资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
2．如图，的外接圆的半径是.若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．下图中几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．某人体温是100℃ B．太阳从西边下山
C．a2+b2＝﹣1 D．购买一张彩票，中奖
5．如图是一个正方体纸盒，在下面四个平面图形中，是这个正方体纸盒展开图的是（ ）
A． B． C． D．
6．设a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，的直径的长为，弦长为，的平分线交于，则长为（ ）
A．7 B．7 C．8 D．9
8．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,的三个顶点都是网格线的交点．已知,,将绕着点顺时针旋转,则点对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，这时水面宽度AB 为______________.
12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BFC=_________°
13．分解因式：=____________．
14．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．
15．如图，在中，，点是边的中点，，则的值为___________．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：
①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有______（填序号）．
17．已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．
18．已知抛物线与轴交点的横坐标分别为3，1；与轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘分别被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则：甲转动A盘一次，乙转动B盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；并求出甲获胜的概率．
20．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．
21．（6分）如图1，抛物线y = ax2+bx-3经过A、B、C三点，己知点A(-3，0)、C (1， 0)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合)．
①过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求 出此时P点的坐标；
②如图2，连接AP，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物 线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．
22．（8分）已知抛物线经过A（0，2）、B（4，0）、C（5，-3）三点，当时，其图象如图所示．
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）求该抛物线与轴的另一个交点的坐标．
23．（8分）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．
24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE
（1）求证：△DBE是等腰三角形
（2）求证：△COE∽△CAB
25．（10分）在矩形中，，，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．
（1）如图①，点恰好在上，求证：∽；
（2）如图②，点在矩形内，连接，若，求的面积；
（3）若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长为 ．
26．（10分）定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．
求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，
又因AC2+BC2=AB2，
即62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
所以BC=4x=8cm，
故答案选C．
2、A
【分析】由题意连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=90°，
所以的长为.
故选：A.
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
3、D
【分析】根据左视图是从左面看到的图形，即可．
【详解】从左面看从左往右的正方形个数分别为1，2，
故选D．
【点睛】
本题主要考查几何体的三视图，理解左视图是从左面看到的图形，是解题的关键．
4、B
【解析】根据必然事件的特点：一定会发生的特点进行判断即可
【详解】解：A、某人体温是100℃是不可能事件，本选项不符合题意；
B、太阳从西边下山是必然事件，本选项符合题意；
C、a2+b2＝﹣1是不可能事件，本选项不符合题意；
D、购买一张彩票，中奖是随机事件，本选项不符合题意.
故选：B．
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5、C
【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．
【详解】解：从立体图形可以看出这X，菱形和圆都是相邻的关系，故B,D错误，当x在上面，菱形在前面时，圆在右边，故A错误，C正确.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了展开图折叠成几何体，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
6、C
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=2，根据一元二次方程的解的定义可得a2=2a+1，然后把a2+a+3b变形为3（a+b）+1，代入求值即可．
【详解】由题意知，a+b=2，a2-2a-1=0，即a2=2a+1，
则a2+a+3b=2a+1+a+3b=3（a+b）+1=3×2+1=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
7、B
【解析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD=7.
【详解】作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7，
故选B．
【点睛】
本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
8、A
【解析】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．
9、D
【分析】由,,确定坐标原点的位置，再根据题意画出图形，即可得到答案.
【详解】如图所示：
∴点对应点的坐标为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平面坐标系中，图形的旋转变换和坐标，根据题意，画出图形，是解题的关键.
10、A
【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．
【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【详解】根据题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．即水面宽度AB为20m．
12、1
【解析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ADE=15°，∠DAC=45°，再求∠DFC，证，可得∠BFC=∠DFC．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC， =45°
又∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠BAE=1°
∴AD=AE
∴∠ADE=∠AED，∠DAE=90°+1°=150°
∴∠ADE=（180°-150°）÷2=15°
又∵∠DAC=45°
∴∠DFC=45°+15°=1°
在和中
∴
∴∠BFC=∠DFC=1°
故答案为：1．
【点睛】
本题主要是考查了正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ADE=15°．
13、
【解析】分析：利用平方差公式直接分解即可求得答案．
解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为（a+b）（a-b）．
14、1
【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．
15、
【分析】作高线DE，利用勾股定理求出AD，AB的值，然后证明，求DE的长，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】过点D作于E
∵点是边的中点，
∴，
在中，由
∴
∴
由勾股定理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
16、①②④
【分析】连接BD，BM，AM，EM，DE，根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，即可判断②；易证∠AEM=∠ADM=90º，DM=EM，再利用角的关系可得∠ADE=∠AED，继而可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，故可判断③.
【详解】解：连接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴，故②正确；
∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90º，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90º，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；
故答案为：①②④.
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论、圆心角、弦及弧之间的关系、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握有关性质及定理是解本题的关键.
17、1或﹣2
【分析】分两种情况讨论：①当m≠n时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m=n时，直接得出答案．
【详解】由题意可知：m、n是方程x1+1x﹣1=0的两根，分两种情况讨论：
①当m≠n时，由根与系数的关系得：
m+n=﹣1，mn=﹣1，
∴原式2，
②当m=n时，原式=1+1=1．
综上所述：的值是1或﹣2．
故答案为：1或﹣2．
【点睛】
本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．
18、．
【分析】先设所求抛物线是，根据题意可知此线通过，，，把此三组数代入解析式，得到关于、、的方程组，求解即可．
【详解】解：设所求抛物线是，根据抛物线与轴交点的横坐标分别为3，1；与轴交点的纵坐标为6，
得：，
解得，
∴函数解析式是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式，方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、见解析，．
【分析】先列表或画出树状图，再根据表格或树状图得出所有可能出现的结果，然后找出结果为偶数的，利用概率公式计算即可．
【详解】由题意，列表或树状图表示所有可能如下所示：
由此可知，共有9种可能的结果，每一种可能性相同，其中和为偶数的结果有5种
所以甲获胜的概率为．
【点睛】
本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确列出表格或画出树状图是解题关键．
20、（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．
试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，
理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
21、（1）y = x2+2x﹣3；（2）①（﹣，），②（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4)
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，求出点B（0，-3），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b求出k=-1，b=-3，直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，设E（x，﹣x﹣3），则PE=﹣（x+）2+，从而得当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种情况，i) 当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上；ii）当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1；根据这两种情况，作出图形，找到线段之间的等量关系，解之即可．.
【详解】（1）把A（﹣3,0）和C（1,0）代入y = ax2+bx﹣3得，
，解得，
∴抛物线解析式为y = x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y=kx+b，
①由抛物线解析式y = x2+2x﹣3，令x=0，y=﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3,0）和B（0，﹣3）代入y =kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE=﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
当x=﹣时，y= x2+2x﹣3=，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）.
②抛物线对称轴为直线x=﹣1，A（﹣3,0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有三种：
i)当点N在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，作PR⊥x轴于点R，设对称轴与x轴的交点为L，如图①，
∵四边形APMN为正方形，
∴AN=AP，∠PAR+∠RAN=90°，
∵∠PAR+∠APR=90°，
∴∠APR=∠RAN，
在△APR和△NAL中
∴△APR≌△NAL（AAS），
∴PR=AL，
∵AL=﹣1－（﹣3）=2，
∴PR=2，此时x2+2x﹣3=2，解得x1=－1，x2=﹣－1，
∵P在直线AB下方，
∴x=﹣－1，
∴P（﹣－1，2）；
ii)当点M在抛物线对称轴直线x=﹣1上时，如图②，过点P作PH⊥对称轴于点H、作AG⊥HP于点G，
∵四边形APMN为正方形，
∴PA=PM，∠APM=90°，
∴∠APG+∠MPH=90°，
∵∠APG+∠GAP=90°，
∴∠GAP=∠HPM，
在△APG和△PMH中
∴△APG≌△PMH（AAS），
∴AG=PH，PG=MH，
∴GH=PG+PH
∵P(x，x2+2x-3)
∴x+3+（-x2-2x+3）=2，解得x1=，x2=，
∵P在直线AB下方，
∴x=，
∴P（，）
ⅲ) 当点P在抛物线对称轴直线x=-1.上时,P(-1，-4)，
终上所述，点P对应的坐标为（﹣－1，2）或（，）或(-1，-4).
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式、配方法求二次函数最值、全等三角形的判定与性质等知识点，有一定综合性，难度适中．第（3）问的两种情况当中，根据图形，构造全等三角形是关键．
22、（1），顶点坐标为；（2）图象与的另一个交点的坐标为（-1，0）．
【分析】(1)把A、B、C三点的坐标代入抛物线，解方程组即可;将抛物线化成顶点式即可得出顶点坐标;
(2)令y=0,得到方程，解方程即可．
【详解】解：（1）依题意，得，
解得，
抛物线的解析式为，
顶点坐标为．
（2）令，
解得：，
图象与的另一个交点的坐标为(-1,0)．
【点睛】
本题考查了抛物线的解析式、与x轴的交点：掌握待定系数法求函数解析式，和把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
23、（1）∠BDC=α；（2）∠ACE=β；（3）DE=．
【分析】（1）连接AD，设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，则∠CAB＝∠BDC＝γ，证明∠DAB＝β−γ，β＝90°−γ，∠ABD＝2γ，得出∠ABD＝2∠BDC，即可得出结果；
（2）连接BC，由直角三角形内角和证明∠ACE＝∠ABC，由点C为弧ABD中点，得出∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，即可得出结果；
（3）连接OC，证明∠COB＝∠ABD，得出△OCH∽△ABD，则＝＝，求出BD＝2OH＝10，由勾股定理得出AB＝＝26，则AO＝13，AH＝AO＋OH＝18，证明△AHE∽△ADB，得出＝，求出AE＝，即可得出结果．
【详解】（1）连接AD，如图1所示：
设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝γ，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC＝∠CAD＝β，
∴∠DAB＝β﹣γ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴γ+β＝90°，
∴β＝90°﹣γ，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，
∴∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDC＝∠ABD＝α；
（2）连接BC，如图2所示：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，
∴∠ACE＝β；
（3）连接OC，如图3所示：
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴＝＝，
∴BD＝2OH＝10，
∴AB＝＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，
∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，
∴△AHE∽△ADB，
∴＝，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣＝．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO＋∠BDE＝90°，由∠ACB＝90°，得出∠CAB＋∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得出结论；
（2）证出CB是⊙O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，即可得出结论．
【详解】（1）连接OD、OE，如图所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO＋∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）的面积为；（3）、5、1、
【分析】（1）先说明∠CEF=∠AFB和，即可证明∽；
（2）过点作交与点，交于点，则；再结合矩形的性质，证得△FGE∽△AHF，得到AH=5GF；然后运用勾股定理求得GF的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E在线段CD上和DC的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，
∴
由折叠可得
∵
∴
∴
在和中
∵，
∴∽
（2）解：过点作交与点，交于点，则
∵矩形中，
∴
由折叠可得：，，
∵
∴
∴
在和中
∵
∴∽
∴
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
∴的面积为
（3）设DE=x，以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，则：
①当点E在线段CD上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，
∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，
在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=，
由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，
∴CF=AC-AF=-5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴x2+（-5）2=（3-x）2，解得x=即：DE=
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=,即：DE=；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，
∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF==4，
∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（x-3）2+92=x2，解得x=1，即DE=1，
故答案为、、5、1．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．
26、（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2．
【解析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；
（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；
（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出EQ=FE，继而求出FG•FE=8，即可得出结论．
【详解】（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴CD=10或CD=2.5
同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，
（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△BDC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2=FE•FG，
过点E作EQ⊥FG于Q，
∴EQ=FE•sin60°=FE，
∵FG×EQ=2，
∴FG×FE=2，
∴FG•FE=8，
∴FH2=FE•FG=8，
∴FH=2．
【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.
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