第二章：初等模型习题解答.doc

1 题目：
生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

动物
体重（g） 心率（次/分）
田鼠
家鼠
兔
小狗
大狗
羊
人
马
25 670
200 420
2000 205
5000 120
30000 85
50000 70
70000 72
450000 38
解：
动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，记动物体重为，则。正比于血流量，而，其中是动物每次心跳泵出的血流量，为心率。合理地假设与成正比，于是。综上可得，或。由所给数据估计得，将实际数据与模型结果比较如下表：

动物
实际心率（次/分） 模型结果（次/分）
田鼠
家鼠
兔
小狗
大狗
羊
人
马
670 715
420 375
205 166
120 122
85 67
70 57
72 51
38 27

2 题目：
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长
36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1
重量
756 482 1162 737 482 1389 652 454
胸围
24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6

先用机理分析，再用数据确定参数。
问题分析
本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设
⑴ 设鱼的重量为；
⑵ 语的身长记为；

模型的构成与求解
因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量与身长的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即，为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：
=0.0146，=0.0322,
将实际数据与模型结果比较如下表：

实际重量
765
482
1162
737
482
1389
652
454
模型
727
469
1226
727
483
1339
675
483
模型
730
465
1100
730
483
1471
607
483
通过机理分析，基本上满意。

结果分析及评注
通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，
上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。

3 题目：
考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。
本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。本题中涉及的物理量有阻力f、摆长l、质量m、重力加速度g、周期t。分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f 与摆的速度成正比所以f的量纲与v 的量纲相同[f]=[v]=LT,[t]=T,[m]=M;[g]=LT,[l]=L。设这些物理量之间的关系为：
,因此量纲表达为：把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：
按照量纲齐次原则应有

最后解得：
作物理模拟的比例模型时，设和 不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：那么只要就有

4 题目：
小球做竖直上抛运动：质量为的小球以速度竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数。设初始位置为=0，轴竖直向上，则运动方程为：m+k+mg=0,x(0)=0,（0）= ，方程的解可表为=(;,,,).试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论很小时求近似解的可能性

建模与解题：
注意到[]=t,,(1)选取特征尺度=m,=,则方程化为++1=0，（0）=0，（0）=——（1）
其中=/，解可表示为=（；）。很小时很小，（1）无解。
（2）选取=， =，则++1=0，（0）=0，（0）=1
同上，表达式同上。但当很小时（2）有解。它正是原问题忽略阻力时的近似解。

5 录象机计数器的用途
一、问题：
老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型．
二、模型假设：
1）录象带的线速度是常数；
2）计数器的读数与右轮盘转的圈数（记作）成正比，为比例系数；
3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数，空右轮盘半径为;
4)初始时刻=0时=0;
三、建立模型：
当右轮盘转到第圈时其半径为，周长为2*(r+w*i)，m圈的总长度恰等于录象带转过的长度，即：

四、模型求解：
因为m=k*n有:
推出：
考虑w<<r　所以有
推出：
我们可以应用Mathematica编程求解，程序如下：
Slove[*(,]
结果为:
*

6 问 题：
质量为的小球以速度竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为，设初始位置为轴竖直向上，则运动方程为

方程的解可表示为。试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论很小时求近似解的可能性。
问题分析：
所谓无量纲化是指：对于变量和分别构造具有相同量纲的参数组合和，使新变量

为无量纲量。称为特征长度，称为特征时间。统称特征尺度或参考尺度。
问题求解：
可以选取以下两种尺度将问题无量纲化
（1） 选取尺度，则方程化为
（1）
其中，解可以表示为。很小时（1）无解。
（2） 选取尺度，则方程化为
（2）
其中，解可以表示为。很小时（2）有解。它是原问题忽略阻力时的近似解。
结 果：
原问题忽略阻力时运动方程为
（3）
解方程（3）可得：

7 题目
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

身长
36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1
重量
756 482 1162 737 482 1389 652 454
胸围
24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6
先用机理分析，再用数据确定参数。
问题分析
本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设
⑴ 设鱼的重量为；
⑵ 语的身长记为；
模型的构成与求解
因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量与身长的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。即，为比例系数。不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：
=0.0146，=0.0322,
将实际数据与模型结果比较如下表：

实际重量
765
482
1162
737
482
1389
652
454
模型
727
469
1226
727
483
1339
675
483
模型
730
465
1100
730
483
1471
607
483
通过机理分析，基本上满意。
结果分析及评注
通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，从上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。

8 题目. 雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解:
一 符号说明
设雨滴质量m，体积V，表面积S，雨滴的
特征尺寸L，重力f1,空气阻力f2., 雨滴下降速度为v.
二 问题分析与模型建立：
根据已知条件可知：
m∝V∝L3 , S∝L2 .
可得：S∝m2/3 。
我们知道，雨滴在重力f1和空气阻力f2的作用下是匀速v下降的，
从而可以得出： f1=f2 .
又 f1∝m,f2∝Sv2 .
由以上关系可以得出：
v∝m1/6 .
三 结果分析：
本问题主要考察的是用量刚分析方法求速度，量刚分析是在经验和实验的基础上利用物理定理的量刚齐次原则，确定各物理量之间的关系。

9 动物的体重与心率之间的关系.
生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验.
动 物
体重(g)
心率(次/分)
田鼠
家鼠
兔子
小狗
大狗
羊
人
马
25
200
2000
5000
30000
50000
70000
450000
670
420
205
120
85
70
72
38

解2． 建立模型
动物消耗的能量P主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S散失，记动物体重为W，则P∝S∝W2/3。又P正比于血流量Q=qr,其中q是动物每次心跳泵出的血流量，r为心率，合理的假设q与w成正比，于是P∝wr.综上可得r∝w-1/3,或r=k.由所给数据估计得k=2089.7,将实际数据与模型结果比较如下表：
动物 模型结果 实际心律（心/分）
田鼠 715 670
家鼠 357 420
兔 166 205
小狗 122 120
大狗 67 85
羊 57 70
人 51 72
马 27 38
由于只是粗糙的作出假设,所以拟合的并不是很好.

10 题目：雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.
建模描述雨速与雨滴质量的关系.
假设：1.雨滴是圆滑规则球体。
2.雨滴下落过程中除了空气阻力和自身重力外不受其他外力
3.雨滴一旦产生，就一定会下落一直到地面
4.雨滴质量均匀，且重心位于球心
5.雨滴下落过程中重力加速度的改变可以忽略不计
6.雨滴由密度固定的单一物质组成
参量、变量：雨滴半径r(cm),雨滴质量M(kg)，重力加速度g(m/s^2),空气阻力F(N),圆周率π，雨滴密度ρ（kg/m^3）雨滴的表面积S（m^2），比例系数k,雨滴速度v(m/s)
分析：应用条件：雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.根据力的平衡原理，建立等式，可求得题解。
解答：第一步，求雨滴的体积。

第二步，求雨滴的质量。

第三步，求雨滴的表面积.

第四步，求空气阻力。
由空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比
即
第五步，由力的平衡原理列等式。
由于雨滴匀速下降，所以
即
即

第六步，得出结论。

11 题目 风车功率问题

一、问题提出：
速度为的风吹在面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析法确定风车获得的功率p与,s, 的关系。
二、问题分析：
风的速度越大、风车的面积越大，则风车转动的越快
即：风车的功率p就越大。空气的密度是常数。
三、模型假设：
用量纲分析法对模型假设： 令：f(p，,s, )=0 （1）
假设（1）式形如:
= (2)
其中y1~y4是待定常数，是无量纲常数，将p，,s, 用量纲表达式可表示为：
[p]=M1L2T-3, []=M0L1T-1，[s]=M0L2T0, []=M1L-3T0。
四、问题解决
（M1L2T-3,）y1(M0L1T-1)y2(M0L2T0)y3(M1L-3T0)y4=( M0L0T0)
即：M y1+ y4L2 y1+ y2+2 y3-3 y4T-3 y1- y2= M0L0T0
由量纲齐次原则给出：

y1+ y4=0
2 y1+ y2+2 y3-3 y4=0
-3 y1- y2=0

于是可解得：
F（）=0，=p-1-3s, p=3s(其中是无量纲常数)。

12 题目：
生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用与维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
动物
体重
心率（次/分）
田鼠
25
670
家鼠
200
420
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
人
70000
72
马
450000
38
一、 模型假设：
1. 设动物消耗的能量为,动物体重为.
2. 设体内热量通过表面积散失.
3. 设动物的血流量为,心率为,每次心跳泵出血流量为,则.
4. 设能量与血流量成正比.
5. 设每次心跳泵出血流量为与动物体重成正比,.
二、 模型建立与求解：

正比于血流量，则
每次心跳泵出血流量为q与动物体重W成正比,.
综上可得：
输入MATLAB软件求解:
function f=myfun(W,Wdata);
F=r-k*W;
rdata=[670,420,205,120,85,70,72,38]
Wdata=[25,200,2000,5000,30000,50000,70000,450000]
X0=[19;10;0];
[x,resnorm]=lsqcurvefit(◎myfun，x0,rdata,Wdata)
k=2089.7
将实际数据和模型结果比较如下：

动物
心率（次/分）
模型结果（次/分）
田鼠
670
715
家鼠
420
357
兔
205
166
小狗
120
122
大狗
85
67
羊
70
57
人
72
51
马
38
27
由于假设的粗糙，结果不够满意。

13 题目
　　　用一定宽度的布条缠绕直径为ｄ的圆形管道要求。要求布条不重叠，问布条什么时　是最短的，在这时的布条的夹角是ａ应该是多大的。现在我们已经知道管的长度是Ｌ，问需要多长的布条。如下图我们可以看到布条和管道是有一顶的夹角的：
　　　　在这里我们假设：他的长度ｄ和布条的宽度ｗ；
　　　　　　　　　　　　其中他的夹角是ａ：

　　　　　　　　布条的宽为ｗ夹角为ａ；
（二）。题目分析以及模型假设：
由题目知道我们可以布条的张度，于他的夹角和管道的之间是有一定的关系的，当它的缠绕的角度很好的时候就可以很节约布条。假设他的长度我们是已经知道的，为Ｌ，布条的宽度是ｗ，夹角是ａ；
　由上面的我们知道布条的合适宽度是w=pi*dCOSa。对应的长度是ｄ。这样就可以有布条的总的长度是：ｗ＊ｄ；
（三）。建立模型：
　　由题目知道以下的模型：
　　Ｍｉｎ　　Ｓ＝ｗ＊Ｌ
　　　Ｓ，ｔ　　w=pi*dCOSa；
　　　　　　　　ａ∈（０。ｐｉ／２）；

（四）结果，以及结果的分析；
将管道展开可以看到有这样的情况而且w=pi*dCOSa。如果长度是已经知道的d而且是一定的，w—》0，a—》pi/2。w-》pi*d。a-》0。如果管道的长度为L。不思考来年感端的影响是，布条的长度应该就是为pi*d*w/Sinａ。对于其它的就应该类似的。改变ｐｉ＊ｄ就可以拉。｀

14 题目：动物的身长和体重
四足动物的躯干的长度（不含头尾）与它的体重有什么关系，这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。
问题分析
动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的使用价值的模型。所以在这里我们仅在十分粗略的假设基础上，利用类比法的方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重之间的比例关系。
模型的假设
我们把四足动物的躯干看作一个圆柱体，长度，直径，断面面积，可将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样我们就可以利用弹性力学的一些研究结果。
模型的构成
设动物在自身体重作用下躯干的最大下垂度为，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究
（1）
因为，所以
（2）
是动物躯干的相对下垂度，太大，四肢将无法支撑；太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言已经达到其最合适的数值，换句话说，应视为与这种动物的尺寸无关的常数，于是由（2）式得到
（3）
再从，，以（3）式带入可得

显然，体重与躯干长度的4次方成正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。
评注
类比法是建模中常用的一种方法。在这个模型中将动物躯干类比作弹性实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检查。但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度与体重的关系这样一个来看无从下手的问题，转化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下绕曲问题的做法，是值得借鉴的。