新北师大版八年级数学一次函数知识点总结+练习.doc

第四章：一次函数知识点总结
基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。（x的取值范围）
一 次 函 数
1.．自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b （k为任意不为零实数，b为任意实数） 则此时称y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为任意不为零实数）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。

2.　当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数性质：
1　在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
2　一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

应用
一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ，则当m______________时，y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ，所以 。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。
判断函数图象的位置
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 典型例题:
例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=·
函数中自变量x的取值范围是___________.
已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
5、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
例题：.正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
若是正比例函数，则b的值是 （ ）
A.0 B. C. D.
.函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．
平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．
10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向：
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例题：若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 .
若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）
Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1
11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小
若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）k1=k2且b1=b2 两直线重合：
（2）k1=k2且b1 b2 两直线平行
（3）k1k2且b1 b2 两直线相交：
（4）k1k2 b1=b2两直线相交于y轴上即点（0，b）：
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
　　确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

一、选择题
1．（2010 浙江省温州）直线y=x+3与y轴的交点坐标是( )
A．(0，3) B．(0，1) C．(3，O) D．(1，0)
2．（ 2011重庆江津）直线y=x－1的图像经过象限是( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
3．（2010 四川南充）如图，小球从点A运动到点B，速度v（米/秒）
和时间t（秒）的函数关系式是v＝2t．如果小球运动到点B时的速度为
6米/秒，小球从点A到点B的时间是（　　）．
A、1秒　　　B、2秒　　　C、3秒　　　D、4秒
4. 若一次函数，当的值减小1，的值就减小2，则当x的值增加2时，的值( )
A．增加4 B．减小4 C．增加2 D．减小2
5．一次函数y＝－3x－2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若一次函数的函数值随的增大而减小，且图象与轴的负半轴相交，那么对和的符号判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.（2011江西南昌）已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）.
A.-2 B.-1 C.0 D.2
8.函数的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
1．已知一次函数的图象交轴于正半轴，且随的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：　　　　　　.
2．将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后，所得直线的表达式是______________.
3．一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是
图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .
4．已知一次函数y=-3x+2，它的图像不经过第____ 象限.
5．（ 天津）已知一次函数与的图象交于点，则点的坐标为 ．

6.）在平面直角坐标系中，点P(2，)在正比例函数的图象上，则点Q()位于第______象限．
7．直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b=0的解是x=______
8． 在一次函数中，随的增大而 （填“增大”或“减小”），当 时，y的最小值为 .
9．在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度后。所得直线的解析式为 ．
14．关于一次函数y=-3x-2，下列结论中，正确的是
①是自变量， 是因变量；②点（2，0）在函数图像上;③图像经过第二、三、四象限； ④随的增大而减小；⑤它的图像与y=3x+2的图像平行；⑥图像经过原点。

三、解答题
1．一次函数y=kx+4的图象经过点（－3，－2），则
（1） 求这个函数表达式；
（2） 建立适当坐标系，画出该函数的图象．
（3） 判断（－5，3）是否在此函数的图象上;
(4)把这条直线向下平移4个单位长度后的函数关系式是 ．

2、已知某一次函数的图象经过(3, 4), (-2, 0)两点,试求这个一次函数的解析式.

O
(天)
y（米）
4000
1000
30
20
3. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.
⑴ 求这个一次函数的解析式.
⑵ 试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上.
⑶ 求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.

．
4. (（2011浙江杭州，17，6）点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标．

5. (2011 浙江湖州，19，6) 已知：一次函数的图象经过M(0，2)，(1，3)两点．
(l) 求k、b的值；
(2) 若一次函数的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值．

6. （2011四川乐山21，10分）某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
x(页)
100
200
400
1000
…
y(元)
40
80
160
400

⑴、若y与x满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；
⑵、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。则乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为 ；
⑶、在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？

初二上第五第六章模拟试题
一、仔细选一选（每小题3分，共30分）
1、下面哪个点不在函数y = -2x+3的图象上（ ）
A．（-5，13） B.（0.5，2） C.（3，0） D.（1，1）
2、如图，在直角坐标系中，直线l对应的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
3、已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=- x+2上，则y1 与y2的大小关系是( )
A. y1 >y2 B. y1 =y2 C. y1 <y2 D. 不能比较
4、一次函数y = -2x -3不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5、直线y=k x＋b经过一、二、四象限,则k、b应满足 ( )
A. k>0, b<0 B. k>0,b>0 C. k<0, b<0 D. k<0, b>0

y
y
6、如下图，同一坐标系中，直线l1: y=2x-3和l2: y=-3x+2的图象大致可能是（ ）。
l2
l2
l2
l1
l1
x
y
x
x
y
l1

l2
l1
x

l2

7.点P（－1，－3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
（A）（－1，3） （B）（1，3） （C）（3，－1） （D）（1，－3）
8、下列函数关系式:①;②③;④.其中一次函数的个数是( ) A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
9．点M到x轴的距离为3，到y的距离为4，则点A的坐标为 （ ）
A、（3，4） B、（4，3）
C、（4，3），（－4，3） D、（4，3），（－4，3）（－4，－3），（4，－3）
10、如果点A（—2，a）在函数y=x+3的图象上，那么a的值等于
A、—7 B、3 C、—1 D、4
11.如果点M在直线上，则M点的坐标可以是（ ）
A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，－1）
12．（2010江苏无锡）若一次函数，当得值减小1，的值就减小2，则当的值增加2时，的值 （ ）A．增加4 B．减小4 C．增加2 D．减小2
二、细心填一填（每小题3分，共24分）
13．函数中,的值随值的减小而 ,且函数图像与轴、 轴的交点坐标
分别是 。
14．已知一次函数+3,则= .
15、如果将电影票上“6排3号”简记为（6，3）,那么“10排10号”可表示为 ；
（7，1）表示的含义是 。
16、请你写出一个经过点（1，1）的函数解析式
17、老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一象限； 乙：函数的图象经过第三象限；
丙：在每个象限内，y随x的增大而减小．
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：
18. 一元一次方程0.5x+1=0的解是一次函数y=0.5x+1的图象与 的横坐标。
19．点A(x,y)是平面直角坐标系中的一点，若xy<0，则点A在 象限；若x=0则点A在 ；
20．点P(－4,－7)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点距离为
21. 已知直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．
22．如图，将直线向上平移1个单位，得到一个
一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是
三、用心做一做（共66分）

23．平面直角坐标系中，铅笔图案的五个顶点的坐标分别是（0，1），（4，1），（5，1.5），
（4，2），（0，2）．
（1）描出铅笔图案的五个顶点在坐标系中的位置，并顺次连接各点形成铅笔图案；
（2）将（1）图案向左平移5个单位，再向下平移3个单位，请作出平移后的图案.

24、（8分）作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）y的值随x的增大而 ；
（2）图象与x轴的交点坐标是 ；
与y轴的交点坐标是 ；
（3）当x 时，y≥0 ；
（4）函数的图象与坐标轴所围
成的三角形的面积是________________.

25、（8分）一次函数y=-2x+b的图象经过点(2,-8),写出这个函数的表达式.

26、（10分）已知y-2与x成正比例，当x=3时，y=1，求y与x的函数表达式。

27、（10分）某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）一箱油可供拖位机工作几小时？

28、已知一次函数的图象过点（2，3），（4，0），求此函数的关系式。

29、已知一次函数y=kx+b的图像如图所示，求其函数关系式。

O
(天)
y（米）
4000
1000
30
20
30、某农户种植一种经济作物，总用水量（米）
与种植时间（天）
之间的函数关系式如图所示．
⑴ 第天的总用水量为多少米？
⑵ 当时，求与之间的函数关系式．
⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到7000米？

31、已知一次函数的图象与y=x的图像平行，且与轴交点（0，-3），求此函数关系式。

32．（13分）(原创)求直线y=x+1和直线y=-x+2与x轴围成的三角形的面积.

33、鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］
鞋长（cm）
16
19
21
24
鞋码（号）
22
28
32
38
⑴设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？
⑵求x、y之间的函数关系式；
⑶如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？