条直线的 交点的方法：将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的
x、y 的值即为两直线

交点坐标。

北师大版本八年级数学上一次函数测试题

3

姓名

（满分 100 分）

一、填空题（每题
2 分，共 20 分）

1、在同一直角坐标系中，对于函数：①
y = – x
– 1；② y = x + 1；③ y = – x +1；④ y = – 2（ x + 1）的图象，

下列说法正确的是（
）

A、通过点（–
1， 0）的是①和③
B、交点在 y 轴上的是②和④

C、相互平行的是①和③

D、关于 x 轴对称的是②和③

2、已知函数 y=
2 x
1

）

x
，当 x=a 时的函数值为 1，则 a 的值为（

2

A． 3

B． -1

C．-3

D． 1

3、函数 y=kx 的图象经过点 P(3， -1)，则 k 的值为 (

)

A． 3

B． -3

C．

D． -

4、下列函数中，图象经过原点的为
(
)

A． y=5x+1

B． y=-5x-1

x

x
1

C．y= —

D． y=
5

5

1 x 上，则 y1 与 y2 的关系是（

5、5、点 A（ –5， y1）和 B（ –2， y2
）都在直线 y = –
）

A、、
1≤ y2
、
1＝y2
、 1 ＜y2

2

1＞ y2

D、y

y

B y

C
y

6、函数 y = k（ x – k）（ k<0） 的图象不经过（
）

A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限

D、第四象限

4
x 的图像得到直线
4x
2

y=
4
）

7、要从 y=
y=
，就要把直线
x（

3

3

3

（ A）向上平移 2
个单位

（B）向下平移
2
个单位

3

3

（ C）向上平移

2 个单位

（ D）向下平移
2 个单位

8、一水池蓄水
20 m3，打开阀门后每小时流出
5 m3，放水后池内剩下的水的立方数
Q (m3 )与放水

时间 t(时)的函数关系用图表示为 (
)

9 、已知一次函数 y=kx+b, y 随着 x 的增大而减小 ,且 kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是 ( )

(A) (B) （C） （D）

10 ． 星 期天晚饭后，小红从家里出发去散步，图描述了她散

4

步过程中离家 s（米）与散步所用的时间 t( 分 )之间的函数关系． 依据图象， 下面描述符合小红散步情景的是 （ ）

(A) 从家出发 ,到了一个公共阅报栏 ,看了一会报后 ,就回家了(B)从家出发 ,一直散步 (没有停留 ),然后回家了 .

(C)从家出发 ,到了一个公共阅报栏 ,看了一会报后 , S（米）

继续向前走了一会 ,然后回家了 .

(D)从家出发 ,散了一会步 ,就找同学去了 ,18 分钟后

才开始返回 .

二、填空题（每题
2 分，共 12 分）


18 t（分）

t

1．函数 y 5x 2 自变量 x 的取值范围是 _______________．

2．若函数 y= - 2xm+2 +n -2 正比例函数，则 m 的值是 ， n 的值为 ________．

3．若直线 y=kx+b 平行于直线 y=5x+3，且过点（ 2，-1），则 k=______，b=______．

4．如右图：一次函数 y kx b 的图象经过 A、B 两点，则△ AOC

的面积为 ___________．

5．根据下图所示的程序计算函数值，若输入的x 值为
3 ，

2


y
6 A

3 B

C

O
3 x

则输出的结果为 .

6．观察下列各正方形图案，每条边上有 n(n＞ 2)个圆点，每个图案中圆点的总数是 S．

n＝2 n＝3 n＝ 4

S＝4 S＝8 S＝ 12

按此规律推断出 S 与 n 的关系式为 ．

二、解答题（共 68 分）

17．（ 4 分）已知一个一次函数，当 x 3 时， y 2 ；当 x 2 时， y 3 ，求这个一次函数的解析式已知，

直线 y kx b 经过点 A（ 3， 8）和 B（ 6 ， 4 ）．求：

（ 1） k 和 b 的值；（ 2）当 x 3 时， y 的值．

5

19．（ 6 分）已知 y 2 与 x 成正比，且当 x 1 时， y 6 ．

（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式；

（ 2）若点（ a， 2）在这个函数图象上，求 a．

y 2x 2
20．（ 6 分）利用图象解方程组
x y 5

21．（ 6 分）已知函数 y (2 m 1)x m 3，

（ 1）若函数图象经过原点，求 m 的值；

（ 2）若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围．

22．（ 6 分）作出函数 y 2x 4 的图象，并根据图象回答下列问题：

（ 1）当 -2≤x≤4时，求函数 y 的取值范围；

（ 2）当 x 取什么值时， y<0， y=0，y>0?

（ 3）当 x 取何值时， -4<y<2？

6

23．（ 10 分）图中折线 ABC表示从甲地向乙地打长途电话时所需付的电话费
y（元）与通话时间
t（分钟）之间

的关系图像．

y

C

（ 1）从图像知，通话 2 分钟需付的电话费是
元．
5.4

（ 2）当 t≥3时求出该图像的解析式（写出求解过程）
．
A
B

2.4

（ 3）通话 7 分钟需付的电话费是多少元？

O
t

35

24．（ 10 分）某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价
x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下
表：

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数．

（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；

（2）求销售价定为 30 元时，每日的销售利润．

x(元)

1
2
2
⋯

5

0
5

y(件)

2
2
1
⋯

5

0
5

25．（ 12 分）某公司在 A、B 两地分别有库存机器 16 台和 12 台，现要运往甲、乙两地，其中甲地 15 台，乙地

13 台．从 A 地运一台到甲地的运费为 500 元，到乙地为 400 元；从 B 地运一台到甲地的运费为 300 元，

到乙地为 600 元．

（ 1）设从 A 地运往甲地机器 x 台，求总费用 y 与 x 之间的函数关系式。（2）公司应设计怎样的调运方案，能使这些机器的总运费最省？

7