必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示(教案.doc

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
教案 A

第1课时

教学目标
一、知识与技能
1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．
2．掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．
3．了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中，会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．
二、过程与方法
1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示．
2． 通过教师提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．
3．如果条件允许，借助多媒体进行教学会有意想不到的效果．整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生经历的这种实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．
三、情感、态度与价值观
1．在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对 “化归”、“数形结合”等数学思想的应用．
2． 在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
教学重点、难点
教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用．
教学关键：平面向量基本定理的理解.
教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位．
教法与学法导航
教学方法：启发诱导.
学习方法：在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律．
教学准备.
教师准备：多媒体、尺规.
学生准备：练习本、尺规.
教学过程
一、创设情境，导入新课
在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？
二、主题探究，合作交流
提出问题

①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?
②如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．
师生互动：如上右图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e1，=λ2e2．由于，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．
由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．
由此可得：平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．
定理说明：
（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
（2）基底不唯一，关键是不共线;
（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
（4）基底给定时，分解形式唯一．
提出问题:
①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
师生互动：引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：
已知两个非零向量a和b（如图），作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．显然，当θ=0°时，a与b同向;当θ=180°时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°，180°]内．
如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．
由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．
提出问题
①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?
②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

师生互动：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
a=xi+yj ①
这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作
a=（x，y） ②
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）．教师应引导学生特别注意以下几点：
（1）向量a与有序实数对（x，y）一一对应．
（2）向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，是表示a的有向线段，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则向量a的坐标为x=x2-x1，y=y2-y1，即a的坐标为（x2-x1，y2-y1）．
（3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：

三、拓展创新，应用提高
例1 已知向量e1、e2（如右图），求作向量
-2.5e1+3e2．
作法：（1）如图，任取一点O，作=-2．5e1，=3e2．
（2）作OACB．
故就是求作的向量．
例2 如下图，分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．
活动：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合．一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小．把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标．同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．
解：由图可知，a=+=2i+3j，
∴a=（2，3）．
同理，b=-2i+3j=（-2，3）；
c=-2i-3j=（-2，-3）；
d=2i-3j=（2，-3）．
点评：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．
四、小结
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合．
五、课堂作业
1．如图所示，已知=，=，用、表示，则等于（ ）
A．+ B．+
C．- D．-
2．已知e1，e2是两非零向量，且|e1|=m，|e2|=n，若c=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R），则|c|的最大值为（ ）
A．λ1m+λ2n B．λ1n+λ2m C．|λ1|m+|λ2|n D．|λ1|n+|λ2|m
3．已知G1、G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心，且=e1，=e2，=e3，则等于（ ）
A．（e1+e2+e3） B．（e1+e2+e3）
C．（e1+e2+e3） D．（e1+e2+e3）
4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．已知向量a、b且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．C、B、D D．A、C、D
6．如右图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°， 与的夹角为30°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ （λ，μ∈R），则λ+μ的值为________．
参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．6

第2课时

教学目标
一、知识与技能
1．理解平面向量的坐标的概念；
2．掌握平面向量的坐标运算；
3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线．
二、过程与方法
教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
　三、情感、态度与价值观
在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．
教学重点、难点
教学重点：平面向量的坐标运算．
教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．
教学关键：平面向量坐标运算的探究.
教学突破方法：结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生探究发现，最终得到结论．
教法与学法导航
教学方法：问题式教学，启发诱导
学习方法：在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上，在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．
教学准备
教师准备：多媒体、尺规．
学生准备：练习本、尺规．
教学过程
一、创设情境，导入新课
前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？
二、主题探究，合作交流
提出问题：
①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），你能得出a+b，a-b，λa的坐标表示吗？
②如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为（x2-x1，y2-y1）的P点吗？标出点P后，你能总结出什么结论？

师生互动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：
a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，
即
a+b=（x1+x2，y1+y2）．
同理
a-b=（x1-x2，y1-y2）．
又 λa=λ（x1i+y1j）=λx1i+λy1j．
∴ λa=（λx1，λy1）．
教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移，使得点A与坐标原点O重合，则平移后的B点位置就是P点．向量的坐标与以原点为始点，点P为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．
学生通过平移也可以发现：向量的模与向量的模是相等的．
由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式：
||=||=．
教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．
讨论结果：①能．
②=-=（x2，y2）-（x1，y1）=（x2-x1，y2-y1）．
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
提出问题
①如何用坐标表示两个共线向量？
②若a=（x1，y1），b=（x2，y2），那么是向量a、b共线的什么条件？
师生互动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠0．我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数λ，使a=λb．如果用坐标表示，可写为（x1，y1）=λ（x2，y2），
即消去λ后得x1y2-x2y1=0．
这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b（b≠0）共线．
我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的，但这与是不等价的．因为当x1=x2=0时，x1y2-x2y1=0成立，但均无意义．因此是向量a、b共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．
讨论结果：
①x1y2-x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线．
②充分不必要条件．
提出问题：a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a=λb，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
师生互动：教师引导推证：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中b≠a，
由a=λb，（x1，y1）=λ（x2，y2）消去λ，得x1y2-x2y1=0．
讨论结果：a∥b（b≠0）的充要条件是x1y2-x2y1=0．
教师应向学生特别提醒感悟：
1. 消去λ时不能两式相除，∵y1、y2有可能为0，而b≠0，∴x2、y2中至少有一个不为0．
2. 充要条件不能写成（∵x1、x2有可能为0）．
3. 从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b（b≠0）
三、拓展创新，应用提高
例1 已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．
解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；
a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）．
点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式．
例2 如图．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标．

活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．
解：方法一：如上图，设顶点D的坐标为（x，y）．
∵=（-1-（-2），3-1）=（1，2），=（3-x，4-y）．由=，
得（1，2）=（3-x，4-y）．
∴，
∴顶点D的坐标为（2，2）．
方法二：如上图，由向量加法的平行四边形法则，可知

=（-2-（-1），1-3）+（3-（-1），4-3）=（3，-1），
而=+=（-1，3）+（3，-1）=（2，2），
∴顶点D的坐标为（2，2）．
点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．
例3 已知a=（4，2），b=（6，y），且a∥b，求y．
解：∵a∥b，∴4y-2×6=0．∴y=3．
例4 已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），试判断A、B、C三点之间的位置关系．
活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．
解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线．下面给出证明．
∵=（1-（-1），3-（-1））=（2，4），
=（2-（-1），5-（-1））=（3，6），
又2×6-3×4=0，
∴∥，且直线AB、直线AC有公共点A，
∴A、B、C三点共线．
点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．
例5 设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2）．
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当=λ时，点P的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：
由=λ，知（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y），
即
这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．
解：（1）如图，由向量的线性运算可知
= （1+2）=（）．
所以点P的坐标是（）
（2）如图（1）、（2），当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即

=或=2．
如果= ，如图（1），那么
=+=+=+（-）=+
=（）．
即点P的坐标是（）．
同理，如果=2图（2），那么点P的坐标是
点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．
四、小结
1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．
五、课堂作业
1．已知a=（3，-1），b=（-1，2），则-3a-2b等于（ ）
A．（7，1） B．（-7，-1） C．（-7，1） D．（7，-1）
2．已知A（1，1），B（-1，0），C（0，1），D（x，y），若和是相反向量，则D点的坐标是（ ）
A．（-2，0） B．（2，2） C．（2，0） D．（-2，-2）
3．若点A（-1，-1），B（1，3），C（x，5）共线，则使=λ的实数λ的值为（ ）
A．1 B．-2 C．0 D．2
4．设a=（，sinα），b=（cosα，），且a∥b，则α的值是（ ）
A．α=2kπ+（k∈Z） B．α=2kπ-（k∈Z）
C．α=kπ+（k∈Z） D．α=kπ-（k∈Z）
5．向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线？
参考答案：
1．B 2．B 3．D 4．C
5．∵=（k，12）， =（4，5），=（10，k），
∴=-=（4-k，-7）， =-=（6，k-5）．
∵∥，∴（4-k）（k-5）+7×6=0．∴k2-9k-22=0．
解得k=11或k=-2．
教案 B

第1课时

教学目标
一、知识与技能
1．理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底．
2．了解向量的夹角与垂直的概念，以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义．
二、过程与方法
领会数形结合的数学思想，感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维．
三、情感、态度与价值观
通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志．
教学重点
平面向量基本定理和向量的坐标表示.
教学难点
平面向量的合成与分解.
教学设想
一、情境设置
1．向量加法与减法有哪几种几何运算法则？
2．怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0．
3．平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ，使b＝λa．
4．如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
G
F1
F2

5．在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论．
二、新知探究
探究（一）平面向量基本定理
3e1
e1
2e2
O
A
B
C
D
思考1．给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1-2e2？
e1
e2

2．如图，设OA、OB、OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？
O
A
B
C
P
M
N

O
A
B
C
M
N
O
A
B
C
M
N
3．在下列两图中，向量、、不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使+=？

4．在上图中，设=e1，= e2，= a，则向量、分别与e1、e2的关系如何？从而向量a与e1、e2的关系如何？
=λ1e1，=λ2e2，a＝λ1e1＋λ2e2．
5． 若上述向量e1、e2、a都为定向量，且e1、e2不共线，则实数λ1、λ2是否存在？是否唯一？
6．若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？
7．根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
8．上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
9． 两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积．即：
如果 a=（x1，y1），b=（x2，y2），那么a±b=（x1±x2，y1±y2），λa=（λx1，λy1）
a∥b的充要条件是x1y2=x2y1（需要证明）
10． 任意给定平面中两个不平行的向量e1、e2，那么平面中所有向量a都可以用这两个向量表示．即a=xe1+ye2．这里x、y是唯一确定的一对有序实数．｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2叫做a关于基底｛e1，e2｝的分解式．
探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示
思考1．不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作=a，= b，如图．为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角．你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？
a
b
A
B
O
b
a

[0°，180°]

a
i
A
B
O
j
P
2．如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b． 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
a
i
x
y
O
j
3． 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
a＝i＋2j
4．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj．我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．
a
i
x
y
O
j
A
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示．那么x、y的几何意义如何？
5．相等向量的坐标必然相等，作向量=a，则= （x，y），此时点A的坐标是什么？
三、例题解析
例1 已知直角坐标平面内的两个向量a＝（1，3），b＝（m，2m-3），使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．
解：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，
∴a与b不共线，即2m-3≠3m，
∴m≠-3．
例2 如图，M是△ABC内一点,且满足条件,延长CM交AB于N,令=a,试用a表示.
解:∵
∴由=,得
.
∴=.
又∵A、N、B三点共线,C、M、N三点共线,
由平行向量基本定理,设
∴.
∴（λ+2）+（3+3μ）= .
由于和不共线,
∴∴
∴∴=2a.
例3 设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.
解:由题设λa+μb=（3λe1+4λe2）+（-2μe1+5μe2）=（3λ-2μ）e1+（4λ+5μ）e2.
又λa+μb=5e1-e2.
由平面向量基本定理，知
解之,得λ=1,μ=-1.
四、小结
1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点．
2．向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°．
3．向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义．将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标．

第2课时

教学目标
一、知识与技能
1．掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标．
2．深化对向量概念的理解，提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养．
二、过程与方法
1.通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；
2.通过具体问题的分析解决，渗透数形结合的数学思想，提高学生的化归能力．
三、情感与价值
在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一．
教学重点
平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示．
教学难点
向量的坐标运算原理的构建．
教学设想：
一、情境设置
1．平面向量的基本定理是什么？
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．用坐标表示向量的基本原理是什么？
设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝（x，y）．
3．用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径．我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等．
二、新知探究
探究（一）平面向量的坐标运算
思考1．设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a-b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
a＋b＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，
a-b＝（x1-x2）i＋（y1-y2）j，
λa＝λx1i＋λy1j．
2．根据向量的坐标表示，向量a＋b，a-b，λa的坐标分别如何？
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），
a-b＝（x1-x2，y1-y2），
λa＝（λx1，λy1）．
3． 如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
o
x
y
B
A
4．如图，已知点A，B，那么向量的坐标如何？一般地，一个向量的坐标如何计算？
＝（x2-x1，y2-y1）．
一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．
5． 在上图中，如何确定坐标为（x2-x1，y2-y1）的点P的位置？
6． 若向量a=（x，y），则|a|如何计算？若点A，B，则如何计算？
|a|，．
探究（二）平面向量共线的坐标表示
思考1． 如果向量a、b共线（其中b≠0），那么a、b满足什么关系？
a＝λb．
2． 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），若向量a、b共线（其中b≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？
向量a、b（b≠0）共线．
3． 如何用解析几何观点得出上述结论？
4． 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，如何用向量方法求点P的坐标？
5． 一般地，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2），点P是直线P1P2上一点，且，那么点P的坐标有何计算公式？
．
三、例题讲解
例1 若α、β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底α、β下的坐标，现已知向量a在基底p＝（1，-1）、q＝（2，1）下的坐标为（-2，2），则a在另一组基底m＝（-1，1），n＝（1，2）下的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（0，-2）
C．（-2，0） D．（0，2）
解析：由已知a＝-2p＋2q＝（-2，2）＋（4，2）＝（2，4），
设a＝λm＋μn＝λ（-1，1）＋μ（1，2）＝（-λ＋μ，λ＋2μ），
则由⇒，
∴a＝0m＋2n，∴a在基底m、n下的坐标为（0，2）．
答案：D
例2 已知点A（2，3），B（-1，5），且＝，求点C的坐标．
解:设O为坐标原点，＝＝（-1，），＝＝（1，），即C（1， ）.
例3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝（3，1），b＝（1，3）．＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表正确的是 （　　）

解：＝λa＋μb＝λ（3，1）＋μ（1，3）＝（3λ＋μ，λ＋3μ）．
∵0≤λ≤μ≤1，
∴0≤3λ＋μ≤4，0≤λ＋3μ≤4，且3λ＋μ≤λ＋3μ．
答案：A
例4 已知a＝（3，2），b＝（-1，2），c＝（4，1）．
（1）求满足a＝xb＋yc的实数x，y的值；
（2）若（a＋kc）∥（2b-a），求实数k的值．
解：（1）∵a＝xb＋yc，
∴（3，2）＝x（-1，2）＋y（4，1）＝（-x＋4y，2x＋y）．
∴ 解得
（2）∵（a＋kc）∥（2b-a），且
a＋kc＝（3，2）＋k（4，1）＝（3＋4k，2＋k），
2b-a＝2（-1，2）-（3，2）＝（-5，2），
∴2（3＋4k）-（-5）（2＋k）＝0，
解得k＝-．
例5 已知A（-1， -1）， B（1，3）， C（1，5） ，D（2，7） ，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：∵=（1-（-1），3-（-1））=（2，4），=（2-1，7-5）=（1，2）.
又 ∵2×2-4×1=0， ∴∥
又 ∵ =（1-（-1），5-（-1））=（2，6），
=（2， 4），2×4-2×6¹0，
∴与不平行， ∴A、B、C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD.
四、小结
1．向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化．
2．对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆．
3．利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用．
五、课外作业
教材第100页练习：2、4．
教材第101页习题A组：1、3、4、5．

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