资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
2．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．已知反比例函数y＝的图象经过P（﹣2，6），则这个函数的图象位于（ ）
A．第二，三象限 B．第一，三象限
C．第三，四象限 D．第二，四象限
4．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为（ ）米．
A．30 B．30﹣30 C．30 D．30
5．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）
A．3m B．m C．m D．4m
7．下面的函数是反比例函数的是( )
A． B． C． D．
8．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A．1，-3，10 B．1，7，-10 C．1，-5，12 D．1， 3，2
9．如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°，其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为( )
A．4 B．2 C．0 D．－4
11．下列方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=0； B．3x2-x=10； C．； D．.
12．常胜村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为15000元，求人均收入的年增长率．若设人均收入的年增长率为x，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为_____．
14．已知，则的值为_______．
15．设x1，x2是一元二次方程7x2﹣5=x+8的两个根，则x1+x2的值是_____．
16．白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有_____个飞机场．
17．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________．
18．把二次函数变形为的形式为_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，求sinB的值．
20．（8分）如图①，在中，，是边的中点，以点为圆心的圆经过点．
（1）求证：与相切；
（2）在图①中，若与相交于点，与相交于点，连接，，，如图②，则________．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
22．（10分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
23．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
24．（10分）如图，的三个顶点在平面直角坐标系中正方形的格点上．
（1）求的值；
（2）点在反比例函数的图象上，求的值，画出反比例函数在第一象限内的图象．
25．（12分）先化简，再求代数式的值，其中
26．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE．
（Ⅰ）求证：∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）若已知旋转角为50°，∠ACE＝130°，求∠CED和∠BDE的度数．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
【点睛】
本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
2、B
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【详解】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k−6＝0成立，解得k＝-1．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入进行求解.
3、D
【分析】将点P（-2，6）代入反比例函数求出k，若k＞0，则函数的图象位于第一，三象限；若k＜0，则函数的图象位于第二，四象限；
【详解】∵反比例函数的图象经过P（﹣2，6），
∴6=，
∴k=-12，
即k＜0，这个函数的图象位于第二、四象限；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像是解题的关键.
4、B
【分析】在Rt△BCD中,解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△ADF中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．
【详解】解：如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵tan∠DBC=，
∴CD=BC•tan60°=30m，
∴甲建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD-DF=（30-30）m，
∴乙建筑物的高度为（30-30）m．
故选B．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
5、A
【解析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案．
【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
．
所以线段的长度是，
故选：．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个．
6、C
【详解】如图，由题意得：AP=3，AB=6，
∴在圆锥侧面展开图中
故小猫经过的最短距离是
故选C.
7、A
【解析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可.
【详解】解：A、是反比例函数，正确；
B、是二次函数，错误；
C、是正比例函数，错误；
D、是一次函数，错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的识别，容易出现的错误是把当成反比例函数，要注意对反比例函数形式的认识．
8、A
【分析】方程整理为一般形式，找出常数项即可．
【详解】方程整理得：x2−3x+10=0，
则a=1，b=−3，c=10.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式.
9、A
【详解】如图，连接CO，DO，
∵MC与⊙O相切于点C，
∴∠MCO=90°，
在△MCO与△MDO中，
，
∴△MCO≌△MDO（SSS），
∴∠MCO=∠MDO=90°，∠CMO=∠DMO，
∴MD与⊙O相切，故①正确；
在△ACM与△ADM中，
，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴AC=AD，
∴MC＝MD＝AC=AD，
∴四边形ACMD是菱形，故②正确；
如图连接BC，
∵AC=MC，
∴∠CAB=∠CMO，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在△ACB与△MCO中，
，
∴△ACB≌△MCO（SAS），
∴AB＝MO，故③正确；
∵△ACB≌△MCO，
∴BC=OC，
∴BC=OC=OB，
∴∠COB=60°，
∵∠MCO=90°，
∴∠CMO=30°，
又∵四边形ACMD是菱形，
∴∠CMD=60°，
∴∠ADM＝120°，故④正确；
故正确的有4个.
故选A.
10、A
【解析】根据一元二次方程判别式的公式进行计算即可.
【详解】解:在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，
∴，
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次方程判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
11、B
【解析】试题解析：A.是一元一次方程，故A错误；
B. 是一元二次方程，故B正确；
C. 不是整式方程，故C错误；
D .不是一元二次方程，故D错误；
故选B．
12、D
【分析】根据“每年的人均收入上一年的人均收入（1年增长率）”即可得．
【详解】由题意得：2018年的人均收入为元
2019年的人均收入为元
则
故选：D．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等式关系是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、（x﹣1）2＝1
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果．
【详解】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，
配方得：x2﹣2x+1＝1，即（x﹣1）2＝1．
故答案为：（x﹣1）2＝1．
【点睛】
本题考查了配方法求解方程,属于简单题,熟悉配方的方法是解题关键.
14、
【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值．
【详解】令
则a=6k，b=5k，c=4k
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法．
15、
【解析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系直接求解即可．
【详解】把方程7x2-5=x+8化为一般形式可得7x2-x-13=0，
∵x1，x2是一元二次方程7x2-5=x+8的两个根，
∴x1+x2=.
故答案是：.
【点睛】
主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
16、1
【分析】设共有x个飞机场，每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航行，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：，把相关数值代入求正数解即可．
【详解】设共有x个飞机场．
，
解得 ， （不合题意，舍去），
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17、4.2
【解析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB= ，又cosB=
于是＝，
解得x=1，即AB=1．
所以易求BE=2，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.2．
点睛：本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键
18、
【分析】利用配方法变形即可.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的的解析式，熟练掌握配方法是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、
【分析】过点A作于D，根据等腰三角形的三线合一性质求出根据勾股定理求出，最后用正弦的定义即可.
【详解】解：过点A作于D，
又∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，
∴,
.
∴.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的三线合一性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键.
20、（1）见解析；（2）
【分析】(1)连接OC,利用等腰三角形的三线合一性质证明即可.
(2)利用30°的特殊三角形的性质求出即可.
【详解】（1）证明：连接.
，是边的中点，
.
又点在上，
与相切.
图①
（2）
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠A=30°,
又∵OD=6
∴OA=12
∴AC=,AB=
∵DE是三角形OAB的中位线,
∴DE=.
图②
【点睛】
本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟悉基础知识.
21、（1）12cm；（2）
【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案；
（2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案．
【详解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，
∴BC＝＝25（cm），
∵BC×AD＝AB×AC，
∴AD＝＝＝12（cm）；
即BC边上的高为12cm；
（2）设正方形EFGH的边长为xcm，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
∴＝，即＝，
解得：x＝，
即正方形EFGH的边长为cm．
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
22、（1）b=2，c=3，y=-x+2x+3；（2）
【分析】（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值；（2）令y=1，求抛物线与x轴的两交点坐标，观察图象，求y＞1时，x的取值范围．
【详解】解：（1）将点（-1，1），（1，3）代入y=-x2+bx+c中，得
解得 ．
∴
（2）当y=1时，解方程，
得，
又∵抛物线开口向下，
∴当-1＜x＜3时，y＞1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y＞1时，自变量x的取值范围．
23、（1）点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)；（2）
【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A、B、C的坐标；
（2）根据（1）中点A、点B、点C的坐标可以求得△ABC的面积．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2+x+3＝（x﹣4）（x+1），
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x1＝4，x2＝﹣1，
即点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）；
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴AB＝5，OC＝3，
∴△ABC的面积是：＝，
即△ABC的面积是．
【点睛】
本题考查的是二次函数与x轴的交点，分别令x、y为0，即可求出函数与坐标轴的交点，进而求解三角形的面积．
24、（1）；（2），图见解析
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D,然后在Rt△ABD中可以求出；
（2）将点B代入，可得出k的值，从而得出反比例函数解析式，进而用描点法画出函数图象即可.
【详解】解：（1）过点B作BD⊥AC于点D,
由图可得，BD=2，AD=4，
∴.
（2）将点B(1,3)代入,得k=3,
∴反比例函数解析式为.
函数在第一象限内取点，描点得，
x(x＞0)
1
2
3
6
y
6
3
2
2
连线得函数图象如图：
【点睛】
本题主要考查正切值的求法，反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象的画法，掌握基本概念和作图步骤是解题的关键.
25、，
【分析】先去括号，再算乘法约去公约数，即可完成化简，化简，先算三角函数值，再算乘法，再算减法，再将化简后x的值代入原式求解即可．
【详解】原式
当时
原式
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
26、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）∠BDE=50°, ∠CED =35°
【分析】（Ⅰ）由旋转的性质可得AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，由等腰三角形的性质可求解．
（Ⅱ）由旋转的性质可得AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求解．
【详解】证明：（Ⅰ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC；
（Ⅱ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，∠ACB=∠DCE
∴∠A＝∠ADC＝65°，
∵∠ACE＝130°，∠ACD＝∠BCE＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE =80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝35°，
∵∠EDC＝∠A＝65°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝50°．∠CED=180°﹣∠DCE﹣∠CDE=35°
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
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