现代控制理论习题解答(第二章).doc

第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵（t）。（1） （2） （3） （4） （5）（6）【解】：（1）（2）（3）（4）特征值为：。由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为，线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。或3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件（1）用laplace法求状态转移矩阵；（2）用化标准型法求状态转移矩阵；（3）用化有限项法求状态转移矩阵；（4）求齐次状态方程的解。【解】：（1） （2）特征方程为：特征值为：。由于，所以对应的广义特征向量的阶数为1。求满足的解，得：，再根据，且保证、线性无关，解得：对于当的特征向量，由容易求得：所以变换阵为：，线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：。即 (4) 3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。（1）（2）（3）（4）【解】：（1）不满足状态转移矩阵的条件。（2）满足状态转移矩阵的条件。由，得。（3）满足状态转移矩阵的条件。（4）满足状态转移矩阵的条件。3-2-4 已知线性时变系统为，试求系统的状态转移矩阵。【解】：取3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为，初始条件为试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。【解】：3-2-6 已知线性定常系统的状态空间表达式为，已知状态的初始条件为，输入量为，试求系统的输出响应。【解】：3-2-7线性定常系统的齐次方程为，已知当时，状态方程的解为；而当时，状态方程的解为，试求：(1)系统的状态转移矩阵；(2)系统的系数矩阵A。【解】：，3-2-8 已知线性时变系统为，试求系统状态方程的解。【解】：对任意时间t1和t2有得：所以有3-2-9 已知线性定常离散系统的状态空间表达式为 若与为同步采样时，且是来自斜坡函数的采样，即，是来自指数函数的采样。试求系统的输出响应y（KT）。【解】：方法一：利用Z变换的方法求解：=第一部分+第二部分第二部分为：所以第一部分的Z反变换为：所以第二部分的Z反变换为：方法二：利用递推算法求解差分方程组：特征方程为:特征值为:。，利用得：3-2-10 已知连续系统的状态方程为： 系统的初始状态为试求当控制序列为时离散系统的状态。【解】：利用递推算法求解差分方程组：，3-2-11 已知离散系统的结构图如题3-2-11图所示，题3-2-11图(1)求系统离散化的状态空间表达式；(2)当采样周期秒时，输入为单位阶跃函数，且初始条件为零时离散系统的输出。【解】：方法一：依据方框图求闭环脉冲传递函数：当采样周期秒时依据闭环脉冲传递函数写出状态空间表达式：求零初始条件下单位阶跃输入的输出。又因为输入为单位阶跃函数，且初始条件为零，所以方法二：系统中连续时间被控对象的传递函数为：系统中连续时间被控对象的状态空间表达式为：状态转移矩阵为：(对角标准型也可直接写)故被控对象的离散化状态方程为：根据系统结构图，系统输入量为，输出为，而被控对象的输入，所以系统的离散化方程为：系统输出方程为：令秒，离散化状态方程为：当输入为单位阶跃函数，初始条件为零时离散系统的输出为：可得。或与方法一一样，利用一步一步地求。3-2-12 线性时变系统的状态方程为，求采样周期T=0.2秒时，系统的离散化方程。【解】：由于采样周期较小，可以采用近似离散化的方法。37