图形的变换专题.doc

图形的变换专题训练

知识框架

模块一 平移
1. 如图，矩形ABCD，AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．28

1题图 2题图 3题图
2. 如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是　 　．
3. （2016•广州）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为　 　cm．

4题图 5题图 6题图
4. 如图，边长为4cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为　 　 cm2．
5. （2016•济宁）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　　）
6. （2015•广元）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）

7. （2013•滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3

8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF，连接AD，AE，则下列结论中不成立的是（　　）
A．AD∥BE，AD=BE B．∠ABE=∠DEF
C．ED⊥AC D．△ADE为等边三角形

9. （2014•济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于　 　．

10. （2013•宜宾）如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为　 　．

11. （2015•泰安）如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）

A．（4，） B．（3，） C．（4，） D．（3，）
12. 如图，将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）画出平移后的△A1B1C1；写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
（2）求四边形A1B1BA的周长
（3）已知点P在x轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为4，求P点的坐标．

13. 两块完全相同的三角板△ABC和△EFD重叠在一起，其中∠ACB=∠EDF=90°，∠B=∠DFE=30°，AC=10cm．固定三角板Ⅰ不动，将三角板△EFD进行如下操作：
（1）如图①，将三角板△EFD沿斜边BA向右平移（即顶点F在斜边BA内移动），连接CD、CF、DA，四边形CFAD的形状在不断的变化，它的面积是否变化？如果不变请求出其面积；如果变化，说明理由．
（2）如图②，当顶点F移到AB边的中点时，请判断四边形CFAD的形状，并说明理由．

模块二 旋转
旋转条件：，（旋转多出现在等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形、对角互补的四边形中）；

图1

图2
如图1：若将△ABC绕点A逆时针旋转角度α，则：
①（对应边、对应角都相等）；
②（对应边的夹角都等于旋转角）；
③都是等腰三角形；
特殊的，若旋转60°则是等边三角形，若旋转90°，则是等腰直角三角形.

如图2：若将△ABC绕点O顺时针旋转90°，则：
①（对应边、对应角都相等）；
②（对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角）；
③（旋转中心到对应点的距离相等；旋转中心在对应点连线的垂直平分线上）；

考法一：中心对称图形
1. （2016•哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考法二：网格作图
2. 如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是（　　）
A． B． C． D．
3. （2016•宁夏）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为　 　．

4. 在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°得到点B，则点B的坐标是　 　．
5. （2016•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；并求出旋转过程中点B转过的路径长和线段OA旋转扫过的面积；
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

考法三：旋转性质，求线段长、角度、坐标
6. 如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（　　）

6题图 7题图
7. 如图，在直角坐标系中，点A（0，5），点P（2，3）．将△AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则PP′=　　 ．
8. （2016•威海一模）将一个含45°角的三角板ABC如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点C顺时针旋转75°，点B的对应点B′恰好落在x轴上，若点C的坐标为（1，0），则点B′的坐标为　 　．
9. 如图所示，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连结PQ，若PA2+PB2=PC2，则∠APB等于（　　）
A．150° B．145° C．140° D．135°

8题图 9题图

10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为　 　．

10题图 11题图 12题图
11. 如图，点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，1），将△AOB绕原点O顺时针旋转60°到△A'OB'，A'B'恰好过点B，则B'的坐标为　 　，重叠部分△BOE的面积为　　 ．
12. （2015•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是　　 ．
13. （2014•绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为　 　．
14. 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得道△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC．其中正确的序号是（　　）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③

　　 13题图 14题图

15. 如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为
旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB=150°；
④四边形AO BO′的面积为6+；
⑤S△AOC+S△AOB=6+．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

16. （2016•广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB
绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是　 　．

　考法四：找规律
17. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2016的坐标为　 　．

18. 如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2015次，依次得到点P1，P2，P3，…P2015，则点P2015的坐标是　 　．

19. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△OA1B1的顶点A1的坐标是　 　；△B6A7B7的顶点A7的坐标是　 　；△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是　 　．

19题图 20题图
20. 如图，将正方形沿x轴正方向连续翻转2013次，（即：每次旋转都以正方形右下角所在顶点为旋转中心，旋转90°）点P依次落在P1，P2，P3，…P2013的位置，若P（1，1），则P2013的坐标为　 　．
21. （2015•邵阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A．2015π B．3019.5π C．3018π D．3024π

22. 如图，平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，其中C，D的坐标分别为（4，0）和（7，0）．若在无滑动的情况下，将这个正方形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个正方形的顶点A、B、C、D中，过点（2014，）的是点　 　．

23. 如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为　 　．

24. （2016•槐荫区二模）如图，等边三角形OA1B1边长为1，且OB1在x轴上，第一次将△OA1B1边长变为原来的两倍后，将所得到的图形绕O逆时针旋转60°得到△OA2B2；第二次将△OA2B2边长变为原来的两倍后，将所得到的图形绕O逆时针旋转60°得到△OA3B3…依此类推，则点A2016的坐标为　 　．

25. 已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2015C2015，则点C2015的坐标是　 　．

26. 如图，坐标系中，四边形OABC与CDEF都是正方形，OA=2，M、D分别是AB、BC的中点，当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度或沿y轴上下平移后，如果点F的对应点为F′，且O F′=OM．则点F′的坐标是　 　．

考法五：旋转型全等
手拉手全等：由一个公共顶点出发，两组等线段，且等线段的夹角相等，用SAS判定三角形全等；

【例题】如图，点为线段上一点，、是等边三角形．请你证明：
⑴； ⑵.
证明：

在和中

在和中

补充：在手拉手中证明拉手的三角形全等并求第三组边的夹角（本题AN和BM的夹角）是考察较多也较基础的；此外，本题还有许多其他结论：
①CF平分∠AFB（过点C向AN、BM分别作垂线）
②△CDE是等边三角形（或
③（截长补短）

【练习1】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD．

（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．

【练习2】（2014•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（2）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（3）（还未学习，可看答案）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．

【练习3】（2013•潍坊）（16年春济外期中）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．

【练习4】（16年春历城区期中）（2016年市中区一模）
如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长直线于点.
（1）猜想1，猜想___________；
（2）如图2，3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若，，且，求的长.

【练习5】（2015•济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）（还未学习，可看答案）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．

一般旋转型全等
【例题】如图，五边形中，，，，连结.求证：平分.
证明：如图，连结，延长DE到F，使得EF=BC,连结AF
∵，且
∴
∵，，
∴
∴，
∵
∴，即
且，
∴
∴
∴平分

补充：此题相当于把△ABC绕点A逆时针旋转∠BAE的度数得到△AEF，对角互补保证了旋转之后的共线，也就使得DE+BC变成了一条线段.

【练习1】（16年春历下区期中）如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM=DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．

【练习2】（2015•赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）（还未学习，看答案）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

【练习3】（2016•潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

考法六：半角模型
常见半角模型有90°夹45°、120°夹60°、60°夹30°.
半角模型的处理方法比较固定，旋转一条等线段+半角的一边+目标线段所在的三角形，再得以半角另一边所在直线为对称轴的一组对称型全等.
【例题】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

解：（1）BM+DN=MN成立．
证明：如图，延长CB到点E，使得BE=DN，连结AE，
在△ADN与△ABE中，

∴△ADN≌△ABE（SAS），
∴
∴∠EAM=90°﹣∠NAM=45°，
∴在△AEM与△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
（2）DN﹣BM=MN．
在线段DN上截取DQ=BM，连结AQ
在△ADQ与△ABM中，
∵，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=90°-∠BAN-∠DAQ=45°
在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN﹣BM=MN．
补充：本题第一问实质是把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，第二问是把△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADQ，不过不建议大家直接在过程中写旋转，如果要写那么旋转后的位置关系是要证明的，比如本题中要证明共线.
正常描述辅助线则证两次全等，判定方法都是SAS.

【练习1】如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．

图1 图2 图3
⑴ 在图2中，若，请你直接写出线段与线段的数量关系为_____________；
⑵ 在图1中，，其他条件不变，请你探究⑴中的结论是否成立？并完成证明；

⑶ 如图3，在四边形中，，，、分别是边、 延长线上的点，且，⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【练习2】（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

图1 图2 图3
（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据　 　，易证△AFG≌　 　，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，
∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　 　时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
①如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

②若点D落在CB的延长线上，其他条件不变，则①中的结论是否成立？请证明你的猜想.

【练习3】在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图①，当点M，N在边AB，AC上，且时，BM，NC，MN之间的数量关系式_________；此时__________．
（2）如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点M，N在边AB，CA的延长线上时，若，则_________．（用x，L表示）

【练习4】（16年春天桥区期中）已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将
△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E.
（1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D′E.
（2）如图2，当DE=D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.
（3）如图3，在（2）的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）.

【练习5】（2016年济南市中考27）
在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F
分別在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直
接写出∠E′AF＝________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________；
（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线
段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
（二）拓展延伸（还未学习，可以看答案）
如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE
绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．
图2
图1
图3
图4

考法七：旋转特殊角度：
旋转60°产生等边三角形；
旋转90°产生等腰直角三角形；
旋转180°产生中心对称图形（类似倍长中线）.
60°的旋转

【练习1】如图，是等边内一点，若，，，分别求、、的度数．

【练习2】如图，P是等边△ ABC外的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠ APB的度数.

【练习3】⑴ 是等边内一点，又、、的大小之比是，则以、、为边的三角形的三个内角的大小之比是（　　）
A． B． C． D．不能确定
⑵ 在等边中，为边上一点，设以、、为边组成的新三角形的最大内角为，则（　　）
A． B． C． D．

【练习4】（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：
∠ABC=　 　，∠A′BC=　 　，OA+OB+OC=　　 ．

【练习5】如图，已知：四边形中，，，，，，
⑴ 以线段BD，AB，BC作为三角形的三边，
①则这个三角形为 三角形（填：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）；
②求边所对的角的度数；
⑵ 求四边形的面积．

90°的旋转
【例题】如图，已知在中，，，点是线段上的任意一点，探究：与的关系，并证明你的结论．
探究得到的关系为：．
证明：过点作，且，连接、．
则
在和中

∴
∴ ，
∵
∴
即
∴
又∵
∴
∴
∴ ，
∴
即．
当点与点重合时，仍然满足．

补充：此题相当于把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，原来的两个角互余保证了旋转之后垂直的位置关系，连结对应点D、E得到等腰直角△ADE.

【练习1】（2015•南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小；
（3）（改编）求AB的长．

【练习2】如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，且BD=1，CD=2，AD=3.求：
（1）∠BDC的度数； （2）△ABC的面积.

【练习3】四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．

【练习4】（2015•铁岭）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．

180°的旋转
27. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

考法八：其他以旋转为背景
28. （2014•抚顺）已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．

29. （2013•重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（2，2），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，当△OPC≌△ADP时，则C点的坐标是　 　，Q点的坐标是　 　．

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